動(dòng)能定理課件

1理論力學(xué)第十三章動(dòng)能定理1理論力學(xué)第十三章動(dòng)能定理2第十三章動(dòng)能定理§13-1力的功§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能§13-3動(dòng)能定理§13-4功率功率方程機(jī)械效率§13-5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2第十三章動(dòng)能定理§13-1力的功§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)3§13-1力的功

一、常力的功功是代數(shù)量，在國(guó)際單位制中，功的單位為J（焦耳）。3§13-1力的功一、常力的功功是代數(shù)量，在國(guó)際單4§13-1力的功

二、變力的功

力在全路程上作的功等于元功之和：

力在無(wú)限小位移dr中作的功稱為元功：（13－1）（13－2）4§13-1力的功二、變力的功力在全路程上作5力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標(biāo)系中，i，j，k為三坐標(biāo)軸的單位矢量，則上兩式也可寫成以下矢量點(diǎn)乘形式：（13－5）（13－4）（13－3）§13-1力的功5力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標(biāo)系中，i，j，k為6§13-1力的功三、幾種常見力的功1．重力的功重力重力作功為在直角坐標(biāo)軸上的投影為（13－6）6§13-1力的功三、幾種常見力的功1．重力的功重力重7根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)i

的質(zhì)量為mi，運(yùn)動(dòng)始末的高度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：所以§13-1力的功（13－7）重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。7根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量為mi8§13-1力的功2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力大小為k——彈性剛度系數(shù)（或剛性系數(shù)）。彈性力8§13-1力的功2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力9§13-1力的功點(diǎn)A

由A1到

A2時(shí)，彈性力作功為（13－8）彈性力的功也與路徑無(wú)關(guān)9§13-1力的功點(diǎn)A由A1到A2時(shí)，彈性力10§13-1力的功

如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計(jì)算，其中Mz為力偶對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩，也等于力偶矩矢M在軸上的投影。3．轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功力F在切線上的投影為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力F的元功為因?yàn)镕t

R等于F對(duì)于轉(zhuǎn)軸z的力矩Mz，于是（13－10）10§13-1力的功如果剛體上作用一力偶，11§13-1力的功作用在點(diǎn)的力的元功為力系全部力的元功之和為4.平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功其中由兩端乘dt，有（13－11）11§13-1力的功作用在點(diǎn)的力12§13-1力的功其中:為力系主失，為力系對(duì)質(zhì)心的主矩。當(dāng)質(zhì)心由，轉(zhuǎn)角由時(shí)，力系的功為即：平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化所得的力和力偶作功之和。（13－12）12§13-1力的功其中:為力系主失，13§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為動(dòng)能是標(biāo)量，恒取正值。在國(guó)際單位制中動(dòng)能的單位也為J。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算術(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即13§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能設(shè)142．轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能1.平移剛體的動(dòng)能（13－13）（13－14）142．轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能1.平15§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能3.平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能點(diǎn)C——質(zhì)心，點(diǎn)P——某瞬時(shí)的瞬心，ω——角速度（13－15）15§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能3.平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能點(diǎn)16§13-3動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式因得上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式:即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。（13－16）16§13-3動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微17§13-3動(dòng)能定理上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功。（13－17）17§13-3動(dòng)能定理上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式：在18§13-3動(dòng)能定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為mi，速度為vi，有式中δWi

為作用于這個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力Fi作的元功。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將n個(gè)方程相加，得：上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。（13－18）18§13-3動(dòng)能定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)19§13-3動(dòng)能定理上式積分，得：（13－19）上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和。19§13-3動(dòng)能定理上式積分，得：（13－19）上式稱20§13-3動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力的功之和等于零。剛體的內(nèi)力的功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力的功之和等于零。三、理想約束及內(nèi)力作功20§13-3動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功只要A、B兩點(diǎn)間距21§13-3動(dòng)能定理理想約束反力的功1．光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。2．活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承21§13-3動(dòng)能定理理想約束反力的功1．光滑固定面約束22§13-3動(dòng)能定理5．柔性約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）3．剛體沿固定面作純滾動(dòng)22§13-3動(dòng)能定理5．柔性約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）4．23§13-3動(dòng)能定理

例13-1已知：m,h,k,其它質(zhì)量不計(jì)。求：23§13-3動(dòng)能定理例13-1已24§13-3動(dòng)能定理解：24§13-3動(dòng)能定理解：25§13-3動(dòng)能定理

例13-2已知：輪O的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動(dòng),初始靜止;θ,M為常力偶。求：輪心C走過路程S時(shí)的速度和加速度25§13-3動(dòng)能定理例13-2已知26§13-3動(dòng)能定理輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系解：26§13-3動(dòng)能定理輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系解：27§13-3動(dòng)能定理27§13-3動(dòng)能定理28§13-3動(dòng)能定理式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)t求導(dǎo)，得28§13-3動(dòng)能定理式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)t求導(dǎo)29§13-3動(dòng)能定理求：沖斷試件需用的能量

例13-3沖擊試驗(yàn)機(jī)m=18kg,l=840mm,桿重不計(jì)，在時(shí)靜止釋放，沖斷試件后擺至29§13-3動(dòng)能定理求：沖斷試件需用的能量30§13-3動(dòng)能定理得沖斷試件需要的能量為解：30§13-3動(dòng)能定理得沖斷試件需要的能量為解：31§13-3動(dòng)能定理

例13-4已知：均質(zhì)圓盤R,m,F=常量，且很大，使O向右運(yùn)動(dòng)，f,初靜止

求：O走過S路程時(shí)ω、α31§13-3動(dòng)能定理例13-4已知32§13-3動(dòng)能定理圓盤速度瞬心為C,

解：32§13-3動(dòng)能定理圓盤速度瞬心為C,解：33§13-3動(dòng)能定理均不作功。33§13-3動(dòng)能定理均不作功。34§13-3動(dòng)能定理將式(a)兩端對(duì)t求導(dǎo)，并利用得34§13-3動(dòng)能定理將式(a)兩端對(duì)t求導(dǎo)，并利用得35§13-3動(dòng)能定理不作功的力可不考慮，因此亦可如下計(jì)算：2、亦可將力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化，即注意：1、摩擦力Fd

的功S是力在空間的位移，不是受力作用點(diǎn)的位移。35§13-3動(dòng)能定理不作功的力可不考慮，因此亦可如下計(jì)36§13-3動(dòng)能定理

例13-5：已知：r1

，

m1

均質(zhì)；桿m均質(zhì)，O1O2=l,M=常量，純滾動(dòng)，處于水平面內(nèi)，初始靜止。求：O1O2轉(zhuǎn)過φ角的ω、α36§13-3動(dòng)能定理例13-5：已37§13-3動(dòng)能定理研究整個(gè)系統(tǒng)解：37§13-3動(dòng)能定理研究整個(gè)系統(tǒng)解：38§13-3動(dòng)能定理38§13-3動(dòng)能定理39§13-3動(dòng)能定理式(a)對(duì)任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得注意：輪Ⅰ、Ⅱ接觸點(diǎn)C不是理想約束，其摩擦力Fs盡管在空間是移動(dòng)的，但作用于速度瞬心，故不作功。39§13-3動(dòng)能定理式(a)對(duì)任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系40§13-3動(dòng)能定理例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)為k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA’，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？解：取OA桿研究對(duì)象得由40§13-3動(dòng)能定理例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30k41§13-3動(dòng)能定理【例2】均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：取整體為研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：由動(dòng)能定理，得對(duì)ｔ求導(dǎo)，得41§13-3動(dòng)能定理【例2】均質(zhì)圓盤A：m，r42【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)§13-3動(dòng)能定理解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象42【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為43§13-3動(dòng)能定理上面(1)式求導(dǎo)得：(1)43§13-3動(dòng)能定理上面(1)式求導(dǎo)得：(1)44§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率一、功率單位時(shí)間內(nèi)力所做的功稱為功率，以P表示。因?yàn)樗怨β实扔谇邢蛄εc力作用點(diǎn)速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為式中Mz是力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩，ω是角速度。即作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積。（13－20）（13－21）44§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率一、功率單位時(shí)45§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率二、功率方程取質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。

每部機(jī)器的功率可分為三部分：輸入功率、無(wú)用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫成：或（13－22）（13－23）45§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率二、功率方程取46§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率三、機(jī)械效率有效功率=

機(jī)械效率η表示機(jī)器對(duì)輸入功率的有效利用程度，它是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。顯然，

如一部機(jī)器有n級(jí)傳動(dòng)，設(shè)各級(jí)的效率分別為η1、η2

、…、ηn,則總效率為，機(jī)械效率用η表示，即（13－24）46§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率三、機(jī)械效率有效47§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例4】車床的電動(dòng)機(jī)功率為5.4

kW。由于傳動(dòng)零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n

=42r/min，問允許切削力的最大值為多少？若工件的轉(zhuǎn)速改為n’=112r/min，問允許切削力的最大值為多少？解：由題意知：當(dāng)工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能不變，有用功率為設(shè)切削力為F，切削速度為v，則即47§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例4】車床48當(dāng)n=112r/min

時(shí)，允許的最大切削力為§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率當(dāng)n=42r/min

時(shí)，允許的最大切削力為48當(dāng)n=112r/min時(shí)，允許的最大切削力為§13-49§13-3動(dòng)能定理例13-8:已知m.l0.k.R.J求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。49§13-3動(dòng)能定理例13-8:已知m.l50§13-3動(dòng)能定理解：50§13-3動(dòng)能定理解：51§13-3動(dòng)能定理51§13-3動(dòng)能定理52§13-3動(dòng)能定理令為彈簧靜伸長(zhǎng)，即mg=k,以平衡位置為原點(diǎn)52§13-3動(dòng)能定理令為彈簧靜伸長(zhǎng)，即mg53§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例5】電動(dòng)機(jī)車質(zhì)量為m，由靜止以勻加速度a沿水平軌道行駛，如電動(dòng)機(jī)車所受的運(yùn)動(dòng)阻力等于kmg(其中k是常數(shù))。求電動(dòng)機(jī)車的功率。

解：設(shè)電動(dòng)機(jī)車行駛距離s時(shí)的速度為v，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為W，由動(dòng)能定理得：將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意及得電機(jī)車的功率將代入上式，得：53§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例5】電54§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例6】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)。求質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解：取輪為研究對(duì)象，均質(zhì)圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能為只有重力作功,重力的功率為54§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例6】均質(zhì)55§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率應(yīng)用功率方程：得當(dāng)θ很小時(shí)sinθ≈0,于是得質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程為55§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率應(yīng)用功率方程：得56§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

一、勢(shì)力場(chǎng)

如果一物體在某空間任一位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場(chǎng)。例：重力場(chǎng)，太陽(yáng)引力場(chǎng)等等。

如果物體在力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)（或保守力場(chǎng)）。

在勢(shì)力場(chǎng)中，物體受到的力稱為有勢(shì)力（或保守力）。例：重力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)，重力、彈性力、萬(wàn)有引力都是有勢(shì)力。56§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律一、勢(shì)力場(chǎng)57§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

二、勢(shì)能

在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到任選的點(diǎn)M0，有勢(shì)力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M相對(duì)于點(diǎn)M0的勢(shì)能。以V表示為

點(diǎn)M0稱為零勢(shì)能點(diǎn)。在勢(shì)力場(chǎng)中，勢(shì)能的大小是相對(duì)零勢(shì)能點(diǎn)而言的。零勢(shì)能點(diǎn)M0可以任意選取，對(duì)于不同的零勢(shì)能點(diǎn)，在勢(shì)力場(chǎng)中同一位置的勢(shì)能可有不同的數(shù)值。

幾種常見勢(shì)能的計(jì)算（13－25）57§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律二、勢(shì)能581．重力場(chǎng)中的勢(shì)能§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

質(zhì)點(diǎn)重力mg在各軸上的投影為取Mo為零勢(shì)能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M的勢(shì)能為質(zhì)點(diǎn)系重力勢(shì)能其中m為質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量，zc為質(zhì)心的z坐標(biāo)，zc0為零勢(shì)能位置質(zhì)心z坐標(biāo)。（13－26）581．重力場(chǎng)中的勢(shì)能§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守592．彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數(shù)為k。

取Mo為零勢(shì)能點(diǎn)，則物體在點(diǎn)M的勢(shì)能為

如取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則有δ0

=0，則（13－27）592．彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能60§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

3．萬(wàn)有引力場(chǎng)中的勢(shì)能

設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)量為m2的物體的萬(wàn)有引力F作用。

取點(diǎn)M0為零勢(shì)能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M的勢(shì)能為式中f為引力常數(shù)。因?yàn)樗匀邕x取點(diǎn)M0在無(wú)窮遠(yuǎn)處，即r1=∞，則（13－28）60§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律3．萬(wàn)有引61§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AB。A端鉸支，B端由無(wú)重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時(shí)彈簧已拉長(zhǎng)δ0。如彈簧剛度系數(shù)為k，

如質(zhì)點(diǎn)系受到多個(gè)有勢(shì)力的作用，各有勢(shì)力可有各自的零勢(shì)能點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系中的各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢(shì)能點(diǎn)的一組位置，稱為質(zhì)點(diǎn)系的“零勢(shì)能位置”。質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其“零勢(shì)能位置”的運(yùn)動(dòng)過程中，各有勢(shì)力作功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢(shì)能。61§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律一62§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

(2)如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，桿于微小擺角φ

處，勢(shì)能為(1)如重力以桿的水平位置為零勢(shì)能位置，彈簧以自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則桿于微小擺角φ

處勢(shì)能為注意可得62§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律(2)如取63§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)能場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有勢(shì)力的功可通過勢(shì)能計(jì)算。

設(shè)某個(gè)有勢(shì)力的作用點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)過程中，從點(diǎn)M1

到點(diǎn)M2，該力所作的功為W12。

取點(diǎn)M0為零勢(shì)能點(diǎn)，則

因有勢(shì)力的功與軌跡形狀無(wú)關(guān)，從M1經(jīng)M2到M0

即有勢(shì)力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中的初始和終了位置的勢(shì)能的差。（13－30）63§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律質(zhì)64三、機(jī)械能守恒定律§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

質(zhì)點(diǎn)系在某瞬間的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和稱為機(jī)械能。質(zhì)點(diǎn)系如只有有勢(shì)力作功，則

移項(xiàng)后

即質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的過程中，只有有勢(shì)力作功，其機(jī)械能保持不變。這種質(zhì)點(diǎn)系稱為保守系統(tǒng)。（13－31）64三、機(jī)械能守恒定律§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守65§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

如質(zhì)點(diǎn)系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機(jī)械能是不守恒的。設(shè)保守力所作的功為W12，非保守力所作的功為W'12

，由動(dòng)能定理有因則

如W'12為負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能減小，稱為機(jī)械能耗散；

如W'12為正功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能增加，這時(shí)外界對(duì)系統(tǒng)輸入了能量。（13－32）65§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律如66

例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索k=3.35×N/m求:輪D突然卡住時(shí)，鋼索的最大張力§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

66例：已知：重物m=250kg,以v=0.67卡住前

卡住時(shí)：解：§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

67卡住前卡住時(shí)：解：§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?68得即由有§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

68得即由69取水平位置為零勢(shì)能位置例：已知：m,,k水平位置平衡OD=CD=b求：初速時(shí)，=?解：§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

69取水平位置為零勢(shì)能位置例：已知：m,,k70＊4.勢(shì)力場(chǎng)的其他性質(zhì)：(1)

（2）勢(shì)能相等的點(diǎn)構(gòu)成等勢(shì)面

（3）有勢(shì)力方向垂直于等勢(shì)能面，指向勢(shì)能減小的方向§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

70＊4.勢(shì)力場(chǎng)的其他性質(zhì)：(1)（2）勢(shì)能相等的點(diǎn)71§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

【例9】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)。求質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解：取輪為研究對(duì)象，此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，取質(zhì)心的最低位置O為重力場(chǎng)零勢(shì)能點(diǎn)，圓輪在任一位置的勢(shì)能為同一瞬時(shí)的動(dòng)能為由機(jī)械能守恒，有71§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律【例972§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

把V和T的表達(dá)式代入，取導(dǎo)數(shù)后得，于是得當(dāng)θ很小時(shí)，，于是得因72§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律把V和T的73

它們從不同方面建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)量（動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能）的變化與力的作用量（沖量、力矩、力的功）之間的關(guān)系?！?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它運(yùn)動(dòng)形式有能量轉(zhuǎn)化的問題。

應(yīng)用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩，只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力。

應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，要考慮約束力和內(nèi)力作不作功。73它們從不同方面建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)74

工程中有的問題只能用某一定理求解，有的則可用不同的定理求解，還有些較復(fù)雜的問題，需要幾個(gè)定理的聯(lián)合應(yīng)用才能求解。因此，在解題時(shí)就牽涉到選哪個(gè)或哪幾個(gè)的問題。但普遍定理的選用具有很大的靈活性，不可能定出幾條處處適用的現(xiàn)成規(guī)則?！?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

動(dòng)力學(xué)普遍定理選用的一般方法和步驟（僅供參考）⒈首先必須明確各個(gè)定理的內(nèi)容、特點(diǎn)以及各定理所能解決的問題。⒉分析問題的已知條件與所求未知量之間的關(guān)系，分析質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與所受力的特點(diǎn)，根據(jù)這兩方面分析的結(jié)果再來(lái)決定選用哪一定理。74工程中有的問題只能用某一定理求解，75§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

具體來(lái)講：⑴如果問題是要求速度和角速度，則可根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系所受力的特點(diǎn)而定。①若質(zhì)點(diǎn)系所受外力的主矢為零或在某軸上投影的代數(shù)和為零，則可用動(dòng)量守恒定理求解；②若質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)某固定軸的力矩之代數(shù)和為零，則用對(duì)該軸的動(dòng)量矩守恒定理求解；③若質(zhì)點(diǎn)系僅受有勢(shì)力作用或非有勢(shì)力不作功，則用機(jī)械能守恒定律求解；④若作用在質(zhì)點(diǎn)系上的非有勢(shì)力作功，則用動(dòng)能定理求解；⑵如果問題是要求加速度和角加速度，則可考慮用動(dòng)能定理求出速度和角速度，然后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理求解。在用動(dòng)能定理或功率方程求解時(shí)，不作功的力在方程中不出現(xiàn)，給問75§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例76

問題的求解帶來(lái)很大的方便?！?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例⑶若已知質(zhì)點(diǎn)系或質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，如果在x、y、z方向僅有一個(gè)外力（通常是約束反力）是未知的，則可用動(dòng)量定理或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求出未的外力，有時(shí)用動(dòng)量矩定理求解也極為簡(jiǎn)單。⒊對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題，可用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求解；對(duì)于剛體的平面運(yùn)動(dòng)問題，可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解。通常情況下，先用動(dòng)能定理或動(dòng)量矩定理求出運(yùn)動(dòng)量，然后再用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求出未知的約束反力。對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題，不外乎是上述幾種情況的組合，可根據(jù)各定理的特點(diǎn)聯(lián)合應(yīng)用。76問題的求解帶來(lái)很大的方便。§13-６77例：已知均質(zhì)園輪m,r,R

，純滾動(dòng)求：輪心Ｃ的運(yùn)動(dòng)微分方程§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例77例：已知均質(zhì)園輪m,r,R，純滾動(dòng)求：輪心Ｃ的運(yùn)動(dòng)微78解:重力的功率§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例78解:重力的功率§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例79（很小）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例79（很?。?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例80本題也可用機(jī)械能守恒定律求解。得§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例80本題也可用機(jī)械能守恒定律求解。得§13-６普遍定理的綜81

例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊m,ｋ，純滾動(dòng)，于彈簧原長(zhǎng)處無(wú)初速釋放。求：重物下降h時(shí)，v、a及滾輪與地面的摩擦力?！?3-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例81例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊m,82解：§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例82解：§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例83將式（a）對(duì)t

求導(dǎo)（a）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例83將式（a）對(duì)t求導(dǎo)（a）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用84得其中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例84得其中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例85例：已知l,m求：桿由鉛直倒下，剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例85例：已知l,m求：桿由鉛直倒下，剛到達(dá)地面時(shí)的角速86解：成角時(shí)§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例86解：成角時(shí)§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例87（a）（b）時(shí)§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例87（a）（b）時(shí)§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例88由（a）,（b）,（c）得由其中：鉛直水平(c)§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例88由（a）,（b）,（c）得由其中：89

例：已知輪I：r,

m1;輪III:r，m3;輪II：R=2r,m2;壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）為20度，物塊：mA；摩擦力不計(jì)。求：O1

O2處的約束力。§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例89例：已知輪I：r,m1;輪III90其中解:§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例90其中解:§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例91利用其中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例91利用其中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例92研究I輪壓力角為§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例92研究I輪壓力角為§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例93§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例93§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例94研究物塊A§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例94研究物塊A§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例95研究II輪§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例95研究II輪§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例96

例9：已知，m，R,k,CA=2R為彈簧原長(zhǎng)，M為常力偶。求：圓心C無(wú)初速度由最低點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，O處約束力§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例96例9：已知，m，R,k,CA=2R為彈簧原長(zhǎng)，M97解：§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例97解：§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例98§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例98§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例99得§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例99得§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例100例均質(zhì)桿AB，l,m,初始鉛直靜止，無(wú)摩擦求：1.B端未脫離墻時(shí)，擺至θ角位置時(shí)的，，F(xiàn)Bx,FBy2.B端脫離瞬間的θ１3.桿著地時(shí)的vC及2§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例100例均質(zhì)桿AB，l,m,初始鉛直靜止，無(wú)摩擦求：1.101解：（1）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例101解：（1）§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例102()()2cos3sin43sincos-=-==qqqqmgaammaFnCtCCxBx_§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例102()()2cos3sin43sincos-=-==qq103（2）.脫離瞬間時(shí)§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例103（2）.脫離瞬間時(shí)§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉104（3）.脫離后，水平動(dòng)量守恒，脫離瞬時(shí)§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例104（3）.脫離后，水平動(dòng)量守恒，脫離瞬時(shí)§13-６105桿著地時(shí)，AC水平由鉛直——水平全過程§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例105桿著地時(shí)，AC水平由鉛直——水平全過程§13-６普遍106式中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例106式中§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例107第十三章動(dòng)能定理結(jié)束107第十三章動(dòng)能定理結(jié)束108理論力學(xué)第十三章動(dòng)能定理1理論力學(xué)第十三章動(dòng)能定理109第十三章動(dòng)能定理§13-1力的功§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能§13-3動(dòng)能定理§13-4功率功率方程機(jī)械效率§13-5勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定律§13-6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例2第十三章動(dòng)能定理§13-1力的功§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)110§13-1力的功

一、常力的功功是代數(shù)量，在國(guó)際單位制中，功的單位為J（焦耳）。3§13-1力的功一、常力的功功是代數(shù)量，在國(guó)際單111§13-1力的功

二、變力的功

力在全路程上作的功等于元功之和：

力在無(wú)限小位移dr中作的功稱為元功：（13－1）（13－2）4§13-1力的功二、變力的功力在全路程上作112力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標(biāo)系中，i，j，k為三坐標(biāo)軸的單位矢量，則上兩式也可寫成以下矢量點(diǎn)乘形式：（13－5）（13－4）（13－3）§13-1力的功5力F從M1到M2的過程所作的功在直角坐標(biāo)系中，i，j，k為113§13-1力的功三、幾種常見力的功1．重力的功重力重力作功為在直角坐標(biāo)軸上的投影為（13－6）6§13-1力的功三、幾種常見力的功1．重力的功重力重114根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)i

的質(zhì)量為mi，運(yùn)動(dòng)始末的高度差為（zi1-zi2），則全部重力作功之和為：所以§13-1力的功（13－7）重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。7根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)公式，有對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量為mi115§13-1力的功2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力大小為k——彈性剛度系數(shù)（或剛性系數(shù)）。彈性力8§13-1力的功2．彈性力的功彈性范圍內(nèi)，彈性力116§13-1力的功點(diǎn)A

由A1到

A2時(shí)，彈性力作功為（13－8）彈性力的功也與路徑無(wú)關(guān)9§13-1力的功點(diǎn)A由A1到A2時(shí)，彈性力117§13-1力的功

如果剛體上作用一力偶，則力偶所作的功仍可用上式計(jì)算，其中Mz為力偶對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩，也等于力偶矩矢M在軸上的投影。3．轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功力F在切線上的投影為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力F的元功為因?yàn)镕t

R等于F對(duì)于轉(zhuǎn)軸z的力矩Mz，于是（13－10）10§13-1力的功如果剛體上作用一力偶，118§13-1力的功作用在點(diǎn)的力的元功為力系全部力的元功之和為4.平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功其中由兩端乘dt，有（13－11）11§13-1力的功作用在點(diǎn)的力119§13-1力的功其中:為力系主失，為力系對(duì)質(zhì)心的主矩。當(dāng)質(zhì)心由，轉(zhuǎn)角由時(shí)，力系的功為即：平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化所得的力和力偶作功之和。（13－12）12§13-1力的功其中:為力系主失，120§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為動(dòng)能是標(biāo)量，恒取正值。在國(guó)際單位制中動(dòng)能的單位也為J。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算術(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即13§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能設(shè)1212．轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能1.平移剛體的動(dòng)能（13－13）（13－14）142．轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能1.平122§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能3.平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能點(diǎn)C——質(zhì)心，點(diǎn)P——某瞬時(shí)的瞬心，ω——角速度（13－15）15§13-2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能3.平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能點(diǎn)123§13-3動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式因得上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式:即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。（13－16）16§13-3動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微124§13-3動(dòng)能定理上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功。（13－17）17§13-3動(dòng)能定理上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式：在125§13-3動(dòng)能定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為mi，速度為vi，有式中δWi

為作用于這個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力Fi作的元功。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將n個(gè)方程相加，得：上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。（13－18）18§13-3動(dòng)能定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)126§13-3動(dòng)能定理上式積分，得：（13－19）上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和。19§13-3動(dòng)能定理上式積分，得：（13－19）上式稱127§13-3動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力的功之和等于零。剛體的內(nèi)力的功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力的功之和等于零。三、理想約束及內(nèi)力作功20§13-3動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功只要A、B兩點(diǎn)間距128§13-3動(dòng)能定理理想約束反力的功1．光滑固定面約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。2．活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承21§13-3動(dòng)能定理理想約束反力的功1．光滑固定面約束129§13-3動(dòng)能定理5．柔性約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）3．剛體沿固定面作純滾動(dòng)22§13-3動(dòng)能定理5．柔性約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）4．130§13-3動(dòng)能定理

例13-1已知：m,h,k,其它質(zhì)量不計(jì)。求：23§13-3動(dòng)能定理例13-1已131§13-3動(dòng)能定理解：24§13-3動(dòng)能定理解：132§13-3動(dòng)能定理

例13-2已知：輪O的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上;均質(zhì)輪C的R2、m2純滾動(dòng),初始靜止;θ,M為常力偶。求：輪心C走過路程S時(shí)的速度和加速度25§13-3動(dòng)能定理例13-2已知133§13-3動(dòng)能定理輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系解：26§13-3動(dòng)能定理輪C與輪O共同作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系解：134§13-3動(dòng)能定理27§13-3動(dòng)能定理135§13-3動(dòng)能定理式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)t求導(dǎo)，得28§13-3動(dòng)能定理式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)t求導(dǎo)136§13-3動(dòng)能定理求：沖斷試件需用的能量

例13-3沖擊試驗(yàn)機(jī)m=18kg,l=840mm,桿重不計(jì)，在時(shí)靜止釋放，沖斷試件后擺至29§13-3動(dòng)能定理求：沖斷試件需用的能量137§13-3動(dòng)能定理得沖斷試件需要的能量為解：30§13-3動(dòng)能定理得沖斷試件需要的能量為解：138§13-3動(dòng)能定理

例13-4已知：均質(zhì)圓盤R,m,F=常量，且很大，使O向右運(yùn)動(dòng)，f,初靜止

求：O走過S路程時(shí)ω、α31§13-3動(dòng)能定理例13-4已知139§13-3動(dòng)能定理圓盤速度瞬心為C,

解：32§13-3動(dòng)能定理圓盤速度瞬心為C,解：140§13-3動(dòng)能定理均不作功。33§13-3動(dòng)能定理均不作功。141§13-3動(dòng)能定理將式(a)兩端對(duì)t求導(dǎo)，并利用得34§13-3動(dòng)能定理將式(a)兩端對(duì)t求導(dǎo)，并利用得142§13-3動(dòng)能定理不作功的力可不考慮，因此亦可如下計(jì)算：2、亦可將力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化，即注意：1、摩擦力Fd

的功S是力在空間的位移，不是受力作用點(diǎn)的位移。35§13-3動(dòng)能定理不作功的力可不考慮，因此亦可如下計(jì)143§13-3動(dòng)能定理

例13-5：已知：r1

，

m1

均質(zhì)；桿m均質(zhì)，O1O2=l,M=常量，純滾動(dòng)，處于水平面內(nèi)，初始靜止。求：O1O2轉(zhuǎn)過φ角的ω、α36§13-3動(dòng)能定理例13-5：已144§13-3動(dòng)能定理研究整個(gè)系統(tǒng)解：37§13-3動(dòng)能定理研究整個(gè)系統(tǒng)解：145§13-3動(dòng)能定理38§13-3動(dòng)能定理146§13-3動(dòng)能定理式(a)對(duì)任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得注意：輪Ⅰ、Ⅱ接觸點(diǎn)C不是理想約束，其摩擦力Fs盡管在空間是移動(dòng)的，但作用于速度瞬心，故不作功。39§13-3動(dòng)能定理式(a)對(duì)任何φ均成立，是函數(shù)關(guān)系147§13-3動(dòng)能定理例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)為k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA’，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？解：取OA桿研究對(duì)象得由40§13-3動(dòng)能定理例1圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30k148§13-3動(dòng)能定理【例2】均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：取整體為研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：由動(dòng)能定理，得對(duì)ｔ求導(dǎo)，得41§13-3動(dòng)能定理【例2】均質(zhì)圓盤A：m，r149【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)§13-3動(dòng)能定理解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象42【例3】圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為150§13-3動(dòng)能定理上面(1)式求導(dǎo)得：(1)43§13-3動(dòng)能定理上面(1)式求導(dǎo)得：(1)151§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率一、功率單位時(shí)間內(nèi)力所做的功稱為功率，以P表示。因?yàn)樗怨β实扔谇邢蛄εc力作用點(diǎn)速度的乘積。作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為式中Mz是力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的矩，ω是角速度。即作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積。（13－20）（13－21）44§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率一、功率單位時(shí)152§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率二、功率方程取質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式，兩端除以dt，得上式稱為功率方程，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。

每部機(jī)器的功率可分為三部分：輸入功率、無(wú)用功率（或耗損功率）、有用功率（或輸出功率）。在一般情況下，功率方程可寫成：或（13－22）（13－23）45§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率二、功率方程取153§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率三、機(jī)械效率有效功率=

機(jī)械效率η表示機(jī)器對(duì)輸入功率的有效利用程度，它是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。顯然，

如一部機(jī)器有n級(jí)傳動(dòng)，設(shè)各級(jí)的效率分別為η1、η2

、…、ηn,則總效率為，機(jī)械效率用η表示，即（13－24）46§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率三、機(jī)械效率有效154§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例4】車床的電動(dòng)機(jī)功率為5.4

kW。由于傳動(dòng)零件之間的摩擦耗損功率占輸入功率的30%。如工件的直徑d=100mm，轉(zhuǎn)速n

=42r/min，問允許切削力的最大值為多少？若工件的轉(zhuǎn)速改為n’=112r/min，問允許切削力的最大值為多少？解：由題意知：當(dāng)工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能不變，有用功率為設(shè)切削力為F，切削速度為v，則即47§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例4】車床155當(dāng)n=112r/min

時(shí)，允許的最大切削力為§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率當(dāng)n=42r/min

時(shí)，允許的最大切削力為48當(dāng)n=112r/min時(shí)，允許的最大切削力為§13-156§13-3動(dòng)能定理例13-8:已知m.l0.k.R.J求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。49§13-3動(dòng)能定理例13-8:已知m.l157§13-3動(dòng)能定理解：50§13-3動(dòng)能定理解：158§13-3動(dòng)能定理51§13-3動(dòng)能定理159§13-3動(dòng)能定理令為彈簧靜伸長(zhǎng)，即mg=k,以平衡位置為原點(diǎn)52§13-3動(dòng)能定理令為彈簧靜伸長(zhǎng)，即mg160§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例5】電動(dòng)機(jī)車質(zhì)量為m，由靜止以勻加速度a沿水平軌道行駛，如電動(dòng)機(jī)車所受的運(yùn)動(dòng)阻力等于kmg(其中k是常數(shù))。求電動(dòng)機(jī)車的功率。

解：設(shè)電動(dòng)機(jī)車行駛距離s時(shí)的速度為v，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為W，由動(dòng)能定理得：將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意及得電機(jī)車的功率將代入上式，得：53§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例5】電161§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例6】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)。求質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解：取輪為研究對(duì)象，均質(zhì)圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能為只有重力作功,重力的功率為54§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率【例6】均質(zhì)162§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率應(yīng)用功率方程：得當(dāng)θ很小時(shí)sinθ≈0,于是得質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)微分方程為55§13-4功率?功率方程?機(jī)械效率應(yīng)用功率方程：得163§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

一、勢(shì)力場(chǎng)

如果一物體在某空間任一位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場(chǎng)。例：重力場(chǎng)，太陽(yáng)引力場(chǎng)等等。

如果物體在力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)（或保守力場(chǎng)）。

在勢(shì)力場(chǎng)中，物體受到的力稱為有勢(shì)力（或保守力）。例：重力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)，重力、彈性力、萬(wàn)有引力都是有勢(shì)力。56§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律一、勢(shì)力場(chǎng)164§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

二、勢(shì)能

在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到任選的點(diǎn)M0，有勢(shì)力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M相對(duì)于點(diǎn)M0的勢(shì)能。以V表示為

點(diǎn)M0稱為零勢(shì)能點(diǎn)。在勢(shì)力場(chǎng)中，勢(shì)能的大小是相對(duì)零勢(shì)能點(diǎn)而言的。零勢(shì)能點(diǎn)M0可以任意選取，對(duì)于不同的零勢(shì)能點(diǎn)，在勢(shì)力場(chǎng)中同一位置的勢(shì)能可有不同的數(shù)值。

幾種常見勢(shì)能的計(jì)算（13－25）57§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律二、勢(shì)能1651．重力場(chǎng)中的勢(shì)能§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

質(zhì)點(diǎn)重力mg在各軸上的投影為取Mo為零勢(shì)能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M的勢(shì)能為質(zhì)點(diǎn)系重力勢(shì)能其中m為質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量，zc為質(zhì)心的z坐標(biāo)，zc0為零勢(shì)能位置質(zhì)心z坐標(biāo)。（13－26）581．重力場(chǎng)中的勢(shì)能§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守1662．彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接。彈簧的剛度系數(shù)為k。

取Mo為零勢(shì)能點(diǎn)，則物體在點(diǎn)M的勢(shì)能為

如取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則有δ0

=0，則（13－27）592．彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能167§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

3．萬(wàn)有引力場(chǎng)中的勢(shì)能

設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)量為m2的物體的萬(wàn)有引力F作用。

取點(diǎn)M0為零勢(shì)能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M的勢(shì)能為式中f為引力常數(shù)。因?yàn)樗匀邕x取點(diǎn)M0在無(wú)窮遠(yuǎn)處，即r1=∞，則（13－28）60§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律3．萬(wàn)有引168§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AB。A端鉸支，B端由無(wú)重彈簧拉住，并于水平位置平衡。此時(shí)彈簧已拉長(zhǎng)δ0。如彈簧剛度系數(shù)為k，

如質(zhì)點(diǎn)系受到多個(gè)有勢(shì)力的作用，各有勢(shì)力可有各自的零勢(shì)能點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系中的各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢(shì)能點(diǎn)的一組位置，稱為質(zhì)點(diǎn)系的“零勢(shì)能位置”。質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其“零勢(shì)能位置”的運(yùn)動(dòng)過程中，各有勢(shì)力作功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢(shì)能。61§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律一169§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

(2)如取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，桿于微小擺角φ

處，勢(shì)能為(1)如重力以桿的水平位置為零勢(shì)能位置，彈簧以自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則桿于微小擺角φ

處勢(shì)能為注意可得62§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律(2)如取170§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

質(zhì)點(diǎn)系在勢(shì)能場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有勢(shì)力的功可通過勢(shì)能計(jì)算。

設(shè)某個(gè)有勢(shì)力的作用點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)過程中，從點(diǎn)M1

到點(diǎn)M2，該力所作的功為W12。

取點(diǎn)M0為零勢(shì)能點(diǎn)，則

因有勢(shì)力的功與軌跡形狀無(wú)關(guān)，從M1經(jīng)M2到M0

即有勢(shì)力所作的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中的初始和終了位置的勢(shì)能的差。（13－30）63§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律質(zhì)171三、機(jī)械能守恒定律§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

質(zhì)點(diǎn)系在某瞬間的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和稱為機(jī)械能。質(zhì)點(diǎn)系如只有有勢(shì)力作功，則

移項(xiàng)后

即質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的過程中，只有有勢(shì)力作功，其機(jī)械能保持不變。這種質(zhì)點(diǎn)系稱為保守系統(tǒng)。（13－31）64三、機(jī)械能守恒定律§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守172§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

如質(zhì)點(diǎn)系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)，非保守系統(tǒng)的機(jī)械能是不守恒的。設(shè)保守力所作的功為W12，非保守力所作的功為W'12

，由動(dòng)能定理有因則

如W'12為負(fù)功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能減小，稱為機(jī)械能耗散；

如W'12為正功，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能增加，這時(shí)外界對(duì)系統(tǒng)輸入了能量。（13－32）65§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律如173

例：已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索k=3.35×N/m求:輪D突然卡住時(shí)，鋼索的最大張力§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

66例：已知：重物m=250kg,以v=0.174卡住前

卡住時(shí)：解：§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

67卡住前卡住時(shí)：解：§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?175得即由有§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

68得即由176取水平位置為零勢(shì)能位置例：已知：m,,k水平位置平衡OD=CD=b求：初速時(shí)，=?解：§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

69取水平位置為零勢(shì)能位置例：已知：m,,k177＊4.勢(shì)力場(chǎng)的其他性質(zhì)：(1)

（2）勢(shì)能相等的點(diǎn)構(gòu)成等勢(shì)面

（3）有勢(shì)力方向垂直于等勢(shì)能面，指向勢(shì)能減小的方向§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

70＊4.勢(shì)力場(chǎng)的其他性質(zhì)：(1)（2）勢(shì)能相等的點(diǎn)178§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

【例9】均質(zhì)圓輪半徑r，質(zhì)量為m，受到輕微擾動(dòng)后，在半徑為R的圓弧上往復(fù)滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)表面足夠粗糙，使圓輪在滾動(dòng)時(shí)無(wú)滑動(dòng)。求質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解：取輪為研究對(duì)象，此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，取質(zhì)心的最低位置O為重力場(chǎng)零勢(shì)能點(diǎn)，圓輪在任一位置的勢(shì)能為同一瞬時(shí)的動(dòng)能為由機(jī)械能守恒，有71§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律【例9179§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律

把V和T的表達(dá)式代入，取導(dǎo)數(shù)后得，于是得當(dāng)θ很小時(shí)，，于是得因72§13-5勢(shì)力場(chǎng)?勢(shì)能?機(jī)械能守恒定律把V和T的180

它們從不同方面建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)量（動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能）的變化與力的作用量（沖量、力矩、力的功）之間的關(guān)系。§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，他們都用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可用于研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它運(yùn)動(dòng)形式有能量轉(zhuǎn)化的問題。

應(yīng)用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩，只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力。

應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)，要考慮約束力和內(nèi)力作不作功。73它們從不同方面建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)181

工程中有的問題只能用某一定理求解，有的則可用不同的定理求解，還有些較復(fù)雜的問題，需要幾個(gè)定理的聯(lián)合應(yīng)用才能求解。因此，在解題時(shí)就牽涉到選哪個(gè)或哪幾個(gè)的問題。但普遍定理的選用具有很大的靈活性，不可能定出幾條處處適用的現(xiàn)成規(guī)則。§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

動(dòng)力學(xué)普遍定理選用的一般方法和步驟（僅供參考）⒈首先必須明確各個(gè)定理的內(nèi)容、特點(diǎn)以及各定理所能解決的問題。⒉分析問題的已知條件與所求未知量之間的關(guān)系，分析質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與所受力的特點(diǎn)，根據(jù)這兩方面分析的結(jié)果再來(lái)決定選用哪一定理。74工程中有的問題只能用某一定理求解，182§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例

具體來(lái)講：⑴如果問題是要求速度和角速度，則可根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系所受力的特點(diǎn)而定。①若質(zhì)點(diǎn)系所受外力的主矢為零或在某軸上投影的代數(shù)和為零，則可用動(dòng)量守恒定理求解；②若質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)某固定軸的力矩之代數(shù)和為零，則用對(duì)該軸的動(dòng)量矩守恒定理求解；③若質(zhì)點(diǎn)系僅受有勢(shì)力作用或非有勢(shì)力不作功，則用機(jī)械能守恒定律求解；④若作用在質(zhì)點(diǎn)系上的非有勢(shì)力作功，則用動(dòng)能定理求解；⑵如果問題是要求加速度和角加速度，則可考慮用動(dòng)能定理求出速度和角速度，然后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理求解。在用動(dòng)能定理或功率方程求解時(shí)，不作功的力在方程中不出現(xiàn)，給問75§13-６普遍定理的綜合應(yīng)用舉例