中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)(大題培優(yōu))含答案

一、銳角三角函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）_如圖，山坡上有一棵樹AB，樹底部B點到山腳C點的距離BC為6打米，山坡的坡角為30°.小寧在山腳的平地F處測量這棵樹的高，點C到測角儀EF的水平距離CF=1米，從E處測得樹頂部A的仰角為45°,樹底部B的仰角為20°,求樹AB的高度.（參考數(shù)值：sin20°=0.34,cos20°=0.94,tan20°=0.36）孑【答案】6.4米【解析】解：T底部B點到山腳C點的距離BC為63米，山坡的坡角為30°.TCF=1米，DC=9+1=10米，???GE=10米，TZAEG=45°,AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF?tan20°=10x0.36=3.6米，AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：樹高約為6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的長，然后求得DF的長，進(jìn)而求得GF的長，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的長，從而求得樹高如圖（9）所示（左圖為實景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上?為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定：AD與水平面夾角為人，且在水平線上的射影AF為1.4m.現(xiàn)已測量出屋頂斜面與水平面夾角為02，并已知tan01=1.082,tan02二0?412.如果安裝工人確定支架AB高為25cm，求支架CD的高（結(jié)果精確到

【答案】解：過點厘作肋丄于廠AS//BC【答案】解：過點厘作肋丄于廠AS//BC交DO于耳」在只沁ADF中，DF=^tan^=1.4x1.032=1.5143（^）,#TOC\o"1-5"\h\z在應(yīng)△總曲中，=tan53=1.4x0.412=0.5768H（2分）.■■DE=DF-EF=1.5148-0.5768=0.93S（^）（1分）又可證四辺形ABCS為平行四辺骸故^CS=AB=2S（2分）.-.CZ?=M+C^=93.8+25=118.8?119（cm）（2分）答：支架CD的高約次11丸詼.（1分）【解析】過A作AFCD于F，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用％、02表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有EC=AB=25cm,再再根據(jù)DC=DE+EC進(jìn)行解答即可.3.已知：如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,點M是斜邊AB的中點，MDIIBC,且MD=CM,DE丄AB于點E,連結(jié)AD、CD.（1）求證：△MED-△BCA；（2）求證：△AMD竺△CMD；17（3）設(shè)厶MDE的面積為S],四邊形BCMD的面積為S2，當(dāng)S2^5S1時，求cosZABC的值.值.5【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）cosZABC=7-【解析】【分析】（1）易證ZDME=ZCBA,ZACB=ZMED=90°，從而可證明△MED-△BCA；(2)由/ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，可知MB=MC=AM，從而可證明ZAMD=ZCMD,從而可利用全等三角形的判定證明△AMD竺△CMD；S(3)易證MD=2AB,由(1)可知：△S(3)易證MD=2AB,由(1)可知：△MED-△BCA，所以亍S(MD￥1aACBIAB丿4，所以2'△MCB=2'△ACB=2S1，從而可求出、△EBD=S2-S^MCB-S1="5S1，由于SaebdMEeb，從而可ME57知而二2，設(shè)ME=5x，EB=2x，從而可求出AB=14x，BC=2，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案【詳解】(1)MDIIBC，ZDME=ZCBA，TZACB=ZMED=90°，.△MED-△BCA；(2)TZACB=90°，點M是斜邊AB的中點,.MB=MC=AM，.ZMCB=ZMBC，TZDMB=ZMBC，.ZMCB=ZDMB=ZMBC，TZAMD=180°-ZDMB，ZCMD=180°-ZMCB-ZMBC+ZDMB=180°-ZMBC,.ZAMD=ZCMD，在厶AMD與厶CMD中,?MD=MD<ZAMD=ACMD，AM=CM△AMD竺△CMD(SAS)；(3)TMD=CM，.AM=MC=MD=MB，.MD=2AB，由(1)可知：△MED-△BCA，S1—S△S1—S△4CTi(MD)2<AB丿14'.S"CB=4S1TCM是厶ACB的中線,.'△.'△MCB12S"cb=2S1,.S=2…△EBD=S2-MCBS1=5S1‘S1—S1—SaebdMEEB，MEEB,ME_ME_5—_2'EB設(shè)ME=5x,EB=2x,MB=7x,AB=2MB=14x,..MD_ME_1'~AB~~bc~2BC=10x,..cosZABC=..cosZABC=BC~AB10x_514^~7【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題，涉及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的面積比，銳角三角函數(shù)的定義等知識，綜合程度較高，熟練掌握和靈活運用相關(guān)的性質(zhì)及定理進(jìn)行解題是關(guān)鍵4.如圖，拋物線C1：y=(x+m)2(m為常數(shù)，m>0)，平移拋物線y=-x2，使其頂點D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C2.拋物線C2交x軸于A，B兩點(點A1如圖1,若m=….當(dāng)OC=2時，求拋物線C2的解析式；是否存在a,使得線段BC上有一點P,滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP=BP?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；如圖2,當(dāng)0B=2>'-m(0VmV')時，請直接寫出到厶ABD的三邊所在直線的距11離相等的所有點的坐標(biāo)(用含m的式子表示).71【答案】⑴①y=-x2+'x+2.②1(2)P](、、■'-m,1),P2('、'-m,-3),P3(-iT7%'-m,3),P4(3\-m,3)?【解析】試題分析：(1)①首先寫出平移后拋物線C2的解析式(含有未知數(shù)a),然后利用點C(0,2)在C2上，求出拋物線C2的解析式；②認(rèn)真審題，題中條件"AP=BP”意味著點P在對稱軸上，"點B與點C到直線OP的距離之和最大”意味著OP丄BC.畫出圖形，如圖1所示，利用三角函數(shù)(或相似)，求出a的值；解題要點有3個：判定△ABD為等邊三角形；理論依據(jù)是角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等;iii)滿足條件的點有4個，即△ABD形內(nèi)1個(內(nèi)心)，形外3個.不要漏解.11試題解析：(1)當(dāng)m=，時，拋物線q：y=(x+)2.T拋物線C2的頂點D在拋物線q上，且橫坐標(biāo)為a,1???D(a,(a+-)2).1?拋物線C2：y=-(x-a)2+(a+')2(I).???OC=2,?C(0,2).???點C在拋物線C2上,1?-(0-a)2+(a+')2=2,7解得：a」，代入(I)式，7得拋物線C2的解析式為：y=-x2+x+2.在(I)式中，111令y=0,即：-(x-a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=-,?B(2a+,0)；11令x=0,得：y=a+‘，?C(0,a+").設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有:Iik(2aIik(2a+-)+6=0ifi=a+-4解得???直線BC的解析式為：y=-「-x+(a+b.假設(shè)存在滿足條件的a值.TAP=BP,??點P在AB的垂直平分線上，即點P在的對稱軸上；???點B與點C到直線OP的距離之和<BC，只有OP丄BC時等號成立，OP丄BC.如圖1所示，設(shè)C2對稱軸x=a(a>0)與BC交于點P,與x軸交于點E,則OP丄BC，OE=a.???點P在直線BC上,1111?P(a,】a+丨)，PE='a+"OB0(12a+22ttanOB0(12a+22ttanZEOP=tanZBCO=a+41PE?~0E1解得：a=.1?存在a=，使得線段BC上有一點P,滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP="BP"(3)T拋物線C2的頂點D在拋物線q上，且橫坐標(biāo)為a,D(a,(a+m)2).?拋物線C2：y=-(x-a)2+(a+m)2.令y=0,即-(x-a)2+(a+m)2=0,解得：x】=2a+m,x2=-m,?B(2a+m,0).TOB=2\'-m,2a+m=2\.'-m,a=\.'-m...DG'-m,3).AB=0B+0A=2?'-m+m=2—''TOC\o"1-5"\h\ziT7吟如圖2所示，設(shè)對稱軸與x軸交于點E,則DE=3,BE=AB=「，OE=OB-BE=「-m.CE答圖2DE3CE答圖2DE3TtanZABD=''、ZABD=60°.又:AD=BD,.△ABD為等邊三角形.作ZABD的平分線，交DE于點P],則P1E=BE?tan30°=i'=1,…P]('廠-m,1)；在厶ABD形外，依次作各個外角的平分線，它們相交于點P2、P3、P4.在RtABEP2中，P2E=BE?tan60°=、’八=3,…P2(='--m,-3)；易知△adp3、△bdp4均為等邊三角形，.dp3=dp4=ab=^',且p3p4iix軸..P3(八?’-m,3)、P4(3、’-m,3).綜上所述，到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點有4個，其坐標(biāo)為：P1(\'-m,1),P2(」-m,-3),P3(-」-m,3),P4(3」-m,3).【考點】二次函數(shù)綜合題.如圖，已知正方形1；；，"在直角坐標(biāo)系‘‘川中，點I"分別在''軸、」軸的正半軸上，點「在坐標(biāo)原點?等腰直角三角板⑺丫的直角頂點門在原點，::分別在川上，且Lid'將三角板八門繞“點逆時針旋轉(zhuǎn)至"I的位置，連結(jié)門I（1）求證：’Vi1（2）若三角板八門繞八點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得""門若存在，請求出此時''點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在或'■'、【解析】（1）證明：T四邊形為正方形，???"「“T三角板八門是等腰直角三角形，?」''’I1又三角板八門繞八點逆時針旋轉(zhuǎn)至W的位置時，"門-匚上二&OAE\—A.OfF].（2）存在.4分???過點：與E平行的直線有且只有一條，并與垂直，又當(dāng)三角板K繞J點逆時針旋轉(zhuǎn)一周時，則點''在以'■為圓心，以F為半徑的圓上,5分???過點；與⑴垂直的直線必是圓「的切線，又點匚是圓「外一點，過點匚與圓「相切的直線有且只有2條，不妨設(shè)為"「和門二此時，':點分別在“點和點，滿足CFillOE],CF2||0E2當(dāng)切點'在第二象限時，點r在第一象限,

在直角三角形門心中,■■■■"-i0珥1...，；；'：；.：i.?.「；門廠|J.'l???點■「的橫坐標(biāo)為：一一—"「_點門的縱坐標(biāo)為：'■'"："：1廣、???點「的坐標(biāo)為Lt'-9分當(dāng)切點‘；'在第一象限時，點在第四象限，同理可求：點'的坐標(biāo)為-川綜上所述，三角板八門繞八點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個位置，使得此時點上的坐標(biāo)為㈠—「或、11分根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到相等的線段，根據(jù)SAS定理證明；由于△OEF是等腰RtA，若OEIICF,那么CF必與OF垂直；在旋轉(zhuǎn)過程中，E、F的軌跡是以0為圓心，0E(或OF)長為半徑的圓，若CF丄0F,那么CF必為O0的切線，且切點為F；可過C作O0的切線，那么這兩個切點都符合F點的要求，因此對應(yīng)的E點也有兩個；在RtAOFC中，0F=2,0C=0A=4，可證得ZFCO=30°，即/EOC=30°，已知了OE的長，通過解直角三角形，不難得到E點的坐標(biāo)，由此得解.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且CF=AE，連接DE，DF，EF.FH平分ZEFB交BD于點H.求證：DE丄DF；求證：DH=DF:過點H作HM丄EF于點M,用等式表示線段AB，HM與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.CB

CB【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)EF=2AB-2HM，證明詳見解析.【解析】【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)，CF=AE得到DE丄DF.由AAED^△CFD，得DE=DF.由ZABC=90。,BD平分ZABC,得ZDBF=45。.因為FH平分ZEFB，所以ZEFH=ZBFH.由于ZDHF=ZDBF+ZBFH=45°+ZBFH,ZDFH=ZDFE+ZEFH=45°+ZEFH,所以DH=DF.過點H作HN丄BC于點N，由正方形ABCD性質(zhì)，得BD=\：AB2+AD2=、2AB?由FH平分ZEFB，HM丄EF,HN丄BC,得HM=HN因為ZHBN=45°，ZHNB=90°，所以BH=HN=41HN=J2HMsin45°df由EF==41DF=41DH，得EF=2AB-2HM.cos45°【詳解】證明：t四邊形ABCD是正方形，AD=CD，ZEAD=ZBCD=ZADC=90°.ZEAD=ZFCD=90°.???CF=AE?！鰽ED^△CFD.ZADE=ZCDF.ZEDF=ZEDC+ZCDF=ZEDC+ZADE=ZADC=90°..DE丄DF.證明：t△AED^△CFD，.DE=DF.tZEDF=90°，ZDEF=ZDFE=45°.tZABC=90°，BD平分ZABC，ZDBF=45°.FH平分ZEFB，ZEFH=ZBFH.ZDHF=上DBF+ZBFH=45°+ZBFH,ZDFH=ZDFE+ZEFH=45O+ZEFH,ZDHF=ZDFH.DH=DF.(3)EF=2AB-2HM.證明：過點H作HN丄BC于點N，如圖，正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=90。,…BD=\!AB2+AD2=、；2AB-FH平分ZEFB,HM丄EF,HN丄BC,HM=HN.ZHBN=45o,ZHNB=90。,.BH=HN=\2HN=p，2HMsin45o.DH=BD-BH=J2AB-、2HM.?EF=DF=、2DF=y2DH,cos45o.EF=2AB-2HM.【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)17.如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-3,6),并與x軸交于點B(1,0)和點C,頂點為點P.求這個二次函數(shù)解析式；設(shè)D為x軸上一點，滿足ZDPC=ZBAC,求點D的坐標(biāo)；作直線AP,在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,在直線AP上是否存在點N,使AM+MN的值最??？若存在，求出M、N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

【答案】(1)7145，1)-【解析】【分析】(1)將點A、點C坐標(biāo)為(3,0),點P(1,-2)；(2)點【答案】(1)7145，1)-【解析】【分析】(1)將點A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；⑵利用S“bc=2xACxBH=2xBC^a，求出咲聲=^0=~^，則tana=2，在亠MDx1△PMD中,tana=PM=7X2=2，即可求解;作點A作點A關(guān)于對稱軸的對稱點A(5,6),交AP于點N,此時AM+MN最小，即可求解.【詳解】過點A'作AZN丄AP分別交對稱軸與點M、(1)將點人、(1)將點人、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:96=-3b+32]，解得:0=-—-b+c2b=-113,c=一一

〔2故：拋物線的表達(dá)式為：y=2x2-x-扌,3令y=0,則x=-1或3,令x=0,則y=-亍，故點C坐標(biāo)為(3,0),點P(1,-2)；(2)過點B作BH丄AC交于點H,過點P作PG丄x軸交于點G,設(shè)：ZDPC設(shè)：ZDPC=ZBAC=a,由題意得：AB=2^\0,AC=6j2,BC由題意得：AB=2^\0,AC=6j2,BC=4,PC=2邁,1§△abc^2xACxBH=2xBCxy^解得：BH=2込，sina二1tana=—,2由題意得：GC=2=PG,故/PCB=45°,延長PC,過點D作DM丄PC交于點M,則MD=MC=x,MDx1肛pmd中，tana=pm=K2=2，解得：x=2邁,則CD=-J1x=4,故點P(7,0)；(3)作點A關(guān)于對稱軸的對稱點A(5,6),過點A'作AN丄AP分別交對稱軸與點M、交AP于點N,此時AM+MN最小,?TOC\o"1-5"\h\z81直線AP表達(dá)式中的k值為：二=-2，則直線AN表達(dá)式中的k值為亍—421設(shè)直線AN的表達(dá)式為：y=2x+b,一7將點A'坐標(biāo)代入上式并求解得：b=2，故直線AN的表達(dá)式為：y=2x+2…①，當(dāng)x=1時，y=4,故點M(1,4),同理直線AP的表達(dá)式為：y=-2x...②，聯(lián)立①②兩個方程并求解得：x=-5,714故點n(-5,~5)-33【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等知識，其中（3）,利用對稱點求解最小值，是此類題目的一般方法.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點B坐標(biāo)（-6,0）,點3一、、、C在y軸正半軸上，且cosB=5，動點P從點C出發(fā)，以每秒一個單位長度的速度向D點移動（P點到達(dá)D點時停止運動），移動時間為t秒，過點P作平行于y軸的直線l與菱形的其它邊交于點Q.（1）求點D坐標(biāo)；（2）求厶OPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；3（3）在直線l移動過程中，是否存在t值，使S=S卄？若存在，求出t的值；若20菱形ABCDDD【答案】（1）點D的坐標(biāo)為（10，8）.（2）S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=4t(0冬W4)50(3)3或5+\；7.-212+20(3)3或5+\；7.<33【解析】【分析】（1）在RtABOC中，求BCQC,根據(jù)菱形性質(zhì)再求D的坐標(biāo)；（2）分兩種情況分析：①當(dāng)0<t<4時和②當(dāng)4<t<10時，根據(jù)面積公式列出解析式，再求函數(shù)的最值；（3）分兩20“種情況分析：當(dāng)0<t<4時，4t=12，；當(dāng)4<t<10時，——12+—t=12【詳解】解:(1)在解:(1)在RtABOC中，ZBOC=90°，OB=6,cosB=—:.BC=-^B=10cosB：OC=^BC2-OB2=8???四邊形ABCD為菱形，CDIIx軸,???點D的坐標(biāo)為（10，8）.???AB=BC=10，點B的坐標(biāo)為(-6,0),???點A的坐標(biāo)為(4,0).分兩種情況考慮，如圖1所示．當(dāng)0<t<4時，PQ=OC=8,OQ=t,?一1…S—2PQ.0Q=4t,2???4〉0,?當(dāng)t—4時，S取得最大值，最大值為16；當(dāng)4Vt<10時，設(shè)直線AD的解析式為y—kx+b(30),將A(4,0),D(10,8)代入y—kx+b，得:4k+b=010k+b=8，解得:TOC\o"1-5"\h\z416?直線AD的解析式為y=-x-16,33416當(dāng)x—t時，y=-t一—,\o"CurrentDocument"(416、4PQ=8--1-—=—(10-1)\o"CurrentDocument"133丿3220S—PQ?OP———t2+t33???S—-21+201—-3(t-5)2+50,-2<0...當(dāng)t—5時，S取得最大值，最大值為50T”4t(0冬W4)綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S—<50-212+201(4<t?0)，S綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S—<S菱TAB?°C—80當(dāng)0<t<4時，4t—12，解得：t—3；當(dāng)4當(dāng)4Vt<10時,—12，解得：J—5-*7(舍去)，t2—5+<7.t的值為3或5+^7.綜上所述：在直線/移動過程中，存在t值，使st的值為3或5+^7.【點睛】考核知識點：一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問題?數(shù)形結(jié)合，分類討論是關(guān)鍵.如圖，公路ab為東西走向，在點A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M，在點A北偏東53.5°方向上，距離10千米處是村莊N；要在公路AB旁修建一個土特產(chǎn)收購站P(取點P在AB上)，使得M，N兩村莊到p站的距離之和最短，請在圖中作出P的位置(不寫作法)并計算：M，N兩村莊之間的距離；P到M、N距離之和的最小值.(參考數(shù)據(jù):sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75計算結(jié)果保留根號?)【答案】⑴M，N兩村莊之間的距離為2莎千米；(2)村莊M、N到P站的最短距離和是5千米.【解析】【分析】作N關(guān)于AB的對稱點N'與AB交于E,連結(jié)MN'與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購站的位置.求出DN，DM,利用勾股定理即可解決問題.由題意可知，M、N到AB上點P的距離之和最短長度就是MN'的長.【詳解】解：作N關(guān)于AB的對稱點N與AB交于E,連結(jié)MN'與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購站的位置.燈匕（1）在Rt5ANE中，AN=10,ZNAB=36.5°NE=AN?sinZNAB=10?sin36.5°=6,AE=AN?cosZNAB=10?cos36.5°=8,過M作MC±AB于點C,在RtHMAC中，AM=5,ZMAB=53.5°AC=MA?sinZAMB=MA?sin36.5°=3,MC=MA?cosZAMC=MA?cos36.5°=4,過點M作MD丄NE于點D,在RtHMND中，MD=AE-AC=5,ND=NE-MC=2,.MN=J52+22=T29,即M,N兩村莊之間的距離為*29千米.（2）由題意可知，M、N到AB上點P的距離之和最短長度就是MN'的長.DN'=10,MD=5，在Rt^MDN'中，由勾股定理，得MN；52+102=5^5（千米）.村莊M、N到P站的最短距離和是5J5千米.【點睛】本題考查解直角三角形，軸對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.10.已知：如圖，在RtAABO中，ZB=90°,ZOAB=30°,OA=3.以點0為原點，斜邊OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，以點P（4,0）為圓心，PA長為半徑畫圓，OP與x軸的另一交點為N,點M在OP上，且滿足ZMPN=60°.OP以每秒1個單位長度的速度沿x軸向左運動，設(shè)運動時間為ts,解答下列問題：（發(fā)現(xiàn)）（1）MN的長度為多少；（2）當(dāng)t=2s時，求扇形MPN（陰影部分）與RtAABO重疊部分的面積.（探究）當(dāng)0卩和厶ABO的邊所在的直線相切時，求點P的坐標(biāo).（拓展）當(dāng)MN與RtAABO的邊有兩個交點時，請你直接寫出t