2023年湖北省-高考理科數(shù)學(xué)試題(真題與答案解析)

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔湖北卷〕數(shù)學(xué)〔理工農(nóng)醫(yī)類〕一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．如果的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，那么正整數(shù)的最小值為〔〕Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．102．將的圖象按向量平移，那么平移后所得圖象的解析式為〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．3．設(shè)和是兩個(gè)集合，定義集合，如果，，那么等于〔〕Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．4．平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出以下四個(gè)命題：①； ②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合．其中不正確的命題個(gè)數(shù)是〔〕Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．和是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，且，那么〔〕A．0 B．1 C． D．6．假設(shè)數(shù)列滿足〔為正常數(shù)，〕，那么稱為“等方比數(shù)列〞．甲：數(shù)列是等方比數(shù)列； 乙：數(shù)列是等比數(shù)列，那么〔〕A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為，那么等于〔〕A． B． C． D．8．兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，那么使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是〔〕A．2 B．3 C．4 D．59．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，那么的概率是〔〕A． B． C． D．10．直線〔是非零常數(shù)〕與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有〔〕A．60條 B．66條 C．72條 D．78條二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．11．函數(shù)的反函數(shù)是，那么；．12．復(fù)數(shù)，且，假設(shè)是實(shí)數(shù)，那么有序?qū)崝?shù)對可以是．〔寫出一個(gè)有序?qū)崝?shù)對即可〕13．設(shè)變量滿足約束條件那么目標(biāo)函數(shù)的最小值為．〔毫克〕〔小時(shí)〕14．某籃運(yùn)發(fā)動(dòng)在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率．〔用數(shù)值作答〕〔毫克〕〔小時(shí)〕15．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量〔毫克〕與時(shí)間〔小時(shí)〕成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為〔為常數(shù)〕，如下圖．據(jù)圖中提供的信息，答復(fù)以下問題：〔=1\*ROMANI〕從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量〔毫克〕與時(shí)間〔小時(shí)〕之間的函數(shù)關(guān)系式為；〔=2\*ROMANII〕據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．〔本小題總分值12分〕的面積為，且滿足，設(shè)和的夾角為．〔=1\*ROMANI〕求的取值范圍；分組頻數(shù)合計(jì)〔=2\*ROMANII〕求函數(shù)的最大值與最小值．17．〔本小題總分值12分〕在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度〔表示纖維粗細(xì)的一種量〕共有100個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表：〔=1\*ROMANI〕在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖；〔=2\*ROMANII〕估計(jì)纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？〔=3\*ROMANIII〕統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值〔例如區(qū)間的中點(diǎn)值是〕作為代表．據(jù)此，估計(jì)纖度的期望．18．〔本小題總分值12分〕如圖，在三棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，且，．〔I〕求證：平面；〔II〕當(dāng)解變化時(shí)，求直線與平面所成的角的取值范圍．BBVADC19．〔本小題總分值12分〕在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線〔〕相交于兩點(diǎn)．〔I〕假設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求面積的最小值；〔II〕是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？假設(shè)存在，求出的方程；假設(shè)不存在，說明理由．AABxyNCO〔此題不要求在答題卡上畫圖〕20．〔本小題總分值13分〕定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．〔I〕用表示，并求的最大值；〔II〕求證：〔〕．21．〔本小題總分值14分〕為正整數(shù)，〔I〕用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；〔II〕對于，，求證，求證，；〔III〕求出滿足等式的所有正整數(shù)．參考答案與解析一、選擇題：此題考查根底知識和根本運(yùn)算．每題5分，總分值50分．1．答案：選Ｂ解析：由展開式通項(xiàng)有由題意得，故當(dāng)時(shí)，正整數(shù)的最小值為5，應(yīng)選Ｂ點(diǎn)評：此題主要考察二項(xiàng)式定理的根本知識，以通項(xiàng)公式切入探索，由整數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得所求。此題中“非零常數(shù)項(xiàng)〞為干擾條件。易錯(cuò)點(diǎn)：將通項(xiàng)公式中誤記為，以及忽略為整數(shù)的條件。2．答案：選Ａ解析：法一由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對對應(yīng)點(diǎn)，，那么，帶入到解析式中可得選Ａ法二由平移的意義可知，先向左平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位。點(diǎn)評：此題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的根本知識，以平移公式切入，為簡單題。易錯(cuò)點(diǎn)：將向量與對應(yīng)點(diǎn)的順序搞反了，或死記硬背以為是先向右平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，誤選Ｃ3．答案：選Ｂ解析：先解兩個(gè)不等式得，。由定義，應(yīng)選Ｂ點(diǎn)評：此題通過考察兩類簡單不等式的求解，進(jìn)一步考察對集合的理解和新定義的一種運(yùn)算的應(yīng)用，表達(dá)了高考命題的創(chuàng)新趨向。此處的新定義一般稱為兩個(gè)集合的差。易錯(cuò)點(diǎn)：對新定義理解不全，忽略端點(diǎn)值而誤選Ａ，以及解時(shí)出錯(cuò)。4．答案：選Ｄ解析：由射影的概念以及線線垂直關(guān)系的判定方法，可知①②③④均錯(cuò),具體可觀察如圖的正方體：但不垂直，故①錯(cuò)；但在底面上的射影都是故②錯(cuò)；相交，但異面，故③錯(cuò)；但異面，故④錯(cuò)點(diǎn)評：此題主要考察空間線面之間位置關(guān)系，以及射影的意義理解。關(guān)鍵是要理解同一條直線在不同平面上的射影不同；線在面內(nèi)，線面平行，線面相交的不同位置下，射影也不相同。要從不用的方向看三垂線定理，充分發(fā)揮空間想象力。易錯(cuò)點(diǎn)：空間想象力不夠，容易誤判③、④正確，而錯(cuò)選Ｂ或Ｃ5．答案：選C解析：法一特殊值法，由題意取，那么，可見應(yīng)選C法二令，分別取和，那么原式化為所以原式=〔分子、分母1的個(gè)數(shù)分別為個(gè)、個(gè)〕點(diǎn)評：此題考察數(shù)列的極限和運(yùn)算法那么，可用特殊值探索結(jié)論，即同時(shí)考察學(xué)生思維的靈活性。當(dāng)不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法那么時(shí)，首先化簡變形，后用法那么即可。此題也表達(dá)了等比數(shù)列求和公式的逆用。易錯(cuò)點(diǎn)：取特值時(shí)忽略和是兩個(gè)不相等的正整數(shù)的條件，誤選B；或不知變形而無法求解，或者認(rèn)為是型而誤選B，看錯(cuò)項(xiàng)數(shù)而錯(cuò)選D6．答案：選B解析：由等比數(shù)列的定義數(shù)列，假設(shè)乙：是等比數(shù)列，公比為，即那么甲命題成立；反之，假設(shè)甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即即公比不一定為，那么命題乙不成立，應(yīng)選B點(diǎn)評：此題主要考察等比數(shù)列的定義和創(chuàng)新定義的理解、轉(zhuǎn)換。要是等比數(shù)列，那么公比應(yīng)唯一確定。易錯(cuò)點(diǎn)：此題是易錯(cuò)題。由，得到的是兩個(gè)等比數(shù)列，而命題乙是指一個(gè)等比數(shù)列，忽略等比數(shù)列確實(shí)定性，容易錯(cuò)選C7．答案：選A解析：由題設(shè)可知點(diǎn)同時(shí)滿足雙曲線和拋物線的定義，且在雙曲線右支上,故由定義可得故原式，選A點(diǎn)評：此題主要考察雙曲線和拋物線的定義和性質(zhì)，幾何條件列方程組，消元后化歸曲線的根本量的計(jì)算，表達(dá)數(shù)形結(jié)合方法的重要性。易錯(cuò)點(diǎn)：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機(jī)聯(lián)系轉(zhuǎn)化，缺乏消元意識。8．答案：選D解析：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得，故時(shí)，為整數(shù)。應(yīng)選D點(diǎn)評：此題主要考察等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)的綜合應(yīng)用，以及局部分式法，數(shù)的整除性是傳統(tǒng)問題的進(jìn)一步深化，對教學(xué)研究有很好的啟示作用。易錯(cuò)點(diǎn)：不能將等差數(shù)列的項(xiàng)與前項(xiàng)和進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，胡亂選擇。9．答案：選C解析：由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當(dāng)點(diǎn)位于直線上及其下方時(shí)，滿足，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為個(gè)，而位于直線上及其下方的點(diǎn)有個(gè)，故所求概率，選C點(diǎn)評：此題綜合考察向量夾角，等可能事件概率的計(jì)算以及數(shù)形結(jié)合的知識和方法。易錯(cuò)點(diǎn)：不能數(shù)形直觀，確定點(diǎn)的位置，或忽略夾角范圍中的，而誤選A10．答案：選A解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為，，前8個(gè)點(diǎn)中，過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；12個(gè)點(diǎn)中過任意兩點(diǎn)，構(gòu)成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點(diǎn)〔圓上點(diǎn)的對稱性〕，故滿足題設(shè)的直線有52條。綜上可知滿足題設(shè)的直線共有條，選A點(diǎn)評：此題主要考察直線與圓的概念，以及組合的知識，既要數(shù)形結(jié)合，又要分類考慮，要結(jié)合圓上點(diǎn)的對稱性來考慮過點(diǎn)的直線的特征。是較難問題易錯(cuò)點(diǎn)：不能準(zhǔn)確理解題意，甚至混淆。對直線截距式方程認(rèn)識不明確，認(rèn)識不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確，或分類不明確，都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，胡亂選擇。二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．11．答案：解析：由互反函數(shù)點(diǎn)之間的對稱關(guān)系，取特殊點(diǎn)求解。在上取點(diǎn)，得點(diǎn)在上，故得；又上有點(diǎn)，那么點(diǎn)在點(diǎn)評：此題主要考察反函數(shù)的概念及其對稱性的應(yīng)用。直接求反函數(shù)也可，較為簡單。易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)算錯(cuò)誤導(dǎo)致填寫其他錯(cuò)誤答案。12．答案：或滿足的任意一對非零實(shí)數(shù)對解析：由復(fù)數(shù)運(yùn)算法那么可知，由題意得，答案眾多，如也可。點(diǎn)評：此題主要考察復(fù)數(shù)的根本概念和運(yùn)算，有一般結(jié)論需要寫出一個(gè)具體結(jié)果，屬開放性問題。易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)果寫錯(cuò)，或?qū)忣}馬虎，只寫出，不合題意要求。13．答案：解析：由約束條件得如下圖的三角形區(qū)域，令，顯然當(dāng)平行直線過點(diǎn)時(shí)，取得最小值為點(diǎn)評：此題主要考察線性規(guī)劃的根本知識，考察學(xué)生的動(dòng)手能力作圖觀察能力。易錯(cuò)點(diǎn)：不能準(zhǔn)確畫出不等式組的平面區(qū)域，把上下位置搞錯(cuò)，以及把直線間的相對位置搞錯(cuò)，找錯(cuò)點(diǎn)的位置而得到錯(cuò)誤結(jié)果。14．答案：解析：由題意知所求概率點(diǎn)評：此題考察次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件恰好發(fā)生次的概率，直接用公式解決。易錯(cuò)點(diǎn)：把“恰好投進(jìn)3個(gè)球〞錯(cuò)誤理解為某三次投進(jìn)球，忽略“三次〞的任意性。15答案：〔I〕〔II〕解析：〔I〕由題意和圖示，當(dāng)時(shí)，可設(shè)〔為待定系數(shù)〕，由于點(diǎn)在直線上，；同理，當(dāng)時(shí)，可得〔II〕由題意可得，即得或或，由題意至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．點(diǎn)評：此題考察函數(shù)、不等式的實(shí)際應(yīng)用，以及識圖和理解能力。易錯(cuò)點(diǎn)：只單純解不等式，而忽略題意，在〔II〕中填寫了其他錯(cuò)誤答案。三、解答題：本大題共6小題，共75分．16．本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等根本知識，考查推理和運(yùn)算能力．解：〔Ⅰ〕設(shè)中角的對邊分別為，那么由，，可得，．〔Ⅱ〕．，，．即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計(jì)總體分布的統(tǒng)計(jì)方法，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的能力．解：〔Ⅰ〕分組頻數(shù)頻率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合計(jì)1001.00樣本數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)頻率/組距1.301.341.381.421.461.501.54〔Ⅱ〕纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．〔Ⅲ〕總體數(shù)據(jù)的期望約為．18．本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力．解法1：〔Ⅰ〕，是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，那么由〔Ⅰ〕知平面．連接，于是就是直線與平面所成的角．在中，；設(shè)，在中，，．，ADBCHADBCHV又，．即直線與平面所成角的取值范圍為．解法2：〔Ⅰ〕以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么，于是，，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．ADBCVxyz〔Ⅱ〕設(shè)直線與平面所成的角為，平面ADBCVxyz那么由．得可取，又，于是，，，．又，．即直線與平面所成角的取值范圍為．解法3：〔Ⅰ〕以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么，，于是，，．從而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，那么由，得ADBCVxADBCVxy于是，，，．又，，即直線與平面所成角的取值范圍為．解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么．設(shè)．ADBCVxADBCVxyz，即．，即．又，平面．又平面，平面平面．〔Ⅱ〕設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)是平面的一個(gè)非零法向量，那么取，得．可取，又，于是，，關(guān)于遞增．，．即直線與平面所成角的取值范圍為．19．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的根底知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．解法1：〔Ⅰ〕依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，NOACByx直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByx由韋達(dá)定理得，．于是．，當(dāng)時(shí)，．〔Ⅱ〕假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，NOACByxlNOACByxl，，，．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：〔Ⅰ〕前同解法1，再由弦長公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得．從而，當(dāng)時(shí)，．〔Ⅱ〕假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，那么以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，那么．設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，那么有．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．20．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．解：〔Ⅰ〕設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．，，由題意，．即由得：，或〔舍去〕．即有