5.2.1三角函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

6/65.2.1三角函數(shù)的概念本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修第一冊(cè)》（人教A版）第五章《三角函數(shù)》，本節(jié)課是第3課時(shí)，這是節(jié)關(guān)于任意角的三角函數(shù)的概念課.三角函數(shù)是高中范圍內(nèi)繼指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之后學(xué)習(xí)的函數(shù),是函數(shù)的一個(gè)下位概念,與指對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)屬于同一抽象(概括)層次。它是一種重要的基本初等函數(shù),是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具,也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他知識(shí)內(nèi)容的基礎(chǔ)。在初中,學(xué)生已學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù),知道直角三角形中銳角三角函數(shù)等于相應(yīng)邊長(zhǎng)的比值。在此基礎(chǔ)上,隨著角的概念的推廣,引入弧度制,相應(yīng)地將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù),此時(shí)它與三角形已經(jīng)沒(méi)有什么關(guān)系了。任意角的三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合)到另一個(gè)實(shí)數(shù)集(角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。認(rèn)識(shí)它需要借助單位圓、角的終邊以及兩者的交點(diǎn)這些幾何圖形的直觀(guān)幫助,這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,由銳角三角函數(shù)到坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù),再到單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù),直至得到任意角的三角函數(shù)的定義,體現(xiàn)了合情推理的思想方法。本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開(kāi),任意角三角函數(shù)的概念是本節(jié)課的重點(diǎn),能夠利用單位圓認(rèn)識(shí)這個(gè)概念是解決教學(xué)重點(diǎn)的關(guān)鍵。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義；B.根據(jù)定義認(rèn)識(shí)函數(shù)值的符號(hào)，理解誘導(dǎo)公式一；C.能初步運(yùn)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；D.體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)。1.數(shù)學(xué)抽象：三角函數(shù)的定義；2.邏輯推理：三角函數(shù)概念的推導(dǎo)過(guò)程；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：根據(jù)定義求三角函數(shù)值；4.直觀(guān)想象：三角函數(shù)定義的推導(dǎo)。1.教學(xué)重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)）的定義；2.教學(xué)難點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程。多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.1弧度角的定義【答案】等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角角度制與弧度制的換算：【答案】關(guān)于扇形的公式【答案】4.在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？【答案】二、探索新知探究一.角的始邊在x軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)P。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？它們唯一確定嗎？【答案】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為。探究二：一般地，任意給定一個(gè)角，它的終邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)能唯一確定嗎？【答案】點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)都能唯一確定。1.任意角的三角函數(shù)定義設(shè)角它的終邊與單位圓交于點(diǎn)。那么（1）是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱(chēng)為正切函數(shù)（tangentfunction)正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱(chēng)為三角函數(shù).通常將它們記為：正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)探究三：在初中我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量。以比值為函數(shù)值的函數(shù)，設(shè)，把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角的正弦記為，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的的正弦記為。與相等嗎？對(duì)于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？【答案】都相等例1.求的正弦、余弦和正切值.變式：把角改為呢？【答案】如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為（x,y），點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r。求證：探究四.1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定三角函數(shù)的定義域。三角函數(shù)定義域RR2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)?？谠E：一全正，二正弦，三正切，四余弦。求證：角為第三象限角的充要條件是.【答案】見(jiàn)教材思考：如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一），其中，。作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求角的三角函數(shù)值.例4確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：例5求下列三角函數(shù)值：通過(guò)復(fù)習(xí)上節(jié)知識(shí)和初中所學(xué)銳角三角函數(shù)，引入本節(jié)新課。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類(lèi)比推理的能力。通過(guò)探究，讓學(xué)能求角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而明白其確定性，提高學(xué)生的解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力。讓學(xué)生了解三角函數(shù)的定義，提高學(xué)生分析問(wèn)題、概括能力。通過(guò)探究讓學(xué)生理解銳角的三角函數(shù)與任意角的三角函數(shù)的關(guān)系。提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力。通過(guò)例題讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。通過(guò)探究讓學(xué)生明白三角函數(shù)的定義域及在各象限的符號(hào)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、概括問(wèn)題的能力。通過(guò)例題鞏固三角函數(shù)的正負(fù)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。通過(guò)例題讓學(xué)生理解判斷任意角的三角函數(shù)值的正負(fù)及求值，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．sin(－315°)的值是()A．－eq\f(\r(2),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)【答案】C【解析】sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)2.已知角α終邊過(guò)點(diǎn)P(1，－1)，則tanα的值為()A．1 B．－1C.eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(\r(2),2)【答案】B【解析】由三角函數(shù)定義知tanα＝eq\f(－1,1)＝－1.3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，若sinα＝eq\f(1,5)，則sinβ＝________.【答案】－eq\f(1,5)【解析】設(shè)角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，則角β的終邊與單位圓相交于點(diǎn)Q(x，－y)，由題意知y＝sinα＝eq\f(1,5)，所以sinβ＝－y＝－eq\f(1,5).4．求值：(1)sin180°＋cos90°＋tan0°.(2)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4))).【解析】(1)sin180°＋cos90°＋tan0°＝0＋0＋0＝0.(2)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。四、小結(jié)1.內(nèi)容總結(jié)①三角函數(shù)的概念.②三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的符號(hào).③誘導(dǎo)公式一.方法總結(jié)運(yùn)用了定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法解題.體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想化歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想.五、作業(yè)習(xí)題5.21.（1）、（2）2題通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課，其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義。如，計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論(與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān))后，首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突一“在坐標(biāo)系下，如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)?”并以坐標(biāo)系為平臺(tái)，有層次的研究隨角的變化，即第一