新高考一輪復(fù)習(xí)蘇教版 命題熱點(diǎn)10　統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 作業(yè)

10/10

命題熱點(diǎn)自測(cè)(十)統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

一、選擇題

1．(2021·山東濰坊三模)某學(xué)校參加志愿服務(wù)社團(tuán)的學(xué)生中，高一年級(jí)有50人，高二年級(jí)有30人，高三年級(jí)有20人，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從這100名學(xué)生中抽取學(xué)生組成一個(gè)活動(dòng)小組，已知從高二年級(jí)的學(xué)生中抽取了6人，則從高三年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為()

A．2 B．3

C．4 D．5

C[設(shè)高三抽取的人數(shù)為x人，則

eq\f(6,30)

＝

eq\f(x,20)

，即x＝4.故選C．]

2．為了解某班學(xué)生每周購買零食的支出情況，利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了15人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表，估算全班學(xué)生每周購買零食的支出的方差是()

人數(shù)

平均支出/元

方差

男生

9

40

6

女生

6

35

4

A．10.3 B．11.2

C．12 D．13.4

B[估算全班學(xué)生每周購買零食的支出的平均數(shù)是

eq\x\to(x)

＝

eq\f(1,15)

×(9×40＋6×35)＝38，

方差s2＝

eq\f(9,15)

×[6＋(40－38)2]＋

eq\f(6,15)

×[4＋(35－38)2]＝11.2.

故選B．]

3．(2021·山東青島高三開學(xué)考試)已知一個(gè)樣本，樣本容量為10，平均數(shù)為15，方差為3，現(xiàn)從樣本中去掉一個(gè)數(shù)據(jù)15，此時(shí)樣本的平均數(shù)為

eq\x\to(x)

，方差為s2，則()

A．

eq\x\to(x)

>15，s2<3 B．

eq\x\to(x)

<15，s2>3

C．

eq\x\to(x)

＝15，s2>3 D．

eq\x\to(x)

＝15，s2<3

C[設(shè)10個(gè)數(shù)據(jù)為x1，x2，...，x9,15，

所以

eq\x\to(x)

＝

eq\f(15×10－15,9)

＝15，

又因?yàn)閟2＝

eq\f((\a\vs4\al\co1(x1－15))2＋(\a\vs4\al\co1(x2－15))2＋…＋(\a\vs4\al\co1(x9－15))2,9)

，

且

eq\f((\a\vs4\al\co1(x1－15))2＋(\a\vs4\al\co1(x2－15))2＋…＋(\a\vs4\al\co1(x9－15))2＋(\a\vs4\al\co1(15－15))2,10)

＝3，

所以s2＝

eq\f(30,9)

>3.故選C．]

4．已知變量x，y的關(guān)系可以用模型y＝c·ekx擬合，設(shè)

eq\o(z,\s\up8(^))

＝lny，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：

x

16

17

18

19

z

50

34

41

31

由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程

eq\o(z,\s\up8(^))

＝－4x＋

eq\o(a,\s\up8(^))

，則c＝()

A．－4 B．e－4

C．109 D．e109

D[由表格數(shù)據(jù)知：

eq\x\to(x)

＝

eq\f(16＋17＋18＋19,4)

＝17.5，

eq\x\to(z)

＝

eq\f(50＋34＋41＋31,4)

＝39.

由

eq\o(z,\s\up8(^))

＝－4x＋

eq\o(a,\s\up8(^))

，得－4×17.5＋

eq\o(a,\s\up8(^))

＝39，則

eq\o(a,\s\up8(^))

＝109.

∴

eq\o(z,\s\up8(^))

＝－4x＋109，

由y＝c·ekx，得

eq\o(z,\s\up8(^))

＝lny＝ln(c·ekx)＝lnc＋lnekx＝lnc＋kx，

∴l(xiāng)nc＝109，即c＝e109.故選D．]

5．(2021·山東省平邑縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試)某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成績(jī)(單位：分)，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是()

A．頻率分布直方圖中a的值為0.004

B．估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為80

C．估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為80

D．估計(jì)總體中成績(jī)落在[60，70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為160

B[由10×

eq(\a\vs4\al\co1(2a＋3a＋7a＋6a＋2a))

＝1可得a＝0.005，故A錯(cuò)誤；

前三個(gè)矩形的面積和為10×

eq(\a\vs4\al\co1(2a＋3a＋7a))

＝0.6，所以這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為80，故B正確；

這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為75，故C錯(cuò)誤；

總體中成績(jī)落在[60，70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為3a×10×1000＝150，故D錯(cuò)誤．

故選B．]

6．(2021·哈爾濱模擬)下列說法：

①殘差可用來判斷模型擬合的效果；

②設(shè)有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

eq\o(y,\s\up6(^))

＝3－5x，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加5個(gè)單位；

③經(jīng)驗(yàn)回歸直線：

eq\o(y,\s\up6(^))

＝

eq\o(b,\s\up6(^))

x＋

eq\o(a,\s\up6(^))

必過點(diǎn)(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)；

④在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由主算得χ2＝13.079，則有99%的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量間有關(guān)系．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()

A．0B．1C．2D．3

B[對(duì)于①，殘差可用來判斷模型擬合的效果，殘差越小，擬合效果越好，∴①正確；對(duì)于②，經(jīng)驗(yàn)回歸方程

eq\o(y,\s\up6(^))

＝3－5x中，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位，∴②錯(cuò)誤；對(duì)于③，經(jīng)驗(yàn)回歸直線

eq\o(y,\s\up6(^))

＝

eq\o(b,\s\up6(^))

x＋

eq\o(a,\s\up6(^))

必過樣本點(diǎn)的中心(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)，∴③正確；對(duì)于④，在2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得χ2＝13.079，對(duì)照臨界值得，有99.9%的把握確認(rèn)這兩個(gè)變量有關(guān)系，99.9%＞99%，∴④正確．綜上，其中錯(cuò)誤的命題是②，共1個(gè)．]

7．(多選)(2021·廣東羅湖區(qū)高三月考)下列說法正確的為()

A．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，通常采用分層隨機(jī)抽樣

B．若m為數(shù)據(jù)xi(i＝1,2,3，…，2021)的中位數(shù)，則m＝x1011

C．回歸直線可能不經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)

D．若隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，且隨機(jī)變量η＝2ξ－1，則η～N(2μ－1,4σ2)

AD[A．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，通常采用分層隨機(jī)抽樣，故正確；

B．?dāng)?shù)據(jù)xi(i＝1,2,3，…，2021)大小順序不定，故錯(cuò)誤；

C．回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(y)

)，故錯(cuò)誤；

D．因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，且隨機(jī)變量η＝2ξ－1，所以η～N(2μ－1,4σ2)，故正確．故選AD．]

8．(多選)為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，弘揚(yáng)奧林匹克精神，北京市多所中小學(xué)開展了冬奧會(huì)項(xiàng)目科普活動(dòng)．為了了解學(xué)生對(duì)冰壺這個(gè)項(xiàng)目的了解情況，在北京市中小學(xué)中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校中了解這個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)如圖所示：

若從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行這個(gè)項(xiàng)目的科普活動(dòng)，記X為被選中的學(xué)校中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校個(gè)數(shù)，則()

A．X的取值范圍為{0,1,2,3}

B．P(X＝0)＝

eq\f(1,3)

C．P(X＝1)＝

eq\f(8,15)

D．E(X)＝

eq\f(3,5)

BC[X的取值范圍為{0,1,2}，了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校有4所，P(X＝0)＝

eq\f(C\o\al(0,4)·C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))

＝

eq\f(1,3)

，

P(X＝1)＝

eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))

＝

eq\f(8,15)

，P(X＝2)＝

eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))

＝

eq\f(2,15)

，所以E(X)＝0×

eq\f(1,3)

＋1×

eq\f(8,15)

＋2×

eq\f(2,15)

＝

eq\f(4,5)

.故選BC．]

二、填空題

9．某工廠新舊兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)量比為7∶3，為了解該工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從兩條生產(chǎn)線抽取樣本，并觀測(cè)樣本的質(zhì)量指標(biāo)值，計(jì)算得新生產(chǎn)線質(zhì)量指標(biāo)的均值為10，方差為1，舊生產(chǎn)線質(zhì)量指標(biāo)的均值為9，方差為2，由此估計(jì)，該批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的均值為________，方差為________．

9.71.51[依題意，該批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的均值為

10×

eq\f(7,10)

＋9×

eq\f(3,10)

＝

eq\f(70＋27,10)

＝9.7.

該批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的方差為

eq\f(7,10)

×[1＋(10－9.7)2]＋

eq\f(3,10)

×[2＋(9－9.7)2]

＝

eq\f(7,10)

×1.09＋

eq\f(3,10)

×2.49＝1.51.]

10．(2021·福建漳州三中三模)根據(jù)下面的數(shù)據(jù)：

x

1

2

3

4

y

32

48

72

88

求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝19.2x＋12，則這組數(shù)據(jù)相對(duì)于所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程的4個(gè)殘差的方差為________．(注：殘差是指實(shí)際觀察值與估計(jì)值之間的差．)

3.2[把x＝1,2,3,4依次代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程

y＝19.2x＋12，所得估計(jì)值依次為：y1＝31.2，y2＝50.4，y3＝69.6，y4＝88.8，

對(duì)應(yīng)的殘差依次為：0.8，－2.4,2.4，－0.8，它們的平均數(shù)為0，

所以4個(gè)殘差的方差為

s2＝

eq\f(0.82＋－2.42＋2.42＋－0.82,4)

＝3.2.]

11．(2021·江蘇如皋高三開學(xué)考試)習(xí)近平在黨的十九大工作報(bào)告中提出，永遠(yuǎn)把人民對(duì)美好生活的向往作為奮斗目標(biāo)．在這一號(hào)召的引領(lǐng)下，全國(guó)人民積極工作，健康生活，當(dāng)前“日行萬步”正成為健康生活的代名詞．某學(xué)校工會(huì)積極組織該校教職工參與“日行萬步”活動(dòng)，并隨機(jī)抽取了該校100名教職工，統(tǒng)計(jì)他們的日行步數(shù)，按步數(shù)分組，得到如下餅圖：

各段日行步數(shù)人數(shù)比例

若從日行步數(shù)超過10千步的教職工中隨機(jī)抽取兩人，則這兩人的日行步數(shù)恰好一人在10～12千步，另一人在12～14千步的概率是________；設(shè)抽出的這兩名教職工中日行步數(shù)超過12千步的人數(shù)為隨機(jī)變量X，則E(X)＝________.

eq\f(1,2)

eq\f(3,4)

[由已知10～12千步的人數(shù)為10%×100＝10,12～14千步的人數(shù)為6%×100＝6，

因此任取2人，一人在10～12千步，另一人在12～14千步的概率是P＝

eq\f(10×6,C\o\al(2,16))

＝

eq\f(1,2)

.

X的可能取值為0,1,2，

P(X＝0)＝

eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,16))

＝

eq\f(3,8)

，P(X＝1)＝

eq\f(1,2)

，P(X＝2)＝

eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,16))

＝

eq\f(1,8)

，

所以E(X)＝1×

eq\f(1,2)

＋2×

eq\f(1,8)

＝

eq\f(3,4)

.]

三、解答題

12．(2021·重慶市清華中學(xué)校高三月考)目前，新冠病毒引發(fā)的肺炎疫情在全球發(fā)生，為了解新冠肺炎傳播途徑，采取有效防控措施，某醫(yī)院組織專家統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)500名患者新冠病毒潛伏期的相關(guān)信息，數(shù)據(jù)經(jīng)過匯總整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(用頻率作為概率)．潛伏期不高于平均數(shù)的患者，稱為“短潛伏者”，潛伏期高于平均數(shù)的患者，稱為“長(zhǎng)潛伏者”．

(1)求這500名患者潛伏期的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，并計(jì)算出這500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)；

(2)為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否高于平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從上述500名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷潛伏期長(zhǎng)短與患者年齡有關(guān)．

年齡

潛伏情況

合計(jì)

短潛伏者

長(zhǎng)潛伏者

60歲及以上

90

60歲及以下

140

合計(jì)

300

(3)研究發(fā)現(xiàn)，有5種藥物對(duì)新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2種特別有效，現(xiàn)在要通過逐一試驗(yàn)直到把這2種特別有效的藥物找出來為止，每一次試驗(yàn)花費(fèi)的費(fèi)用是500元，設(shè)所需要的試驗(yàn)費(fèi)用為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望X.

附表及公式：

χ2＝

eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)

，

α

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

xα

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

.

[解](1)平均數(shù)

eq\x\to(x)

＝(0.02×1＋0.08×3＋0.15×5＋0.18×7＋0.03×9＋0.03×11＋0.01×13)×2＝6，

這500名患者中“長(zhǎng)潛伏者”的頻率為(0.18＋0.03＋0.03＋0.01)×2＝0.5，

所以“長(zhǎng)潛伏者”的人數(shù)為500×0.5＝250人．

(2)由題意補(bǔ)充后的列聯(lián)表如下，

年齡

潛伏情況

合計(jì)

短潛伏者

長(zhǎng)潛伏者

60歲及以上

90

70

160

60歲及以下

60

80

140

合計(jì)

150

150

300

零假設(shè)H0:潛伏期長(zhǎng)短與患者年齡無關(guān)，則

χ2＝

eq\f(300×90×80－60×702,150×150×160×140)

＝

eq\f(75,14)

≈5.357>5.024＝x0.025.

所以依據(jù)小概率值α＝0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為潛伏期長(zhǎng)短與患者年齡有關(guān)．

(3)由題意知，所需要的試驗(yàn)費(fèi)用X所有可能的取值為1000,1500,2000，

P(X＝1000)＝

eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))

＝

eq\f(1,10)

，

P(X＝1500)＝

eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)＋A\o\al(3,3),A\o\al(3,5))

＝

eq\f(3,10)

，

P(X＝2000)＝

eq\f(C\o\al(1,2)A\o\al(1,3)A\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))

＝

eq\f(3,5)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PX＝2000＝\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(3,5))＝\f(36,60)＝\f(3,5)))

，

所以X的分布列為

X

1000

1500

2000

P

eq\f(1,10)

eq\f(3,10)

eq\f(3,5)

數(shù)學(xué)期望E(X)＝1000×

eq\f(1,10)

＋1500×

eq\f(3,10)

＋2000×

eq\f(3,5)

＝1750.

13．(2021·重慶市第十一中學(xué)校高三月考)某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在南山旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對(duì)該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天，這五家“農(nóng)家樂”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位：元/日)，t為入住天數(shù)(單位：天)，以入住天數(shù)的頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與入住率y的散點(diǎn)圖如圖．

x/(元/日)

100

150

200

300

450

t/天

90

65

45

30

20

(1)若從以上五家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查，記ξ為“入住率“超過0.6的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列；

(2)令z＝lnx，由散點(diǎn)圖判斷

eq\o(y,\s\up8(^))

＝

eq\o(b,\s\up8(^))

x＋

eq\o(a,\s\up8(^))

與

eq\o(y,\s\up8(^))

＝

eq\o(b,\s\up8(^))

z＋

eq\o(a,\s\up8(^))

哪個(gè)更合適于此模型(給出判斷即可，不必說明理由)？并根據(jù)你的判斷結(jié)果求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(

eq\o(a,\s\up8(^))

，

eq\o(b,\s\up8(^))

的結(jié)果精確到0.1)

(3)根據(jù)第(2)問所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí)，100天銷售額L最大？(100天銷售額L＝100×入住率×收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x)

參考數(shù)據(jù)：

eq\o(b,\s\up8(^))

＝

eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)

，

eq\o(a,\s\up8(^))

＝

eq\x\to(y)

－

eq\o(b,\s\up8(^))

eq\x\to(x)

，

eq\x\to(x)

＝240，

eq\i\su(i＝1,5,x)

iyi＝457.5，

eq\i\su(i＝1,5,x)

eq\o\al(2,i)

＝365000，

eq\o(z,\s\up8(－))

≈5.35，

eq\i\su(i＝1,5,z)

iyi≈12.72，

eq\i\su(i＝1,5,z)

eq\o\al(2,i)

≈144.24，

eq\x\to(z)

2≈28.57，e5≈148，e5.4≈221.

[解](1)ξ的所有可能取值為0,1,2，

則P(ξ＝0)＝

eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))

＝

eq\f(3,10)

，

P(ξ＝1)＝

eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))

＝

eq\f(6,10)

＝

eq\f(3