量子力學(xué)課件-7講-角動(dòng)量

第七講一、厄密算符回顧二、厄密算符的本征值與本征函數(shù)三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)習(xí)題2一、厄密算符回顧（1）1、轉(zhuǎn)置算符若d*B?

dA?

*2、共軛算符3、厄密共軛算符3~~則則稱B?

A?

為A?的轉(zhuǎn)置算符。即，

d

*

A?

d

A?

*A?和

,

若A?*

(

A?

*

)*則稱A?*為A的共~~A?,

則A?的共軛轉(zhuǎn)置算符A?

*稱為A?的厄密共軛算符,記為A?

,即A?＝A?

*。4一、厄密算符回顧（2）4、厄密算符A?,

若

A?

A?, 則稱A為厄密也就是說(shuō)，A?,

若

A?

A

,

則5、厄密算符的平均值定理：厄密算符的平均值為實(shí)數(shù)。**

3

*

3

**

3

*~*

3~*?

?

A，即A

A?(r

)，若AA?和

?＋

?*

?

(r

)

A

(r

)d r

[

(r

)

A

(r

)d

r]

A

?

則

A

(r

)

A

(r

)d r

(r

)

A?

(r

)d

r一、厄密算符回顧（3）推論：厄密算符平方的平均值大于等于零~?

?~*

A，即A

A?(r

)，若A?＋A?和

A?A?*

*d

3r

|

A?

|2

d

3r

0

則

A

2

*

(

A?)2d

3r

*

A?

*

(

A?

)d

3r5二、厄密算符的本征值與本征函數(shù)（1）（一）本征函數(shù)（本征態(tài)）A?是厄密算符，，若A是A?在下的平均值，?~?

?

?~

~

2*,即A

*

A?d

3r,設(shè)B?

A

A?

A,則B?

*

A?

*

A*

A?

A

A

|

(

A

A)

|2

d

3r

0即B

B

B為厄密算符，亦即，一般情稱為A?的本征態(tài)，此時(shí)，A?

A

,且A6A?

n

An

n可能有n組，因此此式稱為A的本征方程，An稱為A?的一個(gè)本征值，

n稱為A?的一個(gè)本征態(tài)。二、厄密算符的本征值與本征函數(shù)（2）(二)本征值

A?

d

,

benx

,

d

nbenx

,

A?

ndx

dx滿足

A?

A

的

和A不止一組,73*

?n

n

n

nnn

A

Ad r

二、厄密算符的本征值與本征函數(shù)（3）定理1：厄密算符的本征值必為實(shí)數(shù)。A是厄即A

n

An

n8即A

|

|2

d

3r

A

.

A是實(shí)數(shù)

A

也是n

n證3nmm

n

，

）＝0*d r

0,或（二、厄密算符的本征值與本征函數(shù)（4）定理2：厄密算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此正交。即**

***

*

3*

3*3?,積分，得?mmmm

m

A

，左乘nnm

(

A

)d r

n

m

mmm

n

A

d r

Ad

r

A是厄密算符，且

A

n

An

n

,

A?

m

Am

m，A

A

,有A

910?~??3*3*3*3*3**

33**

3*

*

3

上式左邊

nmm

nm

nm

nm

nd r

0

,

)

0d r

0,即（因

A

A

，必有

即（A

A

)

m

nmm

nd r

Ann

nmmnm

nn

m

n

m

m

m所以，Ad

rd r

A*

3m

nd

rA

d r

A

(

A

)d r

~

~因A?是厄密算符，故A?

A?

*,因此A?*

A?,所以，

d

r，

A(

A

)d r

二、厄密算符的本征值與本征函數(shù)（5）正交歸一化的表示mn或（

m

,

n

)

mnm

nn

n

n

nm

n

m

n

0,

m

n1,

m

n有

*

d

3r

以及

*

d

3r

1,或（

,

)

1

*

d

3r

0,或（

,

)

0由11三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（1）角動(dòng)量及其算符(1)r

xex

yey

zez

,

l

lxex

lyey

lzez12?

?

?

?

z

ez

)?

?角動(dòng)量

l

r

p,角動(dòng)量算符

l

r

py

eyx

ex在直角坐標(biāo)下，

?

i

i(

pzy

xl?

i(x

y

)yx

zl?

i(z

x

)xz

yl?

i(

y

z

),

三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（2）角動(dòng)量及其算符(2)xyl?

i

(cos

cot

sin

)zl?

i

則

l?

i

(sin

cot

cos

),

形式簡(jiǎn)潔，成為關(guān)注對(duì)象13x

r

sin

cos

y

r

sin

sin

z

r

cos在球坐標(biāo)下14z

r

cos

tan

y

/

x

y

r

sin

sin

cos

z

/

r

x2

y2

z2f

f

r

f

f

x

r

sin

cos(1)(2)(3)r

2其中

x1

,

x2

,

x3

x,

y,

z

xi

xixi

r

xi

z

x

yr

z

r

r

y

y

y

r

z

z

r

x

x

x

r

或

zr

cosxy

r

sin

sin

s

r

sin

cos直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的變換關(guān)系rxz球坐標(biāo)ry這表明：r

=

r

(x,

y,

z)x

=

x(r,

θ,φ)球坐標(biāo)

1

sin

z

r

y

cos

sin

1

cos

cosr

x

r

1

z

x

0

y

r

sin

1

cosr

sin

1

sin將（1）式兩邊分別對(duì)x

y

z求偏導(dǎo)數(shù)得：將（2）式兩邊分別對(duì)x

y

z求偏導(dǎo)數(shù)得：對(duì)于任意函數(shù)f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z

的函數(shù)）則有：將（3）式兩邊分別對(duì)x

y

z求偏導(dǎo)數(shù)得：將上面結(jié)果代回原式得：則角動(dòng)量算符在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為：]12?2(sin

2)

sin2

21

sin

L

[xyL?

i

[sin

cot

cos

]

L?

i

[cos

cot

sin

]

iL?z

形式簡(jiǎn)潔rxz球坐標(biāo)ry

1

cos

1

sin

0

1

cos

sin

sin

1

cos

sin

1

sin

z

r

rr

sin

y

r

rr

sin

x

sin

cos

r

r

cos

cos

三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（3）例1：角動(dòng)量z分量的本征值與本征函數(shù)(1)設(shè)本征函數(shù)和本征值為

和lz

,則本征方程為zzi

l

ln

il

/其解為

()

C

exp(ilz

/),其中，C為歸一化常數(shù)。當(dāng)

2

,系統(tǒng)將回到原來(lái)的位置，由波函數(shù)單值性的要求，應(yīng)有

(

2

)

()。為此，要求lz

m ,

m

0,

1,

2,,是量子化的。im相應(yīng)的本征函數(shù)為

m

()

Ce

,

m

0,

1,

2,,16三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（4）例1：角動(dòng)量z分量的本征值與本征函數(shù)(2)由歸一化條件，有0171eim，m

0,

1,

2,,2(

m

,

n

)

mnm2|

()

|2

d

2

|

C

|2

1

C

1/

2m所以，

()

不難驗(yàn)證三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（5）218*022002*

(02200

1

2

1

2

1

2d

1

1

2

1

2

1

2d

0(

m

,

n

)

mnnn

()

()dinmn)

()dineine d

eime d

ei

(nm)歸一正交三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（6）2

22I

2222?l?2H

z

2I

2I

E

a

,

2a

,

()

i

()

aceiaceia

,a

a

E

2

22I

2例2：平面轉(zhuǎn)子的本征值與本征函數(shù)繞z軸旋轉(zhuǎn)的平面轉(zhuǎn)子，設(shè)I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則a

2I

E，

()

cei19。能量本征方程為三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（7）12同樣可證(

m

,

n

)

mni

a2

22I

2a

m,2

/

2I

,eimmc

1

2

，

()

方程

E的解

(

)

ce20單值性要求

(0)

(2

)m

0,

1,

2,,

E

Em

m2除m

0外，一個(gè)Em對(duì)應(yīng)兩個(gè)

m

能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。由歸一化條件得到三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（8）例3：動(dòng)量x分量的本征值與本征函數(shù)x

px

xxxp?i

p

C

exp(ip x

/

)x

ix設(shè)本征函數(shù)和本征值為

和p

,若x

(,),則px

(,),是連續(xù)變化的。

p

連續(xù)譜本征函數(shù)，不能用一般的方式x歸一化。21三、角動(dòng)量的本征值與本征函數(shù)（9）例4：一維

粒子的能量本征態(tài)能量本征方程為一維

粒子的Hamilton量為HCeikx x

2mx22mmx2p?

2

22?2一個(gè)E對(duì)應(yīng)兩個(gè)

E

能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。

E()x

Ce

也是連續(xù)譜本征函數(shù)，也不能用ikx一般的方式歸一化。

EkE(k/,m2)20,/0mE

E

x

222222習(xí)題(1)習(xí)題