有限單元法部分課后題答案

1.1 離散的含義即將結(jié)構(gòu)離散化，即用假想的線或面將連續(xù)體分割成數(shù)H有限的單元，并在其上設定有限個節(jié)點;用這些單元組成的單元集合體代替原來的連續(xù)體,而場函數(shù)的節(jié)點值將成為問題的基本未知量。給每個單元選擇合適的位移函數(shù)或稱位移模式來近似地表示單元內(nèi)位移分布規(guī)律，即通過插值以單元節(jié)點位移表示單元內(nèi)任意點的位移。因節(jié)點位移個數(shù)是有限的，故無限自由度問題被轉(zhuǎn)變成了有限自由度問題。3單元剛度矩陣和整體剛度矩陣各有哪些性質(zhì)？各自的物理意義是什么？兩者度矩陣的性質(zhì)：對稱性、奇異性、稀疏性。單元Kij物理意義Kij即單元節(jié)點位移向量中第j個自山度發(fā)生單位位移而其他位移分量為零時，在第j個自111度方向引起的節(jié)點力。整體剛度矩陣K中每一列元素的物理意義是:要迫使結(jié)構(gòu)的某節(jié)點位移自由度發(fā)生荷載。2(1) 在外力作用下，物體內(nèi)部將產(chǎn)生應力C和應變，外力所做的功將以變形能的形式儲存起來，這種能量稱為應變能。⑵外力勢能就是外力功的負值。(3)勢能變分原理可敘述如下:在所有滿足邊界條件的協(xié)調(diào)位移中，那些滿足靜力平衡條件的位移使物體勢能泛函取駐值，即勢能的變分為零8Up二8Ue+5V0此即變分方程。對于線性彈性體,勢能取最小值，即62UP二§2U￡+62VN0此時的勢能變分原理就是著名的最小勢能原理。勢能變分原理代表平衡方程、本構(gòu)方程和應力邊界條件,其中附加了兒何方程和位移邊界條件。2.3么？等效積分形式通過分部積分，稱式fQCT(v)D(u)dQ+jrET(v)F(u)dr為微分方程的弱形式，相對而言，定解問題的微分方程稱為強形式。區(qū)別:弱形式得不到解析解。建立弱形式的關鍵步驟:對場函數(shù)要求較低階的連續(xù)性。2.4為了使計算結(jié)果能夠收斂于精確解，位移函數(shù)需要滿足哪些條件?為什么？只要位移函數(shù)滿足兩個基本要求,即完備性和協(xié)調(diào)性，汁算結(jié)果便收斂于精確解。6?Ritz法收斂的條件是什么？在Ritz法中,\決定了試探函數(shù)的基本形態(tài)，待定參數(shù)使得場函數(shù)具有一定的任意性。如果真實場函數(shù)包含在試探函數(shù)之內(nèi)，則變分法得到的解答是精確的;如果試最佳解答，近似性就源于此。采用變分法近似求解，要求在整個求解區(qū)域內(nèi)預先給出滿足邊界條件的場函數(shù)。通常情況下這是不可能的，因而變分法的應用受到了限制。Ritz法的收斂條件是要求試探函數(shù)具有完備性和連續(xù)性，也就是說，如果試探函數(shù)滿足完備性和連續(xù)性的要求，當試探函數(shù)的項數(shù)趨近于無窮時，則Ritz法的近似解將趨近于數(shù)學微分方程的精確解。1構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？形函數(shù)是定義于單元內(nèi)坐標的連續(xù)函數(shù)。單元位移函數(shù)通常采用多項式，其中的待定常數(shù)應該與單元節(jié)點自山度數(shù)相等。為滿足完備性要求，位移函數(shù)中必須包括常函數(shù)和一次式,即完全一次多項式。多項式的選取應山低階到高階，盡量選擇完全多項式以提高單元的精度。若由于項數(shù)限制而不能選取完全多項式時，也應使完全多項式具有坐標的對稱性，并且一個坐標方向的次數(shù)不應超過完全多項式的次數(shù)。有時為了使位移函數(shù)保持一定階次的完全多項式，可在單元內(nèi)部配置節(jié)點。然而，這種節(jié)點的存在將增加有限元格式和計算上的復雜性，除非不得已才加以采用。形函數(shù)應保證用它定義的位移函數(shù)滿足收斂要求，即滿足完備性要求和協(xié)調(diào)性條件。構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則?試采用構(gòu)造單元的兒何方法，構(gòu)造單元的形函數(shù)，并對其收斂性進行討論。通常單元位移函數(shù)采用多項式，其中的待定常數(shù)山節(jié)點位移參數(shù)確定，因此其個通常單元位移函數(shù)采用多項式，其中的待定常數(shù)山節(jié)點位移參數(shù)確定，因此其個數(shù)應與單元節(jié)點自山度數(shù)相等。根據(jù)實體結(jié)構(gòu)的兒何方程,單元的應變是位移的一次導數(shù)。為了反映單元剛體位移和常應變即滿足完備性要求，位移函數(shù)中必須包含常數(shù)項和一次項,即完全一次多項式。3三角形單元中，任一點P(x,y)33個子三角形，其位置可以用下述稱為面積坐標的三個比值來確定：L1二Al/AL2二A2/AL3二A3/A其中A1,A2,A3分別為P23,P31,P12的面積。面積坐標的特點：aT3單元的形函數(shù)Xi就是面積坐標Lib面積坐標與三角形在整體坐標系中的位置無關。c1(1,0,0)2(0,1,0)、節(jié)點3(0,1),(1/3,1/3,1/3)od單元邊界方程為Li0(i1,2,3)e23邊的一條直線上,所有點都有相同的面積坐標L1(L1對應的三角形具有相同的高和底邊)，而且L1231至23比值。f面積坐標與直角坐標互為線性關系。（（3）面積坐標與三角形在整體坐標系中的位置無關，故稱為局部坐標或自然坐標。1軸對稱問題是空間問題的一種特殊情況，結(jié)構(gòu)的兒何形狀、約束條件及荷載分布都對稱于某個軸，其位移、應變、應力等也對稱于此軸，而與環(huán)向坐標無關。4.2試用體積坐標構(gòu)造10節(jié)點四面體單元的形函數(shù)并討論收斂性。1等參單元（簡稱等參元）就是坐標變換和單元內(nèi)的等變量（通常是位移函數(shù)）采用相同的節(jié)點參數(shù)和相同的插值函數(shù)進行變換而設計出的一種單元。優(yōu)越性:一，有些工程結(jié)構(gòu)的形狀比較復朵，如果用直邊單元離散這些結(jié)構(gòu)將需要大量的單元才能得到較好的近似，而曲邊的等參單元可非常方便的離散復雜結(jié)構(gòu)。二，如果在單元內(nèi)多取些節(jié)點，單元便具有較多的位移自山度，從而就能夠插值表示較復雜的單元內(nèi)部位移場,這樣也就提高了單元本身的精度。三,等參單元剛度矩陣、荷載矩陣的計算是在規(guī)則單元域內(nèi)進行的，因此不管被積函數(shù)多么復雜都可方便的采用標準化數(shù)值分析。在等參單元計算中，數(shù)值積分的階次并不是越高越好,6對應于某種非剛體位移模式，減縮積分時高斯點上的應變正好等于零，此時的應變能當然也為零，這種非剛體位移模式稱為零能模式。采用減縮積分時會發(fā)生零能模式。6.16.1對于桿系結(jié)構(gòu)單元，為什么要在局部坐標系內(nèi)建立單元剛度矩陣?為什么還要坐標變換？在局部坐標系內(nèi)可以更方便的建立單元剛度矩陣。在整體分析中，對所有單元都應采用同一個坐標系即整體坐標系XY,否則圍前，還需要進行坐標轉(zhuǎn)換丄作，把局部坐標系中得出的單元剛度方程轉(zhuǎn)換成整體坐標系中的單元剛度方程,從而得出整體坐標系中的單元剛度矩陣。2工程梁理論、剪切梁理論、通用梁理論、空間梁理論。梁彎曲理論(包括工程梁理論和剪切梁理論)在彈性力學基本假定的基礎上引入了某些附加假定，將問題歸結(jié)為求解中性軸位移，而梁內(nèi)任一點的位移都可以通過中性軸位移來表示。1假設：(1)板厚度方向的擠壓變形可忽略不計，即Z0。即直法線假設。(u)z二0二(v)z二0二 0薄板的全部位移、應力和應變分量都可以用板的撓度3來表示而薄板小撓度彎曲被3￡x=6u/6x￡x=6u/6x二一z623/6x2￡y=6v/6y二-623見Pl16,式(7.3a)rxy二6u/6y+6v/6x二-2z62s/6x6y的？不同點:薄板單元假設橫向纖維無擠壓,板的中面法線變形后仍保持為直線，該直線垂直于變形后的中面，但是厚板單元的假設考慮橫向變形的影響,板的中面法線變形后仍基本保持為直線，但該直線不再垂直于變形后的中面,法線繞坐標軸的轉(zhuǎn)角不再是撓度的導數(shù)，而是獨立的變量。在薄板單元中，節(jié)點力矩與薄板內(nèi)力有何區(qū)別？節(jié)點力矩Mxi,Myi是集中力矩，而板內(nèi)力矩Mx,My是分布力矩，此外，兩者的正負號規(guī)定也不相同，因為Mx,My與應力正負號的規(guī)定相應。1設?與厚板理論的假定有何異同？薄殼理論的假設:薄殼發(fā)生微笑變形時，忽略沿殼體厚度方向的擠壓變形;且認為直法線假設成立，即變形后中面法線保持為直線且仍為中面的法線;殼體變形時中面不但發(fā)生彎曲，而且面內(nèi)也將產(chǎn)生面內(nèi)伸縮變形;折板假設;非耦合假設。與薄板理論的假設的相同點:直法線假設和法向(板厚度方向)的纖維無擠壓假設均成立。不同點：薄板中面只發(fā)生彎曲變形，沒有面內(nèi)的伸縮變形,即中面水平位移為零，而殼體變形時中面不但發(fā)生彎曲，而且也將產(chǎn)生面內(nèi)伸縮變形。厚殼分析的假設:變形前后的中曲面法線變形后仍基本保持為直線，但因橫向剪切厚殼分析的假設:變形前后的中曲面法線變形后仍基本保持為直線，但因橫向剪切變形的緣故,該直線不再垂直于變形后的中曲面，此外，殼體用度方向的擠壓變形可以忽略。與厚板理論的假設的相同點：中面法線變形后仍基本保持為直線，但因橫向剪切變形的緣故，該直線不在垂直于變形后的中面。厚度方向的擠壓變形忽略不計。不同點:厚板理論的假設中，中面內(nèi)的線位移可以忽略，而厚殼理論的假設中，中面內(nèi)的位移不可忽略，并且厚殼的位移場可用中面位移表示。8.2何謂平板型殼單元?在分析這種單元時都做了哪些假設?應用平板型殼單元可能會出現(xiàn)什么問題，如何解決?簡述形成平板型殼單元剛度矩陣的基本思路。將殼體劃分為有限個單元,它們都是曲面單元。但是，當網(wǎng)格足夠小時,殼塊將足夠扁平，可近似地視為平板單元,它們拼成的折板體系可近似代替原來的光滑殼體結(jié)構(gòu)，每一個足夠小的網(wǎng)格就稱為平板型殼單元。假設：（1）（2）折板假設（3）非耦合假設。出現(xiàn)的問題：1.單元共面問題整體剛度矩陣IIkII二0.（交于某節(jié)點的所有單元都位于同一平面內(nèi)）的平衡方程,并刪去Qz方向的平衡虛擬旋轉(zhuǎn)剛度為排除IIkII0.0=0,另采用在這些特殊節(jié)點上給以任意的虛擬剛度系數(shù)KQ2Qz0。經(jīng)坐標變換，整體坐標于該節(jié)點平衡方程條件有唯一解。在平面膜元角上增加旋轉(zhuǎn)自山度Qz使其有對應的剛度。8.8.3面內(nèi)變形與彎曲變形之間非耦合的假設是針對什么提出的?試說明單元組裝時，面內(nèi)效應與彎曲效應兩者的耦合將會出現(xiàn)。面內(nèi)變形與彎曲變形之間非耦合的假設是針對局部坐標系下的單元提出的。9.1減少問題自山度的措施有哪些?各自的基本概念如何？恰當?shù)睦媒Y(jié)構(gòu)的對稱性、采用子結(jié)構(gòu)技術等，可以使求解方程組上的自山度數(shù)大為降低。結(jié)構(gòu)的對稱性:假想地將結(jié)構(gòu)沿其中的某平面對折，若兩部分的形狀、材料性質(zhì)和約束條件完全重合,則稱該平面為對稱面，稱該結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)。若荷載隨結(jié)構(gòu)對折后相互重合，則稱為對稱荷載;若須將對稱面某一邊的荷載改變正負號后才與另一邊的荷載重合,則稱為反對稱荷載。子結(jié)構(gòu)技術:在大型復雜結(jié)構(gòu)的有限元分析中，可將原結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域，每個區(qū)域作為一個子結(jié)構(gòu)，這些子結(jié)構(gòu)在其公共邊界上互相連接起來。結(jié)構(gòu)訃算可分兒步進行:首先逐個分析各子結(jié)構(gòu)，并凝聚掉各自的內(nèi)部自由度;然后把全部子結(jié)構(gòu)組合起來進行整體分析，從而得到總體求解方程。采用子結(jié)構(gòu)法的關鍵之處在于，內(nèi)部節(jié)點的自III度在子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣形成以后可以凝聚掉，因此子結(jié)構(gòu)實質(zhì)上是具有內(nèi)部自由度的超單元。9.3為什么說位移法中應力解的精度低于位移解?如何改善等參單元的應力結(jié)果?如何改善常應變?nèi)切螁卧膽Y(jié)果?在位移有限單元法中,位移沿單元邊界是連續(xù)的，而位移的導數(shù)通常是不連續(xù)的，因此在單元邊界上應力是不連續(xù)的;基本未知量是位移,而單元應變和應力是III位移求導得到的，因此應力的精度要比位移的精度低。對于等參單元的應力，采用單元內(nèi)應力修勻或分片應力修勻。對于三角形常應變單元,通常采用應力平均的方法處理計算結(jié)果。9.4在無法獲得精確解的條件下，如何進行誤差佔計？試說明這樣做的合理性？由于無法獲得精確解，故一般是以修勻后的改進值作為“精確解”來進行誤差估計。通過與精確值誤差范數(shù)對比，發(fā)現(xiàn)這樣做是非常有效的。9.69.6什么是階譜單元？階譜單元(hierarchicalelement)就是在低階單元形函數(shù)不變的惜況下，構(gòu)造新增節(jié)點的形函數(shù)，從而增加形函數(shù)的階次。25、有限元法的基本思想:有限元法把連續(xù)體離散成有限個單元，每個單元的場函數(shù)只包含有限個待定節(jié)點參量的簡單場函數(shù)，這些單元場函數(shù)的集合就能近似代表整個連續(xù)體的場函數(shù)。根據(jù)能量方程或加權(quán)參量方程可建立有限個待定參量的代數(shù)方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數(shù)值解。26、構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？形函數(shù)是定義于單元內(nèi)坐標的連續(xù)函數(shù)。單元位移函數(shù)通常采用多項式，其中的待定常數(shù)應該與單元節(jié)點自III度數(shù)相等。為滿足完備性要求，位移函數(shù)中必須包括常函數(shù)和一次式,即完全一次多項式。多項式的選取應山低階到高階，盡量選擇完全多項式以提高單元的精度。若由于項數(shù)限制而不能選取完全多項式時，也應使完