2023學年江西省玉山縣二中高考考前模擬數(shù)學試題（含解析）

2023學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正項等比數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知x，y滿足不等式，且目標函數(shù)z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t的取值范圍（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]3．設拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A．2 B． C． D．34．若變量，滿足，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．105．若函數(shù)（）的圖象過點，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點是的一個對稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對稱軸6．某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A．8 B． C．4 D．7．在直角坐標系中，已知A（1，0），B（4，0），若直線x+my﹣1=0上存在點P，使得|PA|=2|PB|，則正實數(shù)m的最小值是()A． B．3 C． D．8．已知復數(shù)滿足，(為虛數(shù)單位)，則()A． B． C． D．39．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為，，，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．10．某設備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設備報廢，則該設備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年11．已知集合，則的值域為（）A． B． C． D．12．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數(shù)z滿足，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是______.14．設O為坐標原點,,若點B(x,y)滿足，則的最大值是__________．15．已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為，則_______．16．已知的終邊過點，若，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足對任意都有，其前項和為，且是與的等比中項，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足，，設數(shù)列的前項和為，求大于的最小的正整數(shù)的值．18．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調性；（2）當時，證明：.19．（12分）已知集合，.（1）若，則；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且、、成等比數(shù)列，.設數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）令，證明：.21．（12分）某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝，再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1：一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2：二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率；（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的二級濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定的值.22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，求的極值；（2）證明：.（參考數(shù)據(jù)：）

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】

由，可求出等比數(shù)列的通項公式，進而可知當時，；當時，，從而可知的最小值為，求解即可.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當時，；當時，，則的最小值為.故選：D.【答案點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.2、B【答案解析】

作出可行域，對t進行分類討論分析目標函數(shù)的最大值，即可求解.【題目詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當t≤2時，可行域即為如圖中的△OAM，此時目標函數(shù)z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合題意t＞2時可知目標函數(shù)Z＝9x+6y在的交點（）處取得最大值，此時Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．【答案點睛】此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結合目標函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類討論思想，關鍵在于熟練掌握截距型目標函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.3、A【答案解析】

分析：題設的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點到準線的距離，也就是到焦點的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準線的距離，故為到焦點的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點睛：拋物線中與線段的長度相關的最值問題，可利用拋物線的幾何性質把動線段的長度轉化為到準線或焦點的距離來求解.4、D【答案解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可．【題目詳解】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：如圖點坐標分別為，目標函數(shù)的幾何意義為，可行域內點與坐標原點的距離的平方，由圖可知到原點的距離最大，故.故選：D【答案點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．5、A【答案解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質，得出結論.【題目詳解】由函數(shù)（）的圖象過點，可得，即，，，故，對于A，由，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤；故選：A【答案點睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質，需熟記性質與公式，屬于基礎題.6、D【答案解析】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側棱為2的四棱錐，畫出圖形，結合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積．【題目詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是側棱底面的四棱錐，如圖所示：結合圖中數(shù)據(jù)知，該四棱錐底面為對角線為2的正方形，高為PA=2，∴四棱錐的體積為.故選：D.【答案點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵，考查空間想象能力．屬于中等題.7、D【答案解析】

設點，由，得關于的方程.由題意，該方程有解，則，求出正實數(shù)m的取值范圍，即求正實數(shù)m的最小值.【題目詳解】由題意，設點.，即，整理得，則，解得或..故選：.【答案點睛】本題考查直線與方程，考查平面內兩點間距離公式，屬于中檔題.8、A【答案解析】，故，故選A.9、B【答案解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【題目詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點，即為三棱錐，且長方體的長、寬、高分別為，∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球，且球半徑為，∴三棱錐外接球表面積為，∴當且僅當，時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為．故選B．【答案點睛】（1）解決關于外接球的問題的關鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用．（2）長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通過構造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題．10、D【答案解析】

根據(jù)樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【題目詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【答案點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應用，屬于基礎題.11、A【答案解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數(shù)的性質即可得值域.【題目詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域為故選A【答案點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題12、C【答案解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).【題目詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.故選：C.【答案點睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先求得復數(shù)，再由復數(shù)模的計算公式即得.【題目詳解】，，則.故答案為：【答案點睛】本題考查復數(shù)的四則運算和求復數(shù)的模，是基礎題.14、【答案解析】,可行域如圖，直線與圓相切時取最大值，由15、1【答案解析】

求出導函數(shù)，由切線方程得切線斜率和切點坐標，從而可求得．【題目詳解】由題意，∵函數(shù)圖象在點處的切線方程為，∴，解得，∴．故答案為：1．【答案點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)是解題基礎，16、【答案解析】

】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值．【題目詳解】∵的終邊過點，若，．即答案為-2.【答案點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導公式，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）4【答案解析】

（1）利用判斷是等差數(shù)列，利用求出，利用等比中項建立方程，求出公差可得.（2）利用的通項公式,求出，用錯位相減法求出，最后建立不等式求出最小的正整數(shù).【題目詳解】解：任意都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，又是與的等比中項，，設數(shù)列的公差為，且，則，解得，，；由題意可知，①，②，①﹣②得：，，，由得，，，，滿足條件的最小的正整數(shù)的值為．【答案點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式及錯位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項的思路(1)在等差數(shù)列中，是最基本的兩個量，一般可設出和，利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式列方程(組)求解即可.(2)錯位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解;在寫“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式18、（1）見解析；（2）見解析【答案解析】

（1）求導得，分類討論和，利用導數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調性；（2）根據(jù)（1）中求得的的單調性，得出在處取得最大值為，構造函數(shù)，利用導數(shù)，推出，即可證明不等式.【題目詳解】解：（1）由于，得，當時，，此時在上遞增；當時，由，解得，若，則，若，，此時在遞增，在上遞減.（2）由（1）知在處取得最大值為：，設，則，令，則，則在單調遞減，∴，即，則在單調遞減∴，∴，∴.【答案點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，涉及分類討論和構造新函數(shù)，通過導數(shù)證明不等式，考查轉化思想和計算能力.19、（1）；（2）【答案解析】

（1）將代入可得集合B，解對數(shù)不等式可得集合A，由并集運算即可得解.（2）由可知B為A的子集，即；當符合題意，當B不為空集時，由不等式關系即可求得的取值范圍.【題目詳解】（1）若，則，依題意，故；（2）因為，故；若，即時，，符合題意；若，即時，，解得；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【答案點睛】本題考查了集合的并集運算，由集合的包含關系求參數(shù)的取值范圍，注意討論集合是否為空集的情況，屬于基礎題.20、（1）,（2）證明見解析【答案解析】

（1）利用首項和公差構成方程組，從而求解出的通項公式；由的通項公式求解出的表達式，根據(jù)以及，求解出的通項公式；（2）利用錯位相減法求解出的前項和，根據(jù)不等關系證明即可.【題目詳解】（1）設首項為，公差為.由題意，得，解得，∴，∴，∴當時，∴，.當時，滿足上式.∴（2），令數(shù)列的前項和為.兩式相減得∴恒成立，得證.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用，難度一般.（1）當用求解的通項公式時，一定要注意驗證是否成立；（2）當一個數(shù)列符合等差乘以等比的形式，優(yōu)先考慮采用錯位相減法進行求和，同時注意對于錯位的理解.21、（1）0.024；（2）分布列見解析，；（3）【答案解析】

（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，而的可能取值為8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到的分布列及數(shù)學期望；（3）由，且，可知若，則，或若，則，再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【題目詳解】（1）由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯，兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯，設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件，因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6，二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2，所以.（2）由柱狀圖知，一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4，5，6的概率分別為0.2，0.4，0.4，由題意的可能取值為8，9，10，11，12，從而，，.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16（個）.或用分數(shù)表示也可以為89101112（個）.（3）解法一：記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用（單位：元）因為，且，1°若，則，（元）；2°若，則，（元）.因為，故選擇方案：.解法二：記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買一級濾芯和二級濾芯所需費用（單位：元）1°若，則，的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買的各級濾芯所需總費用為（元）；2°若，則，的分布列為800100012000.520.320.16（元）.因為所以選擇方案：.【答案點睛】此題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及應用，考查古典概型，考查運算求解能力，屬于中檔題.22、（1）見解析；（1）見證明【答案解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（1）問題轉化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根據(jù)xlnx≤x（x﹣1），問題轉化為只需證明當x＞0時，ex﹣1x1+x﹣1