32立體幾何中向量方法第4課時(shí)教案

3.2立體幾何中的向量方法第4課時(shí)精選教學(xué)設(shè)計(jì)(2)3.2立體幾何中的向量方法第4課時(shí)精選教學(xué)設(shè)計(jì)(2)3.2立體幾何中的向量方法第4課時(shí)精選教學(xué)設(shè)計(jì)(2)立體幾何中的向量方法解：建立空直角坐系A(chǔ)-xyz如所示,【課題】：坐標(biāo)法中解方程組求向量的相關(guān)問題【授課目的】：1）知識與技術(shù)：能依照圖形的特點(diǎn)建立合適的空間坐標(biāo)系并用坐標(biāo)表示點(diǎn)和向量；對某個(gè)向量能用解方程組的方法求其坐標(biāo).2）過程與方法：在解決問題中，經(jīng)過數(shù)形結(jié)合與問題轉(zhuǎn)變的思想方法，加深對相關(guān)內(nèi)容的理解。3）感神態(tài)度與價(jià)值觀：領(lǐng)悟把立方體幾何幾何轉(zhuǎn)變成向量問題優(yōu)勢，培養(yǎng)研究精神?！臼谡n重點(diǎn)】：解方程組求向量的的坐標(biāo).【授課難點(diǎn)】：解方程組求向量的的坐標(biāo)..【課前準(zhǔn)備】：Powerpoint課件【授課過程設(shè)計(jì)】：授課環(huán)節(jié)授課活動設(shè)計(jì)妄圖一、復(fù)習(xí)引1．單位向量，平面的法向量為研究新知識做準(zhǔn)入（1）單位向量－－模為1的向量。備.（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。2．坐標(biāo)法。二、研究與一、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”讓學(xué)生經(jīng)過回顧尋練習(xí)學(xué)生回顧用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”，與老師共同得找將立體幾何問題出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：轉(zhuǎn)變成向量問題的（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的步驟。點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)變成向量問題；（化為向量問題）2）經(jīng)過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的地址關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形問題）二、例題例1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，求證：平面A1BC1例1在建立坐標(biāo)系的法向量為直線DB的方向向量.后，比較簡單，容1D1C1易掌握。解析中的方法是為配合本次D'B1A1課的課題而設(shè)計(jì)的。DCAB解析：（1）建立空間坐標(biāo)系；2）用坐標(biāo)表示向量A1B,BC13）設(shè)平面A1BC1的方向向量為n=(x,y,z)，由以下關(guān)系nA1B0,nBC10列方程組求x,y,z.（4）證明向量n//DB1（解略）思慮：有更簡單的方法嗎？由學(xué)生回答本例的向量DB1與A1B、BC1簡略解法。的數(shù)量積為零即可。例2，ABCD是一個(gè)直角梯形，角ABC是直角，SA垂直于平面ABCD，例2是一個(gè)典型的SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面SCD與平面SBA所成二面角的余弦。經(jīng)過解方程組求法向量的問題，這類S問題可以不用作出二面角的平面角就求出結(jié)果。BCAD解析：求二面角的余弦，可以變換為求它們的方向向量夾角的余弦。因此本題重點(diǎn)是求平面的法向量。解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A、C、D、S的坐標(biāo)分別為A（0，0，0）、C（－1，1，0）、D（0，0.5、0）、S（0，0，1）。易知面SBA的法向量n1AD(0,1,0)2設(shè)平面SCD的法向量n2(x,y,z),由n2CD,n2SD,得：y0yxx22y0yzz22任取n2(1,2,1)cosn1,n2n1n26|n1||n2|3即所求二面角得余弦值是63例3如圖，一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為500kg，在它的極點(diǎn)處分別受力F1,F2,F3,每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是60，且F1F2F3200kg.這塊鋼板在這些力的作用下將會怎樣運(yùn)動？這三個(gè)力最小為多少時(shí)，才能提起這塊鋼板？

取y＝2，由于只要向量的方向。例3是數(shù)學(xué)與物理的綜合應(yīng)用問題，求合力轉(zhuǎn)變成向量的加法。3F1CF2OAB500kg解析：建立坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，爾后進(jìn)行坐標(biāo)形式下的向量運(yùn)算。為簡化運(yùn)算，可以選擇以三角形的一個(gè)極點(diǎn)為原點(diǎn)、一條邊所在直線為一條軸、三角形所在平面為坐標(biāo)平面的坐標(biāo)系。解：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，平面ABC為xAy坐標(biāo)平面，AB方向?yàn)閥軸正方向，AB為y軸的單位長度建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則正三角形的極點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,0),B(0,1,0),C(31,,0).22設(shè)力F1方向上的單位向量坐標(biāo)為(x,y,z),由于F1與AB,AC的夾角均為60，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，得cos601(x,y,z)(0,1,0),2cos601(x,y,z)(3,1,0),222解得x11,y.122又由于x2y2z21,因此z23因此F1200(112,,)1223近似地F2200(112,,)1223F3200(12,0,)33它們的合力F1＋F2F3200[(1,1,2)(1,1,2)(1,0,2)]1223122333200(0,0,6)

幫助學(xué)生理解怎樣建立坐標(biāo)系。單位向量的模為1。三、拓展與提高

這說明，作用在鋼板上開拓學(xué)生思想。的合力方向向上，大小為2006kg,作用點(diǎn)為O.由于2006500,因此鋼板仍靜止不動。研究：不建立坐標(biāo)系，怎樣解決這個(gè)問題？――求每個(gè)力向上的分力。1，在正方體ABCD-ABCD中，P在AB上，Q在BC上，且AP=QB，學(xué)生進(jìn)行提高訓(xùn)練1111111M、N分別為AB、PQ的中點(diǎn)。求證：MN//平面ABCD。應(yīng)用.1證明：建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為2，又設(shè)1AP=BQ=2x則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)，故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)因此向量MN=(-x,x,0)，又平面AC的法向量為n=(0,0,1)，MNn=0∴MNn又M不在平面AC內(nèi)，因此MN∥平面AC。zC'D'A'PB'NMDCyQABx2，課本P122第11題。答案：3/8.四、小結(jié)1．依照圖形特點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)和向量，通反思?xì)w納過向量解決問題。2．個(gè)別點(diǎn)和向量的坐標(biāo)先假設(shè)，再列方程組來求出。五、作業(yè)課本P121，第6題和P122第10題。練習(xí)與測試：（基礎(chǔ)題）1，已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若＝，則x＋y＋z＝．答：02，把邊長為a的正三角形ABC沿高線AD折成60A．a(chǎn)6a3aB．C．23答：D

的二面角，點(diǎn)A到BC的距離是（）15aD．43，若a=(2x,1,3),b=(1,－2y,9),若是a與b為共線向量，則A.x=1,y=1B.x=,y=－C.x=,y=－D.x=－,y=解析：由于a=(2x,1,3)與b=(1,－2y,9)共線，故有==,∴x=,y=－,應(yīng)選C.答案：C4，若空間三點(diǎn)(1，5，－2)、(2，4，1)、(,3,+2)共線，則=__________,q=__________.ABCpqp解析：∵A、B、C三點(diǎn)共線，則=λ,即(1，－1，3)=λ(p－1,－2,q+4)，∴∴λ=，代入得p=3,q=2.答案：32（中等題）5，棱長為a的正方體OABC—111C1中，E、F分別為棱AB、BC上的動點(diǎn)，且AE=BF=x（0≤x≤a）.OAB如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA、OC、OO1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，zO1C1⑴求證：A1F⊥C1E；⑵當(dāng)△BEF的面積獲取最大值時(shí)，求二面角B1—EF—B的正切值.證明：（1）A1（a，0．a(chǎn)），F(xiàn)（a-x，a，0），C1（0，a，a），E（a，x，0）

A1B1OC因此A1F(x,a,a),C1E(a,xa,a)，由此得A1FC1E=0，

AFEBx

yA1F⊥C1E（2）當(dāng)△BEF的面積獲取最大值時(shí)，E、F應(yīng)分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，可求得二面角B1—EF—B的正切值22.6，如圖，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動點(diǎn).試確定點(diǎn)F的地址，使得D1E⊥平面AB1F；解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立以下列圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DF=x，則A(0，0，0)