中考專題：垂直平分線與角平分線

中考專題：垂直平分線與角平分線中考專題：垂直平分線與角平分線中考專題：垂直平分線與角平分線V:1.0精細整理，僅供參考中考專題：垂直平分線與角平分線日期：20xx年X月線段的垂直平分線知識要點詳解1、線段垂直平分線的性質(zhì)（1）垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點這條線段兩個端點的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖1，已知直線m與線段AB垂直相交于點D，且AD＝BD，若點C在直線m上，則AC＝BC.定理的作用：證明兩條線段相等（2）線段關(guān)于它的垂直平分線對稱.2、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理（1）線段垂直平分線的逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖2，已知直線m與線段AB垂直相交于點D，且AD＝BD，若AC＝BC，則點C在直線m上.定理的作用：證明一個點在某線段的垂直平分線上.3、關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理（1）關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖3，若直線分別是△ABC三邊AB、BC、CA的垂直平分線，則直線相交于一點O，且OA＝OB＝OC.定理的作用：證明三角形內(nèi)的線段相等.（2）三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)部；若三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點是其斜邊的中點；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形外部.反之，三角形三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)部，則該三角形是銳角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點在三角形的邊上，則該三角形是直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點在三角形外部，則該三角形是鈍角三角形.經(jīng)典例題：例1如圖1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（）A．6cmB．8cm C．10cmD．12cmB針對性練習(xí)：B已知：1)如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點AE，如果△EBC的周長是24cm，那么BC=D2)如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直D平分線交AB于點D，交BC于點E，如果BC=8cm，EBC那么△EBC的周長是EBC如圖，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2.已知：如圖所示，AB=AC，DB=DC，E是AD上一點，求證：BE=CE。B針對性練習(xí)：B已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分線,OA=OC求證：點O在BC的垂直平分線NANAOOCBCB例3.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50°，△ABC的底角∠B的大小為_______________。B針對性練習(xí)：B1.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，則底角B的大小為________________。例4、如圖8，已知AD是△ABC的BC邊上的高，且∠C＝2∠B，求證：BD＝AC＋CD.證明：課堂練習(xí)：1.如圖，AC=AD，BC=BD，則（）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACB D.以上結(jié)論均不對2.如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部，那么，這個三角形是（）A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形3.下列命題中正確的命題有（）①線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；②線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等；③經(jīng)過線段中點的直線只有一條；④點P在線段AB外且PA=PB，過P作直線MN，則MN是線段AB的垂直平分線；⑤過線段上任一點可以作這條線段的中垂線.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周長是（）A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm5.已知如圖，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB=OC，求證：AO⊥BC.6.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點M、N.求證：CM=2BM.角平分線知識要點詳解4、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖4，已知OE是∠AOB的平分線，F(xiàn)是OE上一點，若CF⊥OA于點C，DF⊥OB于點D，則CF＝DF.定理的作用：①證明兩條線段相等；②用于幾何作圖問題；角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線.5、角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖5，已知點P在∠AOB的內(nèi)部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，則點P在∠AOB的平分線上.定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：（1）關(guān)于三角形三條角平分線交點的定理：三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖6，如果AP、BQ、CR分別是△ABC的內(nèi)角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分線，那么：①AP、BQ、CR相交于一點I；②若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點D、E、F，則DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于證明三角形內(nèi)的線段相等；②用于實際中的幾何作圖問題.（2）三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點一定在三角形的內(nèi)部.7、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：（1）會作已知線段的垂直平分線；（2）會作已知角的角平分線；（3）會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.經(jīng)典例題：已知：如圖，點B、C在∠A的兩邊上，且AB=AC，P為∠A內(nèi)一點，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別是E、F。求證：PE=PFB針對性練習(xí)：B已知：如圖所示PA、PC分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分線，它們交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求證：BP為∠MBN的平分線。例2、如圖10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E為BC中點，連接AE、DE，DE平分∠ADC，求證：AE平分∠BAD.例3、如圖11-1，已知在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，且∠BAD與∠BCD互補，求證：AD＝CD.課堂練習(xí)：1.△ABC中，AB=AC，AC的中垂線交AB于E，△EBC的周長為20cm，AB=2BC，則腰長為________________。2.如圖所示，AB//CD，O為∠A、∠C的平分線的交點，OE⊥AC于E，且OE=2，則AB與CD之間的距離等于____________