2007年中南數(shù)學建模比賽答案

2007高教社杯大學生數(shù)學建模競頁賽區(qū)評閱（由賽區(qū)評閱前進行賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用（由賽區(qū)送交前評 （ 評閱前進 本文根據(jù)《口統(tǒng)計年鑒》中的部分數(shù)據(jù)和《國家人口發(fā)展，人口做出分析和，分別建立了人口的短期和中長期模型，分析了中首先是對未來短期內(nèi)的人口的變化進行。考慮到統(tǒng)計數(shù)據(jù)量較少，波動較大，規(guī)律性不強，本文建立了灰色動態(tài)模型。首先將近5年各類指標的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)序列，以此為基礎(chǔ)建立GM（1，1）模型來進行。為了提高的精確度，將每次新得到一年的值加入數(shù)據(jù)序列，同時淘汰序列中的最老數(shù)據(jù)，將新序列作為原始數(shù)據(jù)序列代入灰色動態(tài)模型繼續(xù)進行下一年的。這樣求解加入了新變化對值的影響，并減小了陳舊數(shù)據(jù)所帶來的誤差，經(jīng)檢驗證明該模型的精度更高。人口的數(shù)量：2006年為13.124億，2007年為13.182億，2008年為13.345億，2009年為13.510億，2010年為13.376億。得到的數(shù)據(jù)中2006年的結(jié)果與《國家人口發(fā)展研究·人口發(fā)展》課題組的結(jié)果十分符合，其他年份的結(jié)果也符合《世界人口展望》資料和《國家人口發(fā)展》中的發(fā)展趨勢。接著是對未來中長期的人口的變化進行考慮到的差異對人口數(shù)量變化的影響，本文建立了人口的離散模型。分別選取不同的基準年對未來人口進行， 通過計算得到了以2005為基準年進行較為符合《國家人口發(fā)展 中的2010～2030年的發(fā)展趨勢。因此選取2005年的基本數(shù)據(jù)作為中期的最優(yōu)基本數(shù)據(jù)。按照此基本數(shù)據(jù)得到的2015的人口為14.192億，2020年的人口為14.665億，2030年的人口為15.014億。在長期中，以2005為基準年的數(shù)據(jù)就不是很符合了，于是接下來對模型進行，研究改進的方法。改進的方法是假定該年實行了限制措施限制該年的出生率，即在原來的率基礎(chǔ)上乘以一個比例常數(shù)，使得Leslie距陣L(r)的特征值為1，那么乘以r后的率為該基準年能準確以后人口的最佳基準率。然而通過最佳基準率出來的結(jié)果并不是很理想，這是由于處理過程中始終假定男女比例為某一常數(shù)，因此導致了用最佳基準率出來的結(jié)果與課題組有一定的偏差。這樣就使得在此基礎(chǔ)上的最優(yōu)基準方案反而不如次優(yōu)基準方案精確因此這里仍采用以2005年為基準年來最后得到2040年的人口為14.754億，2050年的人口為13.761億。但是從最優(yōu)基準方案也看到了人口變化的一下降后便會進入到一個穩(wěn)定的狀態(tài)。明顯很符合人口方案的“S”模型。最后，針對自己所建立的模型，提出了模型的優(yōu)缺點，并指明了改進的方案。 問題發(fā)布的《國家人口發(fā)展》(見附錄1)還做出了進一步的分析。，基本在計算人口總量時，不考 口遷出的影響處于同一的人有相同 機會和能力符號 期人口 基期人口 0t該時期人 口的短期就是對未來的1-5年的人口的變化進行。別、構(gòu)成、出生率、率、遷移率等未來人口數(shù)量的變動；第二，根據(jù)過去某一時期內(nèi)人口增長的速度或絕對數(shù)，未來人口發(fā)展狀況；第三，根據(jù)影響人口總率、率等指標的情況，因此就可以用這些指標來未來人口的發(fā)展狀況。由于每個指標受到各個方面的影響較大如率受到醫(yī)學條件等各個方面的影灰色系統(tǒng)法以微分方程為表述形式所示的是受外界條件影響的人口數(shù)量變化連續(xù)過程，模型的建立是運用外界條件和人口指標的歷史數(shù)據(jù)去揭示系統(tǒng)的動態(tài)特據(jù)本身考慮到灰色系統(tǒng)動態(tài)法時的優(yōu)越性，采用它來對各個指標的短變化情況進行同時為了求出人口的變化“分要素推算法”[1]來推算未來口的總量。的序列。題目中的附件3已給出了每個人近5年的各個指標的數(shù)據(jù)。由于題目附錄模型建立灰色基于灰色系統(tǒng)的GM模型進行，應(yīng)用最廣泛的是GM（1，1）模型， ，對每種戶籍處于 ，對每年的每種戶籍中不 的每一的人男女出生比率進 們針對每一個數(shù)據(jù)建立數(shù)據(jù)列，進行未來5年的該數(shù)據(jù)，令 x(0)(k){(0) i其中x(0)(k)表示為i的某種戶籍的第k年（以2001年為第一年）的ii首先對x(0)(k)做一次累加生成，i (k) i

x(){x(1)(1),x(1)(2),...x(1)

i據(jù)此建立關(guān)于x(1k)的微分方程iudx(1) (1)u

這是一個一階微分方程，式中a、ua、ua(BTB)1

u u1/2[x(1)(2)x(1) 1B

1/2[x(1)(3)x(1) 1 1/2[x(1)(n)x(1)(n 1 x(0)(2),x(0)(3),...x(0)

x(1)(k)(x(0)(1)u)ea(k1)

則對t+1時刻的處于第i率的值 GM（1，1）表 GM（1，1）模型的誤差分939776值---3---7-54.3.2[5設(shè)原始序列為xk){x(0)(1),x(0)(2),...x(0)(k)}，據(jù)此建立基本模型G（11， i

){x(1)(2),x(1)(3),...x(1)(k),x(1) i根據(jù)新的動態(tài)序列再建立灰色模型GM(1,1),出k+2年的值x(0)(k2)i如此遞推，逐個直至目標實現(xiàn)在動態(tài)中加入的信息不是實測值，而是值，它可以淡化灰平面的度，但仍然是灰色的，這樣能更真實的反映系統(tǒng)的實時變化，準確性更高。4.3.4

期人口 基期人口 0t該時期人

設(shè)第t年，市數(shù)量為A0(t)，鎮(zhèn)數(shù)量為B0(t),鄉(xiāng)數(shù)量為C0(t)。處于第市男率為xi，市男占所有市人口的比例為yi；鎮(zhèn)男率為ai，鎮(zhèn)男占所有鎮(zhèn)人口的比例為bi；鄉(xiāng)男率為mi，鄉(xiāng)男占所有鄉(xiāng)人口的比例為ni。設(shè)第t年，市女性數(shù)量為A1(t)，鎮(zhèn)女性數(shù)量為B1(t),鄉(xiāng)女性數(shù)量為C1(t)。處于第i市女率為xj，市女占所有市人口的比例為yj；鎮(zhèn)女率為aj，鎮(zhèn)女占所有鎮(zhèn)人口的比例為bj；鄉(xiāng)女率為mj，鄉(xiāng)女占所有鄉(xiāng)人口的比例為nj。設(shè)第t年，為k（14<k<50）的市婦育率為ok，鎮(zhèn)婦育率為pk，鄉(xiāng)育率為qk則根據(jù)（1）式可以計算出第t+1 [(A0(t)A1(t)]y(1x)(B0(t)B1(t))b(1a)(C0(t)C1( [(A0(t j

(1x)(B0(t)B1(t))b(1a)(C0(t)C1(t))n(1m

[o(A0(t)A1(t)]yp(B0(t)

q(C0(t)C1(t))n k

在率的計算過程中，有極其個別的出線了負值（在總共3000多組中，僅僅出現(xiàn)了87組知道率肯定為一個不小于0的數(shù)。為了減少計算量，如果出00而達到負值，就向從正軸無限近0一樣，達到了負值說明了該數(shù)不僅近0而且超過了0。因此這里0。下表進行了處理前和處理后的比較（2007年0-9歲的率的值為例：處--處00表2處理前和處理后的觀察所給附錄中2003年的率其數(shù)據(jù)較其它平常年份有較大差異不符合近年率變化的一般規(guī)律，引入計算會給結(jié)果帶來較大的誤差，考慮到這一點運用模型進行計算時將此年數(shù)據(jù)剔除后再進行。0，而對于一些率為0的幾率幾乎不存在的階段，需要將出現(xiàn)負值的原始數(shù)據(jù)提出來，然后從數(shù)據(jù)中剔除1～2個數(shù)據(jù)后進行，最終得到比較符合實際情況的值。例如，在利用2001，2002，2004，2005年的數(shù)據(jù)來2006年率的過程中，得到20歲的城市婦育率為負值這顯然是不符合實際情況的也不能將其按處理。因此提出2001、2002、2004、2005年的數(shù)據(jù)，然后剔除了最久的一個也就是2001年的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)進行，最后得到一個符合實際情況下的結(jié)果。選用的編程為7.0.1，通過編程計算（程序見附錄1，得到了2006到2009年每種戶籍不同的男女性的率、處于育齡期的不同每種戶籍的婦女的率和城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的男女性出生比例。處理值后得到的結(jié)果如下表（以2006年15-49歲為例，其它祥見附錄市鎮(zhèn)鄉(xiāng)率率率市婦育鎮(zhèn)婦育鄉(xiāng)婦育00000000000000000000000000表 2006年15-49歲各指標的情2006-2010(億（億（億 （億 （億 （億 （億表 2006-2010年的人口果比較符合《國家人口發(fā)展》中的“2005-2020年，20-29歲旺盛期婦女數(shù)量將形成一個小（見圖6），導致出生人口數(shù)量出現(xiàn)一個小”發(fā)展趨勢。《世界人口展望》資料顯示，到2010年我國的人口數(shù)為13.66億。從表中可知的較為精確。除此之外，從短期的中，可以窺見這個問題：老年人口數(shù)急速攀升,上升,人口老化趨勢十分嚴重。表 2005-2010年中國65歲以上人口根 人口類型分類標準,65歲以上的人口占總?cè)丝诘?4%以上 社會,20%上是超社會[4],通過上面的表格可以看到：老年人在人口中所占有的每年增加約0.2％－0.3％。如果照這個速度發(fā)展下去，在未來的20-25年內(nèi)我國將進入問題二長期首先，對于中期這個概念其定義為從今往后的5-25年。進行人口的中期預(yù)測就是對未來的5-25年的人口的。對于長期這個概念其定義為從今往后的25-50年。進行人口的長期就是對未來的25-50年的人口的。在過去的20多年里,中國婦育水平發(fā)生了明顯的變化。高孩次的婦女人數(shù)減少,低孩次的婦女推遲,而且懷孕段婦女集中,旺盛期段曲線狹行以來已累計有近1億獨生，進入21世紀，這部分人陸續(xù)進入年齡，將使水平有所提高。 時,考慮到現(xiàn)階段的低水平很不穩(wěn)定。群眾意愿與現(xiàn)行政和人口加劇流動，使以行政為主的工作方式效力遞減；一些地方對的長期的不利影響，都可能導致水平回升。于是，需要采取合理的率作為參數(shù)為了集中于考慮的差異對人口數(shù)量的影響，使模型具有更加廣泛的能力，考慮到的因素的影響需要建立一個離散的模型來人口總數(shù)?？冢ㄒ妶D7.2.2.1）的影響，2005-2020年，20-29歲旺盛期婦女數(shù)量將形成一個?。ㄒ妶D7.2.2.2），導致出生人口數(shù)量出現(xiàn)一個?。煌瑫r，自實行計劃生育以來已累計有近1億獨生，進入21世紀，這部分人陸續(xù)進入，將使水平有所提高。上述兩種因素共同作用，將使出生率和出生人口數(shù)量有明增加1未來我國育齡婦女（15-49）資料來源：《國家人口發(fā)展研究·人口發(fā)展》課圖2未來我國旺盛期育齡婦女（20-29歲）人數(shù)資料來源：《國家人口發(fā)展研究·人口發(fā)展》課根據(jù)上面2，可以將未來的時間分為兩個時間段。第一個時間段為旺盛期的育齡婦女人數(shù)都比較多，因此在第一時間斷內(nèi)將會形成一個人口增長的。在第二個時間段內(nèi)育齡婦女的人數(shù)幾乎成直線下降，而且處于旺盛期的婦女人數(shù)也基本成下降趨勢，因此這個時間段的人口增長速度不會很快。這有助于選擇對人口進行的方案，引導選擇已知數(shù)據(jù)中較好的一年的數(shù)據(jù)作為方案。人口模圖7.2.4為根據(jù)題中所給的2001-2005年城市的率的數(shù)據(jù)使用EXCEL繪制口 模式圖形,可見每年的模式基本保持未變。而且在《國家人口發(fā) 出生、低、低自然增長”的人口增長類型,那么時假定未來五十年模5圖32001-2005年口模5圖7.2.6為根據(jù)題中所給的2001-2005年城市女性的率的數(shù)據(jù)使用EXCEL繪制口的模式圖形?？梢钥闯?001-2005年中國地區(qū)的模式基本保持未變。中國地區(qū)人口再生產(chǎn)類型屬于“低出生、低、低自然增長”的人口增長類型。0率圖 2001-2005年口模育方面的差異，建立如下人口的離散模型。記xk(t)為第k年的時候為k的人口的數(shù)量其中k=0,1,…,90（90歲以上的90如果知道了第t年的時候各組別的人口數(shù)量、各 式，就可以根據(jù)人口發(fā)展變化的規(guī)律推得第t+1年得時候各 首先引入2各概念：k歲人口的年率和k歲婦女的年 這2個概念的具體定義如下： 率d＝一年內(nèi)k歲人口 k

一年內(nèi)k歲

pk1dk為k則 組別人口數(shù)量隨時間的變化規(guī)律可用下面的遞推公式

再考慮到零歲的人口數(shù)量就是 組別婦女 的嬰兒數(shù)總和，k

bkxka

tkxk

人口數(shù)量為，bkxk，

aa

則為第t年k歲婦女 的嬰兒數(shù)

bkxkx0(t1)

a

k (t1)px

,k0,1,,k k根據(jù)人的生理特征和醫(yī)學上婦育的資料統(tǒng)計，婦女的育齡區(qū)間為15－49歲，k<15k>49時，有bk＝0。令,xk,x x(,xk,x 000p100000

a

aLLLeslie距陣[7]x(t1)

當?shù)趖0年的人口狀況已知時，從上式就可以推出第t0x(t)Ltt0x(t0

利用上面建立的人口問題的離散模型，就可以對人口數(shù)量進行和控制對于這個模型中所要求的數(shù)據(jù)在附錄中沒有直接給出。因此，只能通過計算將所需要的數(shù)據(jù)現(xiàn)計算得出。如在這個模型中，需要各個的年率和年率，那1歲率率率率率151617718192021222324252627282930表6處理得出的率和存活表7錄中提供的數(shù)據(jù)，分別以2001到2005年每年的數(shù)據(jù)為的基準，利用該模型可以求出各個不同的基準對應(yīng)的結(jié)果，如下表所示：表 人口模型對照表（單位：億將得到的數(shù)據(jù)的圖形用畫出，則可得到如下圖形圖 人口離散模型的增長。的結(jié)果都還是比較令人滿意的在此要選出這些每個基準年以后人口發(fā)展 。在《國家人口發(fā) 》中明確提出以下幾點內(nèi)容（12005-20-從圖中可以看到的確在2005年到2020間人口數(shù)量有個急劇的上升變化（2）根據(jù)本課題研究，隨著我國經(jīng)濟社會發(fā)展和工作加強，20世紀901.8GDP達到3000的目標，要求把總和率繼續(xù)穩(wěn)定在1.8左右。2010202013.614.5203315。通過與上面表格中的數(shù)據(jù)進行比較發(fā)現(xiàn)2005年的人口數(shù)據(jù)與《國家人口發(fā)中的課題組的2010年2020年和2033年的人口數(shù)據(jù)幾乎完全一致，因此選取選取2005年的基本數(shù)據(jù)作為模型的長期的次佳基本數(shù)據(jù)來預(yù)2005表 2005年離散模型值（單位：億人口數(shù)量的問題是解決人口數(shù)量控制問題的基礎(chǔ)。如果的到人口增長過塊，就應(yīng)該采取一些控制措施去調(diào)節(jié)，使得人口發(fā)展達到一個合理的水平。x(t)Ltt0x(t0x(t)x(t0)、bkdk其中，x(t0)是人口當前的數(shù)量，人們無法改變，率dk也已經(jīng)達到了一個較低水平改變也不會太多比較切實可行的方就是調(diào)節(jié)率bk這里采取一個比較單的辦法即假設(shè)各組別婦女的率均在2005年的基礎(chǔ)上取比例常數(shù)r看看期發(fā)展下去這個常數(shù)取多大時才能使人口發(fā)展達到一個穩(wěn)定狀態(tài)再進一步到穩(wěn)定人口分布時，各組的人口有什么關(guān)系。

a1

代替Leslie

a代替以后的距陣為L（r）,現(xiàn)在的目標就是如何選取r，使得極限值limx(t)lim(L(r))tt0x(t x0limx(t)x(t1)L(r)x(tx0rL(r)1x01L(r)1的時候，rb0p0b1b0p0b1p0p1b2 p0

通過求得r的數(shù)值，乘以2005年各組別婦女的率后可以得到，最優(yōu)的基對于進一步的求對于給出的關(guān)于r的公式，代入2005年的率bk和存活率pk,可以算得：用這個數(shù)字乘以2005年各組別婦女的率后可以得到采取成功控制措施后x(t1)離散模型（最優(yōu)表10最優(yōu)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)離散模 時期后，逐漸趨于穩(wěn)定。觀察上面的數(shù)據(jù)可以知道，所的結(jié)果是符合這個發(fā)展趨勢人口數(shù)要大的情況（人口為16億多出現(xiàn)這種結(jié)果的主要一個因素是選取的是以2005年人口數(shù)據(jù)做為基準，相對于以后的長期總和率，2005年的明顯要大。故在長期的前期，出現(xiàn)了一個人口快速增長期，這從結(jié)果中可以看出，這使得人口只要對進行的基準數(shù)據(jù)做一個合適的調(diào)整，根據(jù)模型可以出比較滿意的長期的通過對表10的分析和比較，發(fā)現(xiàn)通過最佳基準率出來的結(jié)果并不是很理想，與《國家人口發(fā)展研究·人口發(fā)展》課題組所的差別較大。分析認為導致會出現(xiàn)較大偏差的主要原因是由于處理過程中始終假定男女比例為某一常數(shù)，而忽略了它是在不停的變化的。通過將表9和表10的比較可以發(fā)現(xiàn)最優(yōu)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)在受到男女比例因素的影響下的結(jié)果反而不如以次優(yōu)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的，因此在此選用次優(yōu)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)進行長期的。模型的評由于數(shù)據(jù)有限，規(guī)律性不強，因此用到了灰色模型，很大程度上提高了采用灰色系統(tǒng)動態(tài)法對人口進行，求解加入了新變化對值的影響，并減小了陳舊數(shù)據(jù)所帶來的誤差，精度更高。采用了人口學中的分要素推算法，使得推算的精度很高，在方法上比普通有通過比較，相對于其它方法人口，該方法的精度時最高的由于方面的問題受到女性人口的影響的同時還受到人口的影響，與兩者在的過程中沒有考慮到可能出現(xiàn)反彈的概率 于人口的化，勞動人口數(shù)和人口撫養(yǎng)比進行對不同的男女比例，對模型計算的結(jié)果是有影響的。的模型未能及時更替男女比例。針對以上缺點和不足之處，提出模型改進的基本方法例是在不斷的變化著的，因此不能在所有的過程中都采用同一個男女比例數(shù)參考[1]《修正指數(shù)曲線的人口模型 2007年9月21日[2]《地區(qū)未來50年人口變動趨勢研究 《市場與人口分析2007年第13卷第2 53- 2007[3]《中國總?cè)丝诘幕疑珓討B(tài) 2007921[4]引自《韓首爾地區(qū)人口將從2013年起有所回落 2007年9月22[5]灰色系統(tǒng)理論與應(yīng)用科學技術(shù)文獻[6]等灰色動態(tài)方法及其在變形中的應(yīng)[7]梁國業(yè)廖建平數(shù)學建模冶金工業(yè)M文件function %灰色forforfunctionp=yucelforfor命令程序 fori=1:length(X0)/5for %2005forr=1:length(X0)/5 %第2006年的初fori=1:length(X0)/5ifp(i)<0 %2006X2005(:,1)=[];X2006=[X2005,p2006forr=1:length(X0)/5 %第2007年的初fori=1:length(X0)/5 ifp(i)<0 %2007 %2007forr=1:length(X0)/5 %第2008年的初fori=1:length(X0)/5 ifp(i)<0 %2008X2007(:,1)=[];X2008=[X2007,p2008for %第2009年的初fori=1:length(X0)/5 ifp(i)<0 %2009X2008(:,1)=[];X2009=[X2008,p2009forr=1:length(X0)/5 %第2010年的初fori=1:length(X0)/5 ifp(i)<0 %2010命令程序>>chl=input('請輸入出生率的數(shù)據(jù)矩陣'); U=input('請輸入率的數(shù)據(jù)矩陣') %輸入率n=input('請輸入男女比例') m=input('請輸入抽樣比例')，%輸入抽樣比例V＝input('請輸入抽樣人群數(shù)量矩陣