2023年新高考一輪復習講義第37講 數(shù)列求和含答案

試卷第=page88頁，共=sectionpages88頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年新高考一輪復習講義第37講數(shù)列求和學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·重慶八中高三階段練習）數(shù)列的前n項和為，且，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20232．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，則（

）A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26C．26<S100<27 D．27<S100<27.53．（2022·全國·高三專題練習）（

）A． B． C． D．4．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學高三開學考試）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學界的王子.在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．5．（2022·廣東廣州·三模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2022項和為（

）A． B． C． D．6．（2022·江蘇南通·高三期末）函數(shù)y＝[x]廣泛應用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領域，其中[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（

）A．4097 B．4107 C．5119 D．51297．（2022·全國·高三專題練習）設，為數(shù)列的前n項和，求的值是（

）A． B．0 C．59 D．8．（2022·北京·北師大二附中高三開學考試）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則下列結論錯誤的是（

）A．的值為2B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列為遞減數(shù)列D．9．（多選）（2022·重慶·一模）已知數(shù)列滿足：，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．數(shù)列的前10項和為定值 D．數(shù)列的前20項和為定值10．（多選）（2022·廣東·一模）已知數(shù)列滿足，，則下列結論中正確的是（

）A．B．為等比數(shù)列C．D．11．（多選）（2022·湖北·模擬預測）已知數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和，則（

）A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列C．D．中存在不相等的三項構成等差數(shù)列12．（多選）（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高三階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．B．數(shù)列是公比為28的等比數(shù)列C．若，則數(shù)列的前2020項和為4040D．若，則數(shù)列的前2020項和為13．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）數(shù)列的通項公式為，該數(shù)列的前8項和為__________．14．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，則___________.15．（2022·湖南益陽·高三階段練習）已知數(shù)列中，，當時，有，則的值為__________.16．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且，設函數(shù)，則______．17．（2022·江蘇·南京市中華中學高三階段練習）已知數(shù)列{}滿足=2，.(1)求數(shù)列{}的通項公式;(2)求數(shù)列{}的前n項和.18．（2022·湖南·高三開學考試）已知數(shù)列中為直角坐標平面上的點.對任意三點共線.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：.19．（2022·廣東·高三開學考試）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項的和.【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號．用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和，則（

）A．249 B．499 C．749 D．9992．（2022·浙江·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，且，則（

）A． B． C． D．3．（2021·浙江·模擬預測）已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，前n項和為Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，設bn＝log3an，數(shù)列的前n項和Tn的范圍（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江省嘉善中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項和，則（

）A． B． C． D．5．（多選）（2022·廣東·深圳市第七高級中學高三階段練習）已知數(shù)列中，，且，設，則下列結論正確的是（

）A．B．數(shù)列單調(diào)遞增C．D．若為偶數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為86．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）數(shù)列滿足，，則前40項和為________．7．（2022·湖北·宜城市第二高級中學高三開學考試）已知數(shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項和為，證明：．試卷第=page3232頁，共=sectionpages2424頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第37講數(shù)列求和學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·重慶八中高三階段練習）數(shù)列的前n項和為，且，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，可求得,依此類推，即可求解.【詳解】∵，故故.故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，則（

）A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26C．26<S100<27 D．27<S100<27.5【答案】A【分析】利用裂項相消法，來求前項和公式，再求前100項的和即可．【詳解】由，∴，∴，故選：A．3．（2022·全國·高三專題練習）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察數(shù)列屬于等差乘等比模型，按照錯位相減法求和即可.【詳解】由，得，兩式相減得.所以.故選：B.4．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學高三開學考試）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學界的王子.在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，利用倒序相加法求解.【詳解】解：因為，且，令,又，兩式相加得：，解得，故選：B5．（2022·廣東廣州·三模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2022項和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得出為等差數(shù)列，即可求出，進而得出，利用裂項相消法可求出.【詳解】當時，；當時.所以，所以.因為，所以，所以是一個首項為3，公差為1的等差數(shù)列，所以，故.所以，所以.故選：A6．（2022·江蘇南通·高三期末）函數(shù)y＝[x]廣泛應用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領域，其中[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝[log2x]，則f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（

）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【答案】B【分析】根據(jù)新函數(shù)的定義，確定的值，然后用分組求和法、錯位相減法求和．【詳解】由題意時，，，在上奇數(shù)共有個，，，，設，則，相減得：，所以，所以．故選：B．7．（2022·全國·高三專題練習）設，為數(shù)列的前n項和，求的值是（

）A． B．0 C．59 D．【答案】A【分析】由題得

①，

②，兩式相加化簡即得解.【詳解】令

①則

②①+②可得：，，..故選：A8．（2022·北京·北師大二附中高三開學考試）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則下列結論錯誤的是（

）A．的值為2B．數(shù)列的通項公式為C．數(shù)列為遞減數(shù)列D．【答案】B【分析】利用與的關系可求數(shù)列的通項公式，利用可判斷單調(diào)性，利用錯位相減法求.【詳解】當時，，∴，故A正確；當時，，∴，∴，∵上式對也成立，∴（），故B錯誤；∵，∴數(shù)列為遞減數(shù)列，故C正確；∵，∴，兩式相減得，，∴，故D正確．故選：B．9．（多選）（2022·重慶·一模）已知數(shù)列滿足：，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．數(shù)列的前10項和為定值 D．數(shù)列的前20項和為定值【答案】AD【分析】由，兩式可判斷A,B選項；由題意可得，，從而可判斷選項C,D.【詳解】取得，故；選項A正確取得，又，兩式相減得；選項B不正確.由題知，①，②，③，②-①得，②+③得，∴為定值，題中條件只限制，所以的值不確定，故前10項和無法確定；所以選項C不正確.前20項中奇數(shù)項有10項，相鄰兩項的和確定，故這10項的和確定，同理10個偶數(shù)項的和確定，故前20項和為定值.所以選項D正確.故選：AD10．（多選）（2022·廣東·一模）已知數(shù)列滿足，，則下列結論中正確的是（

）A．B．為等比數(shù)列C．D．【答案】AD【分析】利用遞推式可求得的值，可判斷A,B;將變?yōu)?，利用等比?shù)列的求和公式，求得結果，判斷C;將變?yōu)椋玫缺葦?shù)列的求和公式，求得結果，判斷D;【詳解】，則，又，同理，故A正確；而，故不是等比數(shù)列，B錯誤；，故C錯誤；，故D正確，故選：AD11．（2022·湖北·模擬預測）已知數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和，則（

）A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列C．D．中存在不相等的三項構成等差數(shù)列【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項表達式，再逐項分析計算、判斷作答.【詳解】數(shù)列中，，，則，，因此，數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，，數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，，B正確；因，，則數(shù)列不是等比數(shù)列，A不正確；，C正確；假定中存在不相等的三項構成等差數(shù)列，令此三項依次為，且，，則有，而，即，又，因此，不成立，所以中不存在不相等的三項構成等差數(shù)列，D不正確.故選：BC12．（多選）（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高三階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．B．數(shù)列是公比為28的等比數(shù)列C．若，則數(shù)列的前2020項和為4040D．若，則數(shù)列的前2020項和為【答案】BCD【分析】應用等差數(shù)列的前n項和、通項公式求基本量可得，進而判斷A，再由及等比數(shù)列的定義判斷B，應用分組求和、裂項求和判斷C、D.【詳解】由題設，，則，若等差數(shù)列的公差為，故，而，所以，則，，A錯誤；，易知是公比為28的等比數(shù)列，B正確；，則前2020項和為，C正確；，則前n項和為，所以前2020項和為，D正確.故選：BCD13．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）數(shù)列的通項公式為，該數(shù)列的前8項和為__________．【答案】【分析】用裂項相消法求和．【詳解】因為，所以．故答案為：．14．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，則___________.【答案】【分析】依題意設公差為，即可得到方程組，求出與，即可求出通項公式與前項和公式，再利用裂項相消法求和即可；【詳解】設公差為，因為，所以，解得，所以，所以，所以，所以故答案為：15．（2022·湖南益陽·高三階段練習）已知數(shù)列中，，當時，有，則的值為__________.【答案】【分析】令，進而根據(jù)題意得數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，首項為，進而得，再根據(jù)錯位相減法求解即可.【詳解】解：因為當時，有，所以，令，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，所以，所以，所以，即故答案為：16．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，且，設函數(shù)，則______．【答案】【分析】根據(jù)可求，從而可求.易驗證，故可采用倒序相加法求題設式子的值．【詳解】∵①，∴當時，②，①－②得，∴；當時，，∴，此時仍然成立，∴．∴當n=1時，；當時，，當n=1時，上式也成立，故．由于，設則，∴．故答案為：．17．（2022·江蘇·南京市中華中學高三階段練習）已知數(shù)列{}滿足=2，.(1)求數(shù)列{}的通項公式;(2)求數(shù)列{}的前n項和.【解】（1）令，，，所以，所以是公比為2的等比數(shù)列，所以，即，符合=2，故.（2），①，②得：所以：18．（2022·湖南·高三開學考試）已知數(shù)列中為直角坐標平面上的點.對任意三點共線.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：.【解】（1）由題意得：，三點共線，則，可得，即.數(shù)列是首項為1公差為1的等差數(shù)列，所以.（2），所以19．（2022·廣東·高三開學考試）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項的和.【解】（1）當為奇數(shù)時，，所以所有奇數(shù)項構成以為首項，公差為－1的等差數(shù)列，所以，當為偶數(shù)時，，所以所有偶數(shù)項構成以為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以；（2.【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號．用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項和，則（

）A．249 B．499 C．749 D．999【答案】A【分析】利用已知關系式構造兩個新數(shù)列，求出，利用放縮技巧，可得到數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法求數(shù)列前項和后，帶入函數(shù)解析式即可得到答案.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，則①；由得，，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立可得；因為，所以即：

所以，故，所以，則．故選：A2．（2022·浙江·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算出，由已知得，即，所以，由累乘法可得再利用裂項相消求和可得答案.【詳解】由，，得，所以，，所以，即，所以，所以，所以，，故，，所以.故選：A.3．（2021·浙江·模擬預測）已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，前n項和為Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，設bn＝log3an，數(shù)列的前n項和Tn的范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項公式可得，求得，再由數(shù)列的錯位相減法求和，結合等比數(shù)列的求和公式可得，判斷為遞增數(shù)列，可得所求范圍．【詳解】解：首項，前項和為，，可得，時，，又，兩式相減可得，則，可得，上式對也成立，則，，，，則前項和，，相減可得，化簡可得，由，可得為遞增數(shù)列，可得，而，可得，綜上可得，故選：C．4．（2022·浙江省嘉善中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項和，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷出，通過放縮得到，再通過分析法證得，結合裂項相消即可證得，又由證得即可.【詳解】當，時，因為，所以，又因為，且，下證，即證，即證，即證，即證，即證令，即證，當，時，不等式恒成立.因此，，所以，又因為，故選：D.5．（多選）（2022·廣東·深圳市第七高級中學高三階段練習）已知數(shù)列中，，且，設，則下列結論正確的是（

）A．B．數(shù)列單調(diào)遞增C．D．若為偶數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為8【答案】AC【分析】利用求得是公比為3的等比數(shù)列，利用求得的值，判斷出選項A，求出即可判斷B；利用分組求和證得C正確；利用二項式定理證得D錯誤.【詳解】解：∴∴則是公比為3的等比數(shù)列.∴或，又，所以，A正確；，可能小于，故B錯誤；又，故C正確；，不符故當時，為奇數(shù)，故D錯誤.故選:AC.6．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）數(shù)列滿足，，則前40項和為________．【答案】【分析】根據(jù)題設中的遞推關系可得、，利用分組求和可求前40項和，【詳解】當時，，故，當時，，所以，所以，當時，；當時，；當時，；當時，；故，故前40項和為，故答案為：7．（2022·湖北·宜城市第二高級中學高三開學考試）已知數(shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項和為，證明：．【解】（1）單調(diào)遞減，理由如下：．∵，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減；（2）∵，，，∴，又，則.∵，，∴，則，當，累加可得，則，則，則，∴，則．試卷第=page4040頁，共=sectionpages88頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第38講數(shù)列的綜合應用學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·遼寧·沈陽二中模擬預測）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．2．（2022·山東泰安·一模）已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．， B． C．， D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且，，若，則稱項為“和諧項"，則數(shù)列的所有“和諧項”的平方和為（

）A． B． C． D．4．（2022·北京朝陽·一模）已知數(shù)列，若存在一個正整數(shù)使得對任意，都有，則稱為數(shù)列的周期.若四個數(shù)列分別滿足：①，；②，；③，，；④，.則上述數(shù)列中，8為其周期的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·全國·高三專題練習）朱世杰是元代著名數(shù)學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數(shù)可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（2022·江蘇·鹽城中學高三開學考試）已知數(shù)列的前項和為，且().記，為數(shù)列的前項和，則使成立的最小正整數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．87．（2022·山東·聊城二中高三開學考試）在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取該數(shù)列的項：第一次取1；第二次取2個連續(xù)的偶數(shù)2，4；第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個連續(xù)的偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個連續(xù)的奇數(shù)17，19，21，23，25；按此規(guī)律取下去，得到一個數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則這個數(shù)列中第2022個數(shù)是（

）A．3974 B．3976 C．3978 D．39808．（2022·江蘇·高三專題練習）若數(shù)列的前項和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項公式為，設數(shù)列的前項和為，若對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．9．（多選）（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知正項數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．對任意的，C．對任意都成立 D．10．（多選）（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）在數(shù)列中，若（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數(shù)列B．若正項等方差數(shù)列的首項，且是等比數(shù)列，則C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列11．（2022·浙江·高三專題練習）已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．現(xiàn)將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；然后將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；若如此繼續(xù)操作下去，則桶中的水比桶中的水多_______升．12．（2022·江蘇·金陵中學高三階段練習）數(shù)列通項公式.若等差數(shù)列滿足：，都有，則數(shù)列的通項公式___________.13．（2022·湖南·雅禮中學高三階段練習）數(shù)列滿足：，，，.若，對，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為___________.14．（2022·江蘇省響水中學高三階段練習）已知數(shù)列的前項和，對任意，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.15．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）已知數(shù)列對任意的，都有，且．①當時，_________．②若存在，當且為奇數(shù)時，恒為常數(shù)P，則P＝_________．16．（2022·江蘇省江陰高級中學高三開學考試）已知是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．17．（2022·山東日照·高三開學考試）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．18．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)記，，．證明：當時，．【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高三專題練習）已知成等比數(shù)列，且．若，則A． B． C． D．2．（2022·湖北·天門市教育科學研究院模擬預測）已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·紹興一中高三期末）已知數(shù)列滿足（），，則當時，下列判斷不一定正確的是（

）A． B．C． D．存在正整數(shù)k，當時，恒成立4．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為________．5．（2022·福建廈門·模擬預測）已知數(shù)列與數(shù)列的前n項和分別為，則_________；若對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________．6．（2022·上?！とA東師范大學附屬東昌中學高三階段練習）設函數(shù)，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為正整數(shù)，設的解集為，求及數(shù)列的前項和；（3）對于（2）中的數(shù)列，設，求數(shù)列的前項和的最大值.試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第38講數(shù)列的綜合應用學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·遼寧·沈陽二中模擬預測）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．【答案】D【分析】計算出每月應還的本金數(shù)，再計算第n個月已還多少本金，由此可計算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設張華第個月的還款金額為元，則，故選：D2．（2022·山東泰安·一模）已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．， B． C．， D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列通項公式得，再結合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以對任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，所以，解得．故選：．3．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且，，若，則稱項為“和諧項"，則數(shù)列的所有“和諧項”的平方和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，得到，兩式相減得到，從而得到數(shù)列的通項公式，根據(jù)“和諧項"的定義可得，再利用等比數(shù)列的前項和可得答案.【詳解】①，②，①-②得，即，，，故，，所以數(shù)列的所有“和諧項”的平方和為.故選：D.4．（2022·北京朝陽·一模）已知數(shù)列，若存在一個正整數(shù)使得對任意，都有，則稱為數(shù)列的周期.若四個數(shù)列分別滿足：①，；②，；③，，；④，.則上述數(shù)列中，8為其周期的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用數(shù)列的周期的定義逐項分析即得.【詳解】①∵，∴數(shù)列的周期為，故8也是數(shù)列的周期；②由，，可得故數(shù)列的周期為；③由，，可得，，故數(shù)列的周期為；④由，可得，，故數(shù)列的周期為，所以8也是數(shù)列的周期.故8為其周期的數(shù)列個數(shù)為2.故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習）朱世杰是元代著名數(shù)學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數(shù)可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】把各層的鉛筆數(shù)看出等差數(shù)列，利用求和公式得到，由n為264的因數(shù)，且為偶數(shù)，把四個選項一一代入驗證即可.【詳解】設最上面一層放根，一共放n（n≥2）層，則最下一層放根，由等差數(shù)列前n項和公式得：，∴，∵,∴n為264的因數(shù)，且為偶數(shù)，把各個選項分別代入，驗證，可得：n=8滿足題意.故選：D6．（2022·江蘇·鹽城中學高三開學考試）已知數(shù)列的前項和為，且().記，為數(shù)列的前項和，則使成立的最小正整數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)之間的關系證明為等比數(shù)列，然后再證明也是等比數(shù)列，由此求解出.根據(jù)不等式結合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解出的取值范圍，從而確定出的最小整數(shù)值.【詳解】解析：由，可知，∴，即.時，，∴，∴，∴，∴數(shù)列是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列.∴.又，∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.∴.又，∴，即，∴.又，∴的最小值為7.故選：C.7．（2022·山東·聊城二中高三開學考試）在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取該數(shù)列的項：第一次取1；第二次取2個連續(xù)的偶數(shù)2，4；第三次取3個連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個連續(xù)的偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個連續(xù)的奇數(shù)17，19，21，23，25；按此規(guī)律取下去，得到一個數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則這個數(shù)列中第2022個數(shù)是（

）A．3974 B．3976 C．3978 D．3980【答案】D【分析】由題意可得，找出取數(shù)的規(guī)律為：奇數(shù)次取奇數(shù)個奇數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個偶數(shù)，前次總共取的數(shù)各數(shù)量可以通過等差數(shù)列求和得到，且第次的最后一個數(shù)為，據(jù)此即可求解.【詳解】由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個奇數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個偶數(shù)，前次共取了個數(shù)，且第次的最后一個數(shù)為，當時，，故到第63次取時取了63個奇數(shù)，且前63次共取了2016個數(shù)，即第2016個數(shù)為，∴時，依次為3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，∴第2022個數(shù)為3980.故選：D.8．（2022·江蘇·高三專題練習）若數(shù)列的前項和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項公式為，設數(shù)列的前項和為，若對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，求得，進而求得數(shù)列的通項公式為，結合裂項法求得數(shù)列的前和，得出不等式，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，數(shù)列的前項和為，由“均值數(shù)列”的定義可得，所以，當時，；當時，，也滿足，所以，所以，所以，又對一切恒成立，所以，整理得，解得或.即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.9．（多選）（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知正項數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．對任意的，C．對任意都成立 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)所給數(shù)列性質(zhì)利用判斷A，由函數(shù)不等式推導出可判斷B,利用B中結論遞推可判斷C，由對數(shù)運算及數(shù)列求和后放縮可判斷D.【詳解】由，顯然，則不是等比數(shù)列，A；由當且僅當時等號成立，由為正項數(shù)列，得，故，故B正確；由B知，故C正確；則，故D正確.故選：BCD10．（多選）（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）在數(shù)列中，若（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數(shù)列B．若正項等方差數(shù)列的首項，且是等比數(shù)列，則C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列【答案】BC【分析】根據(jù)等方差數(shù)列定義判斷A，由等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列求判斷B，根據(jù)等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列的通項公式判斷C，由等差數(shù)列及等方差數(shù)列定義，利用反證法判斷D.【詳解】設，則，不滿足為非零常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，故A錯誤；由題意，則，即，解得或（舍去），當時，滿足題意，故B正確；設數(shù)列為等比數(shù)列，不妨設，則，所以，若為常數(shù)，則，但此時，不滿足題意，故C正確；若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，不妨設，（為非零常數(shù)），，所以，即，所以，即，所以為常數(shù)列，這與，矛盾，故D錯誤.故選：BC11．（2022·浙江·高三專題練習）已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．現(xiàn)將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；然后將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；若如此繼續(xù)操作下去，則桶中的水比桶中的水多_______升．【答案】．【分析】根據(jù)題意，得到，之間的關系，然后用數(shù)列知識求解．【詳解】根據(jù)題意可得，，，，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，．故答案為：12．（2022·江蘇·金陵中學高三階段練習）數(shù)列通項公式.若等差數(shù)列滿足：，都有，則數(shù)列的通項公式___________.【答案】【分析】根據(jù)題意求出，進而求出；當時設，根據(jù)列出關于的不等式，進而得出，利用不等式的性質(zhì)求得，結合等差數(shù)列的通項公式即可得出結果.【詳解】當時，，當時，，由，當時，，又，所以，故；當時，，即，整理，得，又為等差數(shù)列，設，即，整理，得，對恒成立由，知，則，所以，即是以2為公差，以1為首項的等差數(shù)列，故.故答案為：.13．（2022·湖南·雅禮中學高三階段練習）數(shù)列滿足：，，，.若，對，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為___________.【答案】【分析】應用構造法求的通項公式，即得通項公式，進而討論、研究題設不等式恒成立，在時構造并研究單調(diào)性，即可求的最大值.【詳解】由，可得，∴數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列，則，∴，由已知有：，當時，顯然符合題意，當時，由已知得：.設，則，∴數(shù)列遞增，則的最小值為，故只需.故答案為：.14．（2022·江蘇省響水中學高三階段練習）已知數(shù)列的前項和，對任意，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【詳解】試題分析：由，得；當時，，若為偶數(shù)，則，∴（為正奇數(shù)）；若為奇數(shù)，則，∴（為正偶數(shù)）．函數(shù)（為正奇數(shù)）為減函數(shù)，最大值為，函數(shù)（為正偶數(shù)）為增函數(shù)，最小值為．若恒成立，則，即．故答案為．15．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）已知數(shù)列對任意的，都有，且．①當時，_________．②若存在，當且為奇數(shù)時，恒為常數(shù)P，則P＝_________．【答案】

2

1【分析】根據(jù)通項公式確定的周期性即可求，由題設可得，討論的奇偶性確定后續(xù)數(shù)列出現(xiàn)奇數(shù)項與相等，列方程求P的值.【詳解】由題設通項公式，可得，故從第二項開始形成周期為3的數(shù)列，而，故．當時，為奇數(shù)時為偶數(shù)，故；若為奇數(shù)，由，故，不滿足；若為偶數(shù)，則直到為奇教，有，故，當時滿足條件，此時，即，故答案為：2，116．（2022·江蘇省江陰高級中學高三開學考試）已知是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．【解】（1）由題意得，，故，所以的通項公式為．（2）設數(shù)列的前項和為，則，，兩式相減得，

所以．17．（2022·山東日照·高三開學考試）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以數(shù)列是首項為，公比為的等