2020年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第23頁(yè)（共23頁(yè)）2020年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）的相反數(shù)是A．6 B． C． D．【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，即可解答．【解答】解：的相反數(shù)是6，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟記相反數(shù)的定義．2．（2分）國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)2020年5月22日在作政府工作報(bào)告時(shí)說(shuō)，去年我國(guó)農(nóng)村貧困人口減少11090000，脫貧攻堅(jiān)取得決定性成就．?dāng)?shù)據(jù)11090000用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．【解答】解：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．3．（2分）如圖，由5個(gè)完全相同的小正方體組合成一個(gè)立體圖形，它的左視圖為A． B． C． D．【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【解答】解：從左邊看第一層是一個(gè)小正方形，第二層也是一個(gè)小正方形，所以左視圖是選項(xiàng)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖．解題的關(guān)鍵是掌握簡(jiǎn)單組合體的三視圖的定義，注意：從左邊看得到的圖形是左視圖．4．（2分）下列運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算法則，對(duì)各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解．【解答】解：、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．5．（2分）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則的大小為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵．6．（2分）如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的大小為A． B． C． D．【分析】運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)計(jì)算即可．【解答】解：四邊形內(nèi)接于，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）分解因式：．【分析】直接把公因式提出來(lái)即可．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是是解題的關(guān)鍵．8．（3分）不等式的解集為．【分析】移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1即可得答案．【解答】解：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解一元一次不等式，關(guān)鍵是掌握解不等式的步驟．9．（3分）一元二次方程根的判別式的值為13．【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式△即可求出值．【解答】解：，，，△．所以一元二次方程根的判別式的值為13．故答案為：13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，解決本題的關(guān)鍵是掌握根的判別式．10．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算學(xué)啟蒙》中有這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其大意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？設(shè)快馬天可以追上慢馬，根據(jù)題意，可列方程為．【分析】設(shè)快馬天可以追上慢馬，根據(jù)兩馬的速度之差快馬出發(fā)的時(shí)間慢馬的速度慢馬提前出發(fā)的時(shí)間，即可得出關(guān)于的一元一次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)快馬天可以追上慢馬，依題意，得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，某單位要在河岸上建一個(gè)水泵房引水到處．他們的做法是：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，將水泵房建在了處．這樣做最節(jié)省水管長(zhǎng)度，其數(shù)學(xué)道理是垂線段最短．【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)解答即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，將水泵房建在了處．這樣做最節(jié)省水管長(zhǎng)度，其數(shù)學(xué)道理是垂線段最短．故答案為：垂線段最短．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段的定義和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．12．（3分）如圖，．若，，則10．【分析】利用平行線分線段成比例定理得到，然后根據(jù)比例性質(zhì)求的長(zhǎng)．【解答】解：，，．故答案為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．13．（3分）如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)．若的面積為，則四邊形的面積為．【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的面積，即可得到答案．【解答】解：，分別是的邊，的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，的面積為，的面積為2，四邊形的面積，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．箏形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，．若，，則的長(zhǎng)為（結(jié)果保留．【分析】利用證明，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得出，，，即可求得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，且，進(jìn)一步求得，即可求得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可求得，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得即可．【解答】解：在與中，，，，，，，，，，且，，，在中，，，在中，，，，的長(zhǎng)為：，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【分析】根據(jù)整式的混合運(yùn)算順序進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入值即可．【解答】解：原式．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，解決本題的關(guān)鍵是先進(jìn)行整式的化簡(jiǎn)，再代入值．16．（5分）“中國(guó)結(jié)”是我國(guó)特有的手工編織工藝品，也是一種傳統(tǒng)吉祥裝飾物．如圖，現(xiàn)有三張正面印有“中國(guó)結(jié)”圖案的不透明卡片，，，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將三張卡片正面向下洗勻，小吉同學(xué)從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下圖案后正面向下放回，洗勻后再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求小吉同學(xué)抽出的兩張卡片中含有卡片的概率．【分析】根據(jù)題意列出圖表得出所有等情況數(shù)和兩張卡片中含有卡片的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意列表如下：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小吉同學(xué)抽出的兩張卡片中含有卡片的有5種情況，小吉同學(xué)抽出的兩張卡片中含有卡片的概率為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．17．（5分）甲、乙二人做某種機(jī)械零件．已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用的時(shí)間相等．求乙每小時(shí)做零件的個(gè)數(shù)．【分析】設(shè)乙每小時(shí)做個(gè)零件，甲每小時(shí)做個(gè)零件，根據(jù)時(shí)間總工作量工作效率，即可得出關(guān)于的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)乙每小時(shí)做個(gè)零件，甲每小時(shí)做個(gè)零件，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，．答：乙每小時(shí)做12個(gè)零件．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．18．（5分）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，過(guò)點(diǎn)作，并截取，且點(diǎn)，在同側(cè)，連接．求證：．【分析】由，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，又，，利用即可證明．【解答】證明：，．在與中，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目．四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）圖①、圖②、圖③都是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．，，均為格點(diǎn)．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱，且，為格點(diǎn)．（2）在圖②中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱，且，為格點(diǎn)．（3）在圖③中，畫一個(gè)，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱，且，，為格點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性在圖①中，畫一條不與重合的線段與對(duì)稱即可；（2）根據(jù)對(duì)稱性即可在圖②中，畫一條不與重合的線段與對(duì)稱；（3）根據(jù)對(duì)稱性在圖③中，畫一個(gè)，使與關(guān)于某條直線對(duì)稱即可．【解答】解：（1）如圖①，即為所求；（2）如圖②，即為所求；（3）如圖③，即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖軸對(duì)稱變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱性質(zhì)．20．（7分）如圖，某班數(shù)學(xué)小組測(cè)量塔的高度，在與塔底部相距的處，用高的測(cè)角儀測(cè)得該塔頂端的仰角為．求塔的高度（結(jié)果精確到．（參考數(shù)據(jù)：，，【分析】設(shè)與交于點(diǎn)．在中，利用三角函數(shù)定義求出，即可得出答案．【解答】解：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示：由題意得：，，，在中，，，，；答：塔的高度約．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解題的關(guān)鍵．21．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上（點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)），點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，．（1）求的值．（2）若為中點(diǎn)，求四邊形的面積．【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，可得結(jié)果；（2）利用反比例函數(shù)的解析式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式可得結(jié)果．【解答】解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，可得，的值為8；（2）的值為8，函數(shù)的解析式為，為中點(diǎn)，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，將代入，可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵．22．（7分）2020年3月線上授課期間，小瑩、小靜和小新為了解所在學(xué)校九年級(jí)600名學(xué)生居家減壓方式情況，對(duì)該校九年級(jí)部分學(xué)生居家減壓方式進(jìn)行抽樣調(diào)查．將居家減壓方式分為（享受美食）、（交流談心）、（室內(nèi)體育活動(dòng)）、（聽音樂）和（其他方式）五類，要求每位被調(diào)查者選擇一種自己最常用的減壓方式．他們將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理，繪制的統(tǒng)計(jì)表分別為表1、表2和表3．表1：小瑩抽取60名男生居家減壓方式統(tǒng)計(jì)表（單位：人）減壓方式人數(shù)463785表2：小靜隨機(jī)抽取10名學(xué)生居家減壓方式統(tǒng)計(jì)表（單位：人）減壓方式人數(shù)21331表3：小新隨機(jī)抽取60名學(xué)生居家減壓方式統(tǒng)計(jì)表（單位：人）減壓方式人數(shù)65261310根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題：（1）小瑩、小靜和小新三人中，哪一位同學(xué)抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該校九年級(jí)學(xué)生居家減壓方式情況，并簡(jiǎn)要說(shuō)明其他兩位同學(xué)抽樣調(diào)查的不足之處．（2）根據(jù)三人中能較好地反映出該校九年級(jí)居家減壓方式的調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校九年級(jí)600名學(xué)生中利用室內(nèi)體育活動(dòng)方式進(jìn)行減壓的人數(shù)．【分析】（1）根據(jù)抽取樣本的原則，為使樣本具有代表性、普遍性、可操作性的原則進(jìn)行；（2）樣本中“采取室內(nèi)體育鍛煉減緩壓力”的占，因此估計(jì)總體600人的是采取室內(nèi)體育鍛煉減緩壓力的人數(shù)．【解答】解：（1）小新同學(xué)抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該校九年級(jí)學(xué)生居家減壓方式情況，小瑩同學(xué)調(diào)查的只是男生，不具有代表性，小靜同學(xué)調(diào)查的人數(shù)偏少，具有片面性，對(duì)整體情況的反映容易造成偏差．（2）（人，答：該校九年級(jí)600名學(xué)生中利用室內(nèi)體育活動(dòng)方式進(jìn)行減壓的大約有260人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)方法，理解選取樣本的原則是正確判斷的前提．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）某種機(jī)器工作前先將空油箱加滿，然后停止加油立即開始工作．當(dāng)停止工作時(shí)，油箱中油量為，在整個(gè)過(guò)程中，油箱里的油量（單位：與時(shí)間（單位：之間的關(guān)系如圖所示．（1）機(jī)器每分鐘加油量為3，機(jī)器工作的過(guò)程中每分鐘耗油量為．（2）求機(jī)器工作時(shí)關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．（3）直接寫出油箱中油量為油箱容積的一半時(shí)的值．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到機(jī)器每分鐘加油量和機(jī)器工作的過(guò)程中每分鐘耗油量；（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到機(jī)器工作時(shí)關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)解析式，令函數(shù)值為，即可得到相應(yīng)的的值．【解答】解：（1）由圖象可得，機(jī)器每分鐘加油量為：，機(jī)器工作的過(guò)程中每分鐘耗油量為：，故答案為：3，0.5；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為，，解得，，即機(jī)器工作時(shí)關(guān)于的函數(shù)解析式為；（3）當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，即油箱中油量為油箱容積的一半時(shí)的值是5或40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．24．（8分）能夠完全重合的平行四邊形紙片和按圖①方式擺放，其中，．點(diǎn)，分別在邊，上，與相交于點(diǎn)．【探究】求證：四邊形是菱形．【操作一】固定圖①中的平行四邊形紙片，將平行四邊形紙片繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖②．則這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長(zhǎng)和為56．【操作二】將圖②中的平行四邊形紙片繞著點(diǎn)繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，，如圖③，若，則四邊形的面積為．【分析】【探究】先由平行四邊形的性質(zhì)得，，進(jìn)而得四邊形是平行四邊形，再結(jié)合鄰邊相等，得四邊形是菱形；【操作一】這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長(zhǎng)和實(shí)際為平行四邊形和平行四邊形的周長(zhǎng)和，由此求得結(jié)果便可；【操作二】證明得，解得，再證明四邊形為矩形，由矩形面積公式求得結(jié)果．【解答】解：【探究】四邊形和都是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；【操作一】根據(jù)題意得，這兩張平行四邊形紙片未重疊部分圖形的周長(zhǎng)和為：，故答案為：56；【操作二】由題意知，，，又，，，，，，，，，，四邊形和四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形，，故答案為：72．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的面積計(jì)算，平行四邊形的周長(zhǎng)計(jì)算，【操作一】的關(guān)鍵是將所求圖形的周長(zhǎng)和轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（平行四邊形）的周長(zhǎng)計(jì)算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性，【操作二】關(guān)鍵是解直角三角形求得矩形的邊長(zhǎng)．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）如圖，是等邊三角形，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作，交折線于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，使點(diǎn)，在異側(cè)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重疊部分圖形的面積為．（1）的長(zhǎng)為（用含的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值．（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，可得的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖1，，根據(jù)等邊三角形，是等邊三角形，證明，進(jìn)而可得的值；（3）根據(jù)題意分三個(gè)部分進(jìn)行畫圖說(shuō)明：①如圖2，當(dāng)時(shí)，②如圖3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖4，設(shè)、與分別相交于點(diǎn)、，③如圖5，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊上，設(shè)與相交于點(diǎn)，分別表示出關(guān)于的函數(shù)解析式即可．【解答】解：（1）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，的長(zhǎng)為；故答案為：；（2）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖1，，，，等邊三角形，是等邊三角形，，，，，，，，，解得；（3）①如圖2，當(dāng)時(shí)，在中，，，，等邊三角形，，所以；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，所以，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，如圖4，設(shè)、與分別相交于點(diǎn)、，，，，，，，，，，，，所以；③如圖5，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊上，設(shè)與相交于點(diǎn)，此時(shí)，，，，，重疊部分的面積為：．所以