2017年高考數(shù)學(xué)北京文試題及解析

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D.94.D【解析】如圖，畫出可行域，z=x+2y表示斜率為-eq\f(1,2)的一組平行線，當(dāng)z=x+2y過點(diǎn)C（3，3）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值zmax=3+2×3=9.故選D.5.(2017年北京文)已知函數(shù)f（x）=3x-（eq\f(1,3)）x，則f（x）（）A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)5.B【解析】f（-x）=3-x-（eq\f(1,3)）-x=（eq\f(1,3)）x-3x=-f（x），所以該函數(shù)是奇函數(shù)，并且y=3x是增函數(shù)，y=（eq\f(1,3)）x是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，可知該函數(shù)是增函數(shù).故選B.6.(2017年北京文)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A.60 B.30C.20 D.106.D【解析】該幾何體是如下圖所示的三棱錐P-ABC.由圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積是V=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×3×4=10.故選D.7.(2017年北京文)設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m=λn”是“m·n<0”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.A【解析】若?λ＜0，使得m=λn，則向量m，n反向，夾角是180°，那么m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|cos180°=-|m||n|＜0；若m·n＜0，那么兩向量的夾角為（90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)λ，使得m=λn，所以是充分而不必要條件.故選A.8.(2017年北京文)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與eq\f(M,N)最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A.1033 B.1053C.1073 D.10938.D【解析】設(shè)eq\f(M,N)=x=eq\f(3361,1080)=lg3361-lg1080=361×lg3-80=93.28，所以x=1093.28，即eq\f(M,N)最接近1093.故選D.9.(2017年北京文)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sinα=eq\f(1,3)，則sinβ=_________．9.eq\f(1,3)【解析】因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于軸對稱，所以α+β=π+2kπ，k∈Z，所以sinβ=sin（π+2kπ-α）=sinα=eq\f(1,3).10.(2017年北京文)若雙曲線x2-eq\f(y2,m)=1的離心率為eq\r(3)，則實(shí)數(shù)m=_________．10.2【解析】因?yàn)閍2=1，b2=m，所以eq\f(c,a)=eq\f(eq\r(1+m),1)=eq\r(3)，解得m=2.11.(2017年北京文)已知x≥0，y≥0，且x+y=1，則x2+y2的取值范圍是_________．11.[eq\f(1,2),1]【解析】x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1，x∈[0，1]，所以當(dāng)x=0或1時(shí)，取最大值1；當(dāng)x=eq\f(1,2)時(shí)，取最小值eq\f(1,2).因此x2+y2的取值范圍為[eq\f(1,2),1].12.(2017年北京文)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），O為原點(diǎn)，則eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AO))·eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AP))的最大值為_________．12.6【解析】eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AO))·eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AP))=|eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AO))|·|eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AP))|cosθ≤|eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AO))|·|eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AP))|≤2×（2+1）=6.所以最大值是6.13.(2017年北京文)能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a>b>c，則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為_________．13.?1，?2，?3（答案不唯一）【解析】-1＞-2＞-3，-1+（-2）=-3＞-3，矛盾，所以-1，-2，-3可驗(yàn)證該命題是假命題.14.(2017年北京文)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（?。┠袑W(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；（ⅱ）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；（ⅲ）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)．①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_________．②該小組人數(shù)的最小值為_________．14.612【解析】設(shè)男生人數(shù)、女生人數(shù)、教師人數(shù)分別為a，b，c，則2c＞a＞b＞c，a，b，c，∈N*.①8＞a＞b＞4bmax=6，②cmin=3，6＞a＞b＞3a=5，b=4a+b+c=12.15.(2017年北京文)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求和：b1+b3+b5+…b2n-1．15.解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍2+a4=10，∴2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.（2）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閎2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.從而b1+b3+b5+…b2n-1=1+3+32+…+3n-1=eq\f(3n-1,2).16.(2017年北京文)已知函數(shù)f（x）=eq\r(3)cos（2x-eq\f(π,3)）-2sinxcosx.（1）求f(x)的最小正周期；（2）求證：當(dāng)x∈[-eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]時(shí)，f（x）≥-eq\f(1,2)．16.解：f（x）=eq\f(eq\r(3),2)cos2x+eq\f(3,2)sin2x-sin2x=eq\f(1,2)sin2x+eq\f(eq\r(3),2)cos2x=sin（2x+eq\f(π,3)）.所以f（x）的最小正周期T=eq\f(2π,2)=π.（2）因?yàn)?eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，所以-eq\f(π,6)≤2x+eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6).所以sin（2x+eq\f(π,3)）≥sin（-eq\f(π,6)）=-eq\f(1,2).所以當(dāng)x∈[-eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]時(shí)，f（x）≥-eq\f(1,2).17.(2017年北京文)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30]，[30,40]，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．17.解：根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為（0.02+0.04）×10=0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為0.4.（2）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為（0.01+0.02+0.04+0.02）×10=0.9，分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)為100-100×0.9-5=5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×eq\f(5,100)=20.（3）由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為（0.02+0.04）×10×100=60，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)=30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×2=60，女生人數(shù)為100-60=40，男生和女生人數(shù)的比例為60：40=3：2.所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為3：2.18.(2017年北京文)如圖，在三棱錐P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)．（1）求證：PA⊥BD；（2）求證：平面BDE⊥平面PAC；（3）當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E–BCD的體積．18.解：（1）因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC，又因?yàn)锽D?平面ABC，所以PA⊥BD.（2）因?yàn)锳B=BC，D為AC中點(diǎn)，所以BD⊥AC，由（1）知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以平面BDE⊥平面PAC.（3）因?yàn)镻A∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE=DE，所以PA∥DE.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以DE=eq\f(1,2)PA=1，BD=DC=eq\r(2).由（1）知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱錐E-BCD的體積V=eq\f(1,6)BD·DC·DE=eq\f(1,3).19.(2017年北京文)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(eq\r(3),2)．（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．19.解：（1）設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1（a＞b＞0）.由題意得eq\b\lc\{(\a\al(a=2，,eq\f(c,a)=eq\f(eq\r(3),2)，))解得c=eq\r(3).所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)+y2=1.（2）設(shè)M（m，n），則D（m，0），N（m，-n）.由題設(shè)知m≠±2，且n≠0.直線AM的斜率kAM=eq\f(n,m+2)，故直線DE的斜率kDE=-eq\f(m+2,n).所以直線DE的方程為y=-eq\f(m+2,n)（x-m）.直線BN的方程為y=eq\f(n,2-m)（x-2）.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\al(y=-eq\f(m+2,n)（x-m），,y=eq\f(n,2-m)（x-2），))解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=eq\f(n（4-m2）,4-m2