2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷11.2 三角形全等的判定(ASA,AAS)(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷11.2三角形全等的判定(ASA,AAS)(含答案)11.2三角形全等的判定(ASA,AAS)◆課堂測(cè)控測(cè)試點(diǎn)ASA，AAS1．三角形對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形______全等，即兩個(gè)三角形全等的條件中至少有_______相等．2．已知在△ABC與△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，則在下列條件中不能確定△ABC與△A′B′C′全等的是（）A．AB=A′B′B．BC=B′C′C．AC=A′C′D．∠C=∠C′3．如圖，已知AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，還需要（）A．∠B=∠B′B．∠C=∠C′C．AC=A′C′D．以上都對(duì)4．如圖，已知△ABC的六個(gè)元素，則下面甲，乙，丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙5．如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（）A．帶①去B．帶②去C．帶③去D．帶①和②去◆課后測(cè)控6．如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=AD，∠1=∠2，∠B=∠ADE，根據(jù)______可判定△ABC≌△ADE．7．如圖，AD=AB，∠C=∠E，∠ADC=125°，則∠ABE=_____．8．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，交BC于D，且DC=15，則點(diǎn)D到AB的距離DE長為_______．(第6題)(第7題)(第8題)9．如圖，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM，其中正確的結(jié)論是_______．（注：將你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上）(第9題)(第11題)10．在△ABC與△A′B′C′中，∠A=44°，∠B=67°，∠C′=69°，∠B′=44°，且AC=B′C′．那么這兩個(gè)三角形（提醒：畫出草圖）（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不對(duì)11．如圖，在△ABC與△DEF中，已有條件AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是（）A．∠B=∠E，BC=EFB．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠ED．∠A=∠D，BC=EF12．如圖，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求證：AD=AE．13．如圖，AC和BD相交于點(diǎn)E，AB∥CD，AB=CD，求證：E為BD的中點(diǎn)．14．已知：如圖，B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求證：△ABC≌△CDE．◆拓展測(cè)控15．（教材變式探究題）如圖（1），在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，直線L經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥L于D，BE⊥L于E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當(dāng)直線L繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？說出你的猜想，并證明你的猜想．答案：1．不一定一對(duì)對(duì)應(yīng)邊2．D（點(diǎn)撥：沒有一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等）3．D（點(diǎn)撥：根據(jù)ASA可選A，根據(jù)AAS可選B，根據(jù)SAS可選C）4．B（點(diǎn)撥：根據(jù)SAS可知乙，根據(jù)AAS可知丙）5．C（點(diǎn)撥：依據(jù)ASA）[總結(jié)反思]證明三角形全等的方法增加了ASA和AAS．6．ASA（點(diǎn)撥：由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE）7．125°（點(diǎn)撥：易知△ADC≌△ABE）8．15（點(diǎn)撥：易證△ACD≌△AED，DE=CD）9．①②③（點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件易證△ABE≌△ACF，△ABM≌△ACN）10．B（點(diǎn)撥：畫出草圖后，確定對(duì)應(yīng)邊和角）11．D（點(diǎn)撥：三角形全等條件中邊邊角不成立）12．證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°．在△ADC和△AEB中，∴△ADC≌△AEB，∴AD=AE．[解題規(guī)律]有兩角及其一角對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等．13．證明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D．在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（ASA）．∴BE=DE，即E為BD的中點(diǎn)．[解題規(guī)律]有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．14．證明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D，∠ACB=∠E．又∵∠ACD=∠B，∴B=∠D．在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（AAS）．[解題技巧]充分利用AC∥DE得到∠ACB=∠E和∠ACD=∠D，即一線二用．15．（1）證明：∵AD⊥L，BE⊥L，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ECB=90°．又∠1+∠ACD=90°，∴∠1=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE．∴DE=CE+DC=AD+BE．（2）結(jié)論：DE=AD-BE．證明：同（1）可證△ADC≌△CEB．∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE．[解題方法]解決問題（2）的關(guān)鍵是弄清圖（2）中哪些量發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化，本題在證明過程中要發(fā)現(xiàn)∠ACD=90°的用法，即由∠ACB=90°可得∠ACD+∠BCE=90°．11.2三角形全等的判定(HL)◆課堂測(cè)控測(cè)試點(diǎn)斜邊，直角邊1．如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，由_______可證明△ABD≌△ACD，從而有BD=______，∠B=________．11.2三角形全等的判定（HL）◆隨堂檢測(cè)CDAB1.如圖，AC=AD，∠CDAB2．如圖，兩根長相等的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面的兩個(gè)木樁上，兩根木樁到旗桿底部的距離相等嗎？請(qǐng)說明理由。3.如圖，已知AD⊥BE,垂足C是BE的中點(diǎn),AB=DE.求證：AB//DE.典例分析例:已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，如AD、A′D′分別是BC、B′C′邊上的高，且AD=A′D′．問△ABC與△A′B′C′是否全等？如果全等，給出證明.如果不全等，請(qǐng)舉出反例．錯(cuò)解：這兩個(gè)三角形全等．證明如下：圖1如圖1，在Rt△ABD和Rt△A′B′D′中，∵AB=A′B′，AD=A′D′∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′.∴BD=B′D′同理可證DC=D′C′，∴BC=B′C′在△ABC和△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.評(píng)析：這兩個(gè)三角形不一定全等．當(dāng)這兩個(gè)三角形均為鈍角(或銳角)三角形時(shí)全等；若一個(gè)是銳角三角形，一個(gè)是鈍角三角形時(shí)就不可能全等．如圖2，雖有AB=A′B′，AC=A′C′，但BC≠B′C′，因此這兩個(gè)三角形不全等．◆課下作業(yè)●拓展提高4.把下列說明Rt△ABC≌Rt△DEF的條件或根據(jù)補(bǔ)充完整.(1)_______,∠A=∠D(ASA)(2)AC=DF,________(SAS)(3)AB=DE,BC=EF()(4)AC=DF,______(HL)(5)∠A=∠D,BC=EF()(6)________,AC=DF(AAS)5.小明既無圓規(guī)，又無量角器，只有一個(gè)三角板，他是怎樣畫角平分線的呢？他的具體做法如下：在已知∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON，再分別過點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線交點(diǎn)為P,畫射線OP.則OP平分∠AOB。其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)道理是。6.如圖，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，則圖中全等的三角形對(duì)數(shù)為（）（A）1（B）2（C）3（D）47.如圖，幼兒園的滑梯有兩個(gè)長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，(1)△ABC≌△DEF嗎?(2)兩個(gè)滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關(guān)系？8.如圖，已知∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC.求證：AB=DE.●體驗(yàn)中考1．(2009年浙江省湖州市)如圖：已知在中，DE=DF，為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為.DCBEDCBEAF2．(2009年北京市).已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=，于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上，CE=BC,過E點(diǎn)作AC的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)F.求證：AB=FC。參考答案隨堂檢測(cè)：1、要挖掘圖中隱含的公共邊答案：在Rt△ACB和Rt△ADB中,∵AB=AB,AC=AD∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)∴BC=BD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等).2、兩根木樁到旗桿底部的距離是否相等，也就是看OB與OC是否相等，OB、OC分別在Rt△ABO和Rt△ACO中,只需證明這兩個(gè)三角形全等。答案：在Rt△ABO和Rt△ACO∵AB=AC，AO=AO∴Rt△ABO≌Rt△ACO(HL),∴OB=OC.3、要證明AB//DE,則需要證明∠B=∠E,而∠B、∠E分別是△ABC、△DEC的角，所以問題轉(zhuǎn)化為證明△ABC和△DEC全等.由AD⊥BE，可得∠ACB=∠DCE=90，由C是BE的中點(diǎn)，可得BC=EC，再根據(jù)AB=DE可利用“HL”證明兩個(gè)三角形全等.證明：由AD⊥BE，得△ABC和△DEC為直角三角形，由C為BE的中點(diǎn)，得BC=EC，在Rt△ABC和Rt△DEC中，AB=DE，BC=EC，所以Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），所以∠B=∠E，所以AB//DE.評(píng)析：證明兩個(gè)直角三角形全等，當(dāng)已知條件中有斜邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，可考慮判定方法“HL”的應(yīng)用.拓展提高：1、要利用題中的“直角三角形有一個(gè)角是直角”的條件答案：AC=DECB=FEHLAB=DEAAS∠B=∠E2、小明在做法中創(chuàng)設(shè)“斜邊、直角邊”，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形全等，得出對(duì)應(yīng)角相等。答案：“斜邊、直角邊”證明兩個(gè)直角三角形全等，再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等3、C.解析:先利用AAS證得△AEC≌△ADB,從而得AE=AD,故EB=DC,再證Rt△EBC≌Rt△DCB(HL)，Rt△EBC≌Rt△DCB（AAS）4、根據(jù)已知條件易證（1）△ABC≌△DEF，（2）利用全等三角形的性質(zhì)得證解：（1）在Rt△ABC和Rt△DEF中,∵BC=EF,AC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)∵Rt△ABC≌Rt△DEF∴∠ABC=∠DEF(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∵∠DEF+∠DFE=90°∴∠ABC+∠DFE=90°5、根據(jù)∠B=∠E=90°，可知△ABC和△DEF均為直角三角形，已知斜邊AC=DF，所以可使用“HL”證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊BA與DE相等.證明：由BF=CE，得BF+FC=CE+FC，即BC=EF.在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF，BC=EF，所以Rt△ABC≌Rt△DEF，所以BA=DE.評(píng)注：利用“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等，當(dāng)知道斜邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，應(yīng)先證明一組直角邊對(duì)應(yīng)相等，然后再利用“HL”證明三角形全等.體驗(yàn)中考：1、是的中點(diǎn)，，∵DE=DF(HL)2、要證AB=FC,只需證Rt△ABC≌Rt△FCE證明:∵∠ACB=∴∠BCD+∠ACD=∵∴∠B+∠BCD=∴∠ACD=∠B∵FE⊥AC∴∠FEC=∠ACB=∵CE=BC∴△ABC≌△FCE(ASA)11.2三角形全等的判定（SAS）◆課堂測(cè)控測(cè)試點(diǎn)SAS1．如圖，∠1=∠2，若用“SAS”證明△ACB≌△BDA，還需要加上條件（）A．AD=BCB．BD=ACC．∠D=∠CD．OA=OB2．不能判定△ABC≌△A′B′C′的條件是（）A．AB=A′B′，BC=B′C′，∠B=∠B′B．∠B=135°，∠C′=135°，AB=B′C′，BC=C′A′C．AB=BC=CA，A′B′=B′C′=C′A′，∠A=∠A′D．AB=A′B′，AC=A′C′，∠A=∠A′=135°3．如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且AD=AE，AB=AC，若∠B=20°，則∠C=_____．4．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：AF=DE．◆課后測(cè)控5．如圖，∠1=∠2，BC=EF，那么需要補(bǔ)充一個(gè)直接條件________（寫出一個(gè)即可），才能使△ABC≌△DEF．(第5題)(第6題)(第7題)6．如圖，已知AB=AE，AC=AD，只要找出∠____=∠_____或∠____=∠____，就可證得△_____≌△______．7．如圖，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2，則∠B=_____，圖中有____對(duì)三角形全等，請(qǐng)寫出來_______．8．如圖，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，點(diǎn)C在BD上，AB=CD，BC=ED，則∠ACE=_______．9．如圖，已知AB=AC，AD=AE，欲證△ABD≌△ACE，須補(bǔ)充的條件是（）A．∠B=∠CB．∠D=∠EC．∠1=∠2D．∠CAD=∠DAC10．如圖，已知AD是△ABC的中線，在AD及其延長線上截取DE=DF，連結(jié)CE，BF。求證：BF∥CE．11．已知：如圖，OP是∠AOC和∠BOD的平分線，OA=OC，OB=OD，求證：AB=CD．12．已知：如圖，AE=CF，AD∥BC，AD=CB，求證：△ADF≌△CBE．◆拓展測(cè)控13．（變式題）如圖（1），A，B，C，D在同一直線上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF．由上題結(jié)論可知：△AFC≌△DEB．探究：如果將BD沿著AD邊的方向平行移動(dòng)，如圖（2），（3）時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)選擇其中一個(gè)圖形予以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．答案：1．B（點(diǎn)撥：夾∠1，∠2的另一邊分別為AC和BD）2．C（點(diǎn)撥：沒有對(duì)應(yīng)邊相等）3．20°（點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件可得△ABE≌△ACD，有∠B=∠C）4．證明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AF=DE．[總結(jié)反思]兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．5．AC=DF（點(diǎn)撥：根據(jù)夾角選擇邊）6．EADBACBAECADAEDABC（點(diǎn)撥：依據(jù)兩邊找夾角）7．∠C兩△ABD≌△ACE△ABE≌△ACD（點(diǎn)撥：可直接得△ABD≌△ACE，從而∠B=∠C，AB=AC，進(jìn)而由SAS可得△ABE≌△ACD）8．90°（點(diǎn)撥：易知△ABC≌△CDE，有∠A=∠DCE，因?yàn)椤螦+∠ACB=90°，所以∠DCE+∠ACB=90°，故∠ACE=90°）9．C（點(diǎn)撥：由∠1=∠2得∠BAD=∠CAE，即可運(yùn)用SAS，同時(shí)注意有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等）10．證明：∵AD為中線，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE（SAS）．∴∠F=∠CED，∴BF∥CE．[解題規(guī)律]直接運(yùn)用SAS可證△BDF≌△CDE，注意隱含條件對(duì)頂角相等的運(yùn)用．11．證明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分線，∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．∴∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB=CD．[解題技巧]運(yùn)用等式性質(zhì)得夾角∠AOB=∠COD是證明的關(guān)鍵．12．∵AE=CF，∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE．又∵AD∥CB（已知），∴∠A=∠C．在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），[解題規(guī)律]間接的已知條件必須進(jìn)行加工，如本題中AE=CF不能直接用，可運(yùn)用等式性質(zhì)加工成AF=CE．13．解：（2），（3）中結(jié)論依然成立，選擇（3）證明．∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB．∵DE∥AF，∴∠A=∠D．在△AFC和△DEB中，∴△AFC≌△DEB（SAS）．[解題方法]對(duì)于探究結(jié)論的題可解題方法是：（1）圖形在運(yùn)動(dòng)過程中，哪些量發(fā)生了變化，哪些量是沒有變化，原來的等線段，等角還是否存在，是解題關(guān)鍵；（2）幾種變化得到的之間存在必然的內(nèi)在聯(lián)系，證明的方法必然相似．2．下列命題中，正確的是（）A．有兩條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等B．有一條邊相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等C．有兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等D．有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等3．如圖，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，求證：AB∥CD．4．（研討題）“有兩邊相等的兩個(gè)直角三角形全等”這個(gè)命題對(duì)嗎？下面是小松、小強(qiáng)、小紅三位同學(xué)的看法．小松：正確．因?yàn)槿绻麅蛇叾紴橹苯沁叄瑒t夾角是直角，用SAS可以證明它們?nèi)龋?qiáng)：正確，因?yàn)槿绻渲幸贿吺侵苯沁?，另一邊是斜邊，則可用HL證明它們?nèi)龋〖t：不正確，如果一個(gè)三角形的較長的直角邊與較長的直角邊相等，則顯而易見兩個(gè)三角形不全等．請(qǐng)發(fā)表你的看法．◆課后測(cè)控5．下面說法不正確的是（）A．有一角和一邊相等的兩個(gè)直角三角形全等B．有兩直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等C．有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D．有一銳角和其對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等6．如圖，AB=AC，AF⊥BC于F，D，E分別為BF，CF的中點(diǎn)，則圖中全等三角形共有（）A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)(第6題)(第7題)(第8題)7．如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD交于點(diǎn)O，如果AC=BD，那么下列結(jié)論中：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；③∠DAC=∠CBD；④OC=OD，其中正確的有（）A．①②③④B．①②③C．①②D．②③8．如圖，在Rt△ABC的斜邊BC上截取CD=CA，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AB于E，則有（）A．DE=DBB．DE=AEC．AE=BED．AE=BD9．如圖，AC=AD，∠C和∠D是直角，將上述條件標(biāo)注在圖中，線段BC和BD相等嗎？請(qǐng)說明理由．10．如圖，∠BAC=90°，AB=AC，D在AC上，E在BA的延長線上，BD=CE，BD延長線交CE于F，求證：BF⊥CE．[注明：圖中標(biāo)注的∠1，∠2能不能給你啟發(fā)呢？]11．如圖，△ABC中，∠B=90°，AD為∠BAC的平分線，DF⊥AC于F，E為AB上一點(diǎn)，且DE=DC．求證：BE=CF．◆拓展測(cè)控12．如圖，AD，A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件使△ABC≌△A′B′C′．答案：1．HLCD∠C（點(diǎn)撥：AD為公共的直角邊）2．C（點(diǎn)撥：兩條直角邊的夾角為直角）3．證明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠A=∠C，∴AB∥CD．4．小松、小強(qiáng)兩學(xué)生的回答都片面地理解成這兩邊是對(duì)應(yīng)的，即直角邊與直角邊對(duì)