函數(shù)的連續(xù)性課件

§1連續(xù)性概念

§2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

§3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性第四章函數(shù)的連續(xù)性1§1連續(xù)性概念第四章函數(shù)的連續(xù)性§1連續(xù)性概念第四章函數(shù)的連續(xù)性2解：

1、

y12021x2、

(1,2)從圖象上看，在處“連續(xù)”，在處“間斷”。2、，1、

引例求下列函數(shù)在處的函數(shù)值和極限，并作出圖象。圖象：

圖象：

yx01122(1,2)解：1、y12021x2、(1,2)從圖象上看，3函數(shù)的連續(xù)性

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義稱Dy=f(x0+Dx)-f(x0)為函數(shù)y的增量

在鄰域U(x0)內(nèi)若自變量x從初值x0變到終值x1

則稱Dx=x1-x0為自變量x的增量

DxDy函數(shù)的增量

函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一4函數(shù)的改變量（增量）

設(shè)有函數(shù)，在函數(shù)定義域內(nèi)，當(dāng)從變到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地從變到稱為函數(shù)在處的改變量（增量）。

當(dāng)變量由初值變到終值時(shí)，稱終值與初值的差為變量的改變量（增量），記為，即一、函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的改變量（增量）設(shè)有函數(shù)5那么稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，點(diǎn)稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性

定義

如果

（1）函數(shù)在處及其近旁有定義；（2）存在；

（3）2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性定義如果（1）函數(shù)6提示:設(shè)x=x0+Dx則當(dāng)Dx0時(shí)

xx0因此

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

Dy=f(x0+Dx)-f(x0)

2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性

提示:設(shè)x=x0+Dx則當(dāng)Dx0時(shí)xx0因此7討論:如何用e-d語(yǔ)言敘述函數(shù)的連續(xù)性定義？e>0

d>0當(dāng)|x-x0|<d有|f(x)-f(x0)|<e提示:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性

討論:e>0d>0當(dāng)|x-x0|<d8左連續(xù)與右連續(xù)結(jié)論

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性

左連續(xù)與右連續(xù)結(jié)論函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x09（2）函數(shù)的左連續(xù)、右連續(xù)：設(shè)函數(shù)在處及其左（或右）近旁有定義，如果（或），那么稱函數(shù)在左連續(xù)（或右連續(xù)）。（1）如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。3、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性

如果在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在右端點(diǎn)處左連續(xù)，在左端點(diǎn)處右連續(xù)，那么稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線。（2）函數(shù)的左連續(xù)、右連續(xù)：設(shè)函數(shù)10

函數(shù)y=sinx在區(qū)間(-+)內(nèi)是連續(xù)的

這是因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx在(-+)內(nèi)任意一點(diǎn)x處有定義并且

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)連續(xù)函數(shù)舉例3、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性函數(shù)y=sinx在區(qū)間(-+11例1、設(shè)，求適合下列條件的函數(shù)的改變量（增量）。（1）由1變到1.2（2）由1變到0.8（3）由1變到（2）

（3）

解：

（1）

例1、設(shè)12練習(xí)1、

求函數(shù)，當(dāng)，時(shí)的改變量。解：的初值為1，終值為1.5練習(xí)1、求函數(shù)13例2

討論函數(shù)

在處的連續(xù)性，并作出函數(shù)的圖象。解：

根據(jù)定義的三個(gè)步驟進(jìn)行驗(yàn)證：（1）的定義域是，故在及其附近有定義，;（2）

所以

（3）

因此在處連續(xù)。

x04123-1-2123y

符合定義的三個(gè)步驟。

例2討論函數(shù)在處的連14在處連續(xù)。例3

適當(dāng)選取的值，使函數(shù)解：（1）的定義域是，在及其附近有定義。（2）即，此時(shí)欲使在處連續(xù)，須有（3）所以時(shí)，在處連續(xù)。在處連續(xù)。例3適當(dāng)選15練習(xí)2用定義討論函數(shù)在處的連續(xù)性并作圖。解：由定義的三個(gè)步驟進(jìn)行驗(yàn)證：（1）（2）所以，（3）函數(shù)在處連續(xù)。1-1xy0練習(xí)2用定義討論函數(shù)在16二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

如果函數(shù)在處不連續(xù)，那么稱函數(shù)在處是間斷的，并稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。

由函數(shù)在處連續(xù)的定義知，當(dāng)函數(shù)有下列三種情形之一時(shí)，函數(shù)在處間斷。（1）在近旁有定義，但在處沒有定義。（2）雖在處有定義，但不存在。（3）雖在處有定義，且存在，但定理1基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)如果函數(shù)17

通常把間斷點(diǎn)分成兩類設(shè)

x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)如果左極限f(x0-)及右極限f(x0+)都存在那么x0稱為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)

不屬于第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)

在第一類間斷點(diǎn)中左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的類型注:.)(,)()(,)(lim0000的可去間斷點(diǎn)為則稱或有定義但無定義在點(diǎn)而若xfxAxf，xxfAxfxx1=?不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)

注:.)(),(lim)(lim,,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)則稱點(diǎn)但右極限都存在的左在點(diǎn)若函數(shù)xfxxfxfxxfxxxx-+??1無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二間斷點(diǎn)通常把間斷點(diǎn)分成兩類間斷點(diǎn)的類型注:.)18（2）函數(shù)在處有定義，但不存在。所以，是該函數(shù)的間斷點(diǎn)。例如：（1）函數(shù)在處無定義所以是該函數(shù)的間斷點(diǎn)。2-22yx01-1xy0（2）函數(shù)19(3)函數(shù)，在處有定義，

且，但所以是該函數(shù)的間斷點(diǎn)。xy101(3)函數(shù)20間斷點(diǎn)舉例

例1

間斷點(diǎn)舉例例121

例2

當(dāng)x0時(shí)函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無限多次

所以點(diǎn)x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn)

所以點(diǎn)x=0稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)

間斷點(diǎn)舉例例2當(dāng)x0時(shí)函數(shù)22所以點(diǎn)x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)

如果補(bǔ)充定義令x=1時(shí)y=2則所給函數(shù)在x=1成為連續(xù)所以x=1稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)

例3

間斷點(diǎn)舉例所以點(diǎn)x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)如果補(bǔ)充定義令x=1時(shí)y23所以x=1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)

如果改變函數(shù)f(x)在x=1處的定義令f(1)=1則函數(shù)在x=1成為連續(xù)所以x=1也稱為此函數(shù)的可去間斷點(diǎn)

例4

間斷點(diǎn)舉例所以x=1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)如果改變24因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象我們稱x=0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)

例5

間斷點(diǎn)舉例因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象25例4

已知函數(shù)問函數(shù)有無間斷點(diǎn)。解：點(diǎn)處可能間斷，分三步驗(yàn)證。（1）在及其附近有定義，且（2）不存在所以，函數(shù)在處間斷。三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、定理：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。2、由函數(shù)連續(xù)的定義，如果函數(shù)在處連續(xù)，有3、分段函數(shù)只可能在分段點(diǎn)處間斷。例4已知函數(shù)26例5

求解：設(shè)因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)?，而根?jù)初等函數(shù)連續(xù)性的定理得到函數(shù)在處連續(xù)，例5求解：設(shè)27練習(xí)3

討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性。（1）在處（2）在處解：，解：所以，在處連續(xù)所以，不存在，在處間斷。練習(xí)3討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性。（128

求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)（3）（4）解：為初等函數(shù)，在定義域內(nèi)連續(xù)，，定義域?yàn)殚g斷點(diǎn)為解：不是初等函數(shù)，分段點(diǎn)且因?yàn)樗裕谔庨g斷。求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)（3）（4）解：為初等29

（5）求極限解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，函數(shù)定義域?yàn)樗裕?）求極限解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，函數(shù)30小結(jié)

(1),函數(shù)的連續(xù)性;

(3),函數(shù)的間斷點(diǎn);

(2),函數(shù)左連續(xù)與右連續(xù);

(4),初等函數(shù)的連續(xù)性.作業(yè)P73:2,3,4,5,6,7.小結(jié)(1),函數(shù)的連續(xù)性;(3),函數(shù)的31

§2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性§2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性32定理1(局部有界性)定理2(局部保號(hào)性)內(nèi)有界在則連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù));()(,)(00dxUxfxxf).)(()();(),;()),(0()(0)0)((0)(,)(0000000rxfrxfxUxxUxfrxfrxfxfxxf-<>?"$-<<<<"<>或有使得或則或且連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù)dd一、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(局部有界性)定理2(局部保號(hào)性)內(nèi)有33定理3設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)則函數(shù)在點(diǎn)x0也連續(xù)

例1

因?yàn)閟inx和cosx都在區(qū)間(-

+)內(nèi)連續(xù)所以tanx和cotx在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的三角函數(shù)sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在其有定義的區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的(連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算法則)定理3設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連34定理4如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)那么它的反函數(shù)xf1(y)在區(qū)間Iy{y|yf(x)xIx}上也是單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)的所以它的反函數(shù)y=arcsinx在區(qū)間[-11]上也是連續(xù)的

例2

同樣y=arccosx在區(qū)間[-11]上是連續(xù)的

y=arctanx在區(qū)間(-

+)內(nèi)是連續(xù)的

y=arccotx在區(qū)間(-

+)內(nèi)是連續(xù)的(反函數(shù)的連續(xù)性)定理4如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(35反三角函數(shù)arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的定理4如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)那么它的反函數(shù)xf1(y)在區(qū)間Iy{y|yf(x)xIx}上也是單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)的所以它的反函數(shù)y=arcsinx在區(qū)間[-11]上也是連續(xù)的

例2

(反函數(shù)的連續(xù)性)反三角函數(shù)arcsinx、arccosx36注:(1)把定理中的xx0換成x可得類似的定理提示:定理5

例3

解

設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成

(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)注:(1)把定理中的xx0換成x可37設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成U(x0)Dfog若函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x0連續(xù)函數(shù)yf(u)在點(diǎn)u0g(x0)連續(xù)則復(fù)合函數(shù)yf[j(x)]在點(diǎn)x0也連續(xù)定理5’定理5設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成

(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與38sinu當(dāng)-<u<+時(shí)是連續(xù)的

例4

解內(nèi)是連續(xù)的

sinu當(dāng)-<u<+時(shí)是連續(xù)的39二、初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論

基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的注:

所謂定義區(qū)間就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間二、初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論注:40

例6

例5

解

解

利用連續(xù)性求極限舉例例6例541

例7

令a

x-1=t

解

則x=log

a(1+t)

x0時(shí)t0于是利用連續(xù)性求極限舉例例7令ax-1=t解42例8

求解：設(shè)因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)?，而根?jù)初等函數(shù)連續(xù)性的定理得到函數(shù)在處連續(xù)，例8求解：設(shè)43例9求極限解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，函數(shù)定義域?yàn)樗?，?求極限解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，44小結(jié)

(1),連續(xù)函數(shù)的局部有界性;

(3),四則運(yùn)算法則;

(2),局部保號(hào)性;

(6),初等函數(shù)的連續(xù)性.作業(yè)P80:1,2,3,4,5,6,7.

(4),反函數(shù)的連續(xù)性;

(5),復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性;小結(jié)(1),連續(xù)函數(shù)的局部有界性;(3),45§3

閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性§3閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性46一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x0I使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)

最大值與最小值舉例:

函數(shù)f(x)=1+sinx在區(qū)間[02p]上有最大值2和最小值0一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值最大值與最小值舉例47

函數(shù)y=sgnx在區(qū)間(-

+)內(nèi)有最大值1和最小值-1但在開區(qū)間(0

+)內(nèi)它的最大值和最小值都是1

最大值與最小值舉例:一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x0I使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)

函數(shù)y=sgnx在區(qū)間(-+)內(nèi)48

并非任何函數(shù)都有最大值和最小值

例如，函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a

b)內(nèi)既無最大值又無最小值

應(yīng)注意的問題:一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x0I使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)

并非任何函數(shù)都有最大值和最小值應(yīng)注意的問49說明:定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

又至少有一點(diǎn)x2[a

b]使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一點(diǎn)x1[a

b]使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理說明如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)那么說明:定理1(最大值和最小值定理)又至少有一點(diǎn)x2[a50應(yīng)注意的問題:

如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值

例如函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a

b)內(nèi)既無最大值又無最小值

定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

應(yīng)注意的問題:例如函數(shù)f(x)=x在開區(qū)51又如如下函數(shù)在閉區(qū)間[02]內(nèi)既無最大值又無最小值

應(yīng)注意的問題:

如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值

定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

又如如下函數(shù)在閉區(qū)間[02]應(yīng)注意的52定理2(有界性定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界

證明設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

根據(jù)定理1存在f(x)在區(qū)間[a

b]上的最大值M和最小值m使任一x[a

b]滿足mf(x)M

上式表明

f(x)在[a

b]上有上界M和下界m

因此函數(shù)f(x)在[a

b]上有界

定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

定理2(有界性定理)證明設(shè)函數(shù)f(x)在53二、零點(diǎn)定理與介值定理注:

如果x0使f(x0)=0則x0稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)

定理3(零點(diǎn)定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少一點(diǎn)x使f(x)=0二、零點(diǎn)定理與介值定理注:定理3(零點(diǎn)定理)54

例1

證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個(gè)根

證明設(shè)f(x)=x3-4x2+1則f(x)在閉區(qū)間[01]上連續(xù)

并且f(0)=1>0

f(1)=-2<0

根據(jù)零點(diǎn)定理在(01)內(nèi)至少有一點(diǎn)x

使得f(x)=0

即x3-4x2+1=0

這說明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個(gè)根是x

二、零點(diǎn)定理與介值定理定理3(零點(diǎn)定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少一點(diǎn)x使f(x)=0例1證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(55定理4(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)且f(a)f(b)那么對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x使得f(x)=C>>>二、零點(diǎn)定理與介值定理定理3(零點(diǎn)定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少一點(diǎn)x使f(x)=0定理4(介值定理)二、零點(diǎn)定理與介值定理定理3(零點(diǎn)定理)56二、零點(diǎn)定理與介值定理定理3(零點(diǎn)定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少一點(diǎn)x使f(x)=0推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值

定理4(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)且f(a)f(b)那么對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x使得f(x)=C二、零點(diǎn)定理與介值定理定理3(零點(diǎn)定理)推論定理4(介值57小結(jié)

(1),最大值與最小值定理;

(3),零點(diǎn)定理;

(2),有界性定理;

(4),介值定理.作業(yè)P81:9,10,12,13,14,15,17,18.小結(jié)(1),最大值與最小值定理;(3),58

§1連續(xù)性概念

§2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

§3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性第四章函數(shù)的連續(xù)性59§1連續(xù)性概念第四章函數(shù)的連續(xù)性§1連續(xù)性概念第四章函數(shù)的連續(xù)性60解：

1、

y12021x2、

(1,2)從圖象上看，在處“連續(xù)”，在處“間斷”。2、，1、

引例求下列函數(shù)在處的函數(shù)值和極限，并作出圖象。圖象：

圖象：

yx01122(1,2)解：1、y12021x2、(1,2)從圖象上看，61函數(shù)的連續(xù)性

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義稱Dy=f(x0+Dx)-f(x0)為函數(shù)y的增量

在鄰域U(x0)內(nèi)若自變量x從初值x0變到終值x1

則稱Dx=x1-x0為自變量x的增量

DxDy函數(shù)的增量

函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一62函數(shù)的改變量（增量）

設(shè)有函數(shù)，在函數(shù)定義域內(nèi)，當(dāng)從變到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地從變到稱為函數(shù)在處的改變量（增量）。

當(dāng)變量由初值變到終值時(shí)，稱終值與初值的差為變量的改變量（增量），記為，即一、函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的改變量（增量）設(shè)有函數(shù)63那么稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，點(diǎn)稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性

定義

如果

（1）函數(shù)在處及其近旁有定義；（2）存在；

（3）2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性定義如果（1）函數(shù)64提示:設(shè)x=x0+Dx則當(dāng)Dx0時(shí)

xx0因此

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

Dy=f(x0+Dx)-f(x0)

2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性

提示:設(shè)x=x0+Dx則當(dāng)Dx0時(shí)xx0因此65討論:如何用e-d語(yǔ)言敘述函數(shù)的連續(xù)性定義？e>0

d>0當(dāng)|x-x0|<d有|f(x)-f(x0)|<e提示:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性

討論:e>0d>0當(dāng)|x-x0|<d66左連續(xù)與右連續(xù)結(jié)論

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義如果那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性

左連續(xù)與右連續(xù)結(jié)論函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x067（2）函數(shù)的左連續(xù)、右連續(xù)：設(shè)函數(shù)在處及其左（或右）近旁有定義，如果（或），那么稱函數(shù)在左連續(xù)（或右連續(xù)）。（1）如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。3、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性

如果在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在右端點(diǎn)處左連續(xù)，在左端點(diǎn)處右連續(xù)，那么稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線。（2）函數(shù)的左連續(xù)、右連續(xù)：設(shè)函數(shù)68

函數(shù)y=sinx在區(qū)間(-+)內(nèi)是連續(xù)的

這是因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx在(-+)內(nèi)任意一點(diǎn)x處有定義并且

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)連續(xù)函數(shù)舉例3、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性函數(shù)y=sinx在區(qū)間(-+69例1、設(shè)，求適合下列條件的函數(shù)的改變量（增量）。（1）由1變到1.2（2）由1變到0.8（3）由1變到（2）

（3）

解：

（1）

例1、設(shè)70練習(xí)1、

求函數(shù)，當(dāng)，時(shí)的改變量。解：的初值為1，終值為1.5練習(xí)1、求函數(shù)71例2

討論函數(shù)

在處的連續(xù)性，并作出函數(shù)的圖象。解：

根據(jù)定義的三個(gè)步驟進(jìn)行驗(yàn)證：（1）的定義域是，故在及其附近有定義，;（2）

所以

（3）

因此在處連續(xù)。

x04123-1-2123y

符合定義的三個(gè)步驟。

例2討論函數(shù)在處的連72在處連續(xù)。例3

適當(dāng)選取的值，使函數(shù)解：（1）的定義域是，在及其附近有定義。（2）即，此時(shí)欲使在處連續(xù)，須有（3）所以時(shí)，在處連續(xù)。在處連續(xù)。例3適當(dāng)選73練習(xí)2用定義討論函數(shù)在處的連續(xù)性并作圖。解：由定義的三個(gè)步驟進(jìn)行驗(yàn)證：（1）（2）所以，（3）函數(shù)在處連續(xù)。1-1xy0練習(xí)2用定義討論函數(shù)在74二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

如果函數(shù)在處不連續(xù)，那么稱函數(shù)在處是間斷的，并稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。

由函數(shù)在處連續(xù)的定義知，當(dāng)函數(shù)有下列三種情形之一時(shí)，函數(shù)在處間斷。（1）在近旁有定義，但在處沒有定義。（2）雖在處有定義，但不存在。（3）雖在處有定義，且存在，但定理1基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)如果函數(shù)75

通常把間斷點(diǎn)分成兩類設(shè)

x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)如果左極限f(x0-)及右極限f(x0+)都存在那么x0稱為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)

不屬于第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)

在第一類間斷點(diǎn)中左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的類型注:.)(,)()(,)(lim0000的可去間斷點(diǎn)為則稱或有定義但無定義在點(diǎn)而若xfxAxf，xxfAxfxx1=?不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)

注:.)(),(lim)(lim,,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)則稱點(diǎn)但右極限都存在的左在點(diǎn)若函數(shù)xfxxfxfxxfxxxx-+??1無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二間斷點(diǎn)通常把間斷點(diǎn)分成兩類間斷點(diǎn)的類型注:.)76（2）函數(shù)在處有定義，但不存在。所以，是該函數(shù)的間斷點(diǎn)。例如：（1）函數(shù)在處無定義所以是該函數(shù)的間斷點(diǎn)。2-22yx01-1xy0（2）函數(shù)77(3)函數(shù)，在處有定義，

且，但所以是該函數(shù)的間斷點(diǎn)。xy101(3)函數(shù)78間斷點(diǎn)舉例

例1

間斷點(diǎn)舉例例179

例2

當(dāng)x0時(shí)函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無限多次

所以點(diǎn)x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn)

所以點(diǎn)x=0稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)

間斷點(diǎn)舉例例2當(dāng)x0時(shí)函數(shù)80所以點(diǎn)x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)

如果補(bǔ)充定義令x=1時(shí)y=2則所給函數(shù)在x=1成為連續(xù)所以x=1稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)

例3

間斷點(diǎn)舉例所以點(diǎn)x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)如果補(bǔ)充定義令x=1時(shí)y81所以x=1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)

如果改變函數(shù)f(x)在x=1處的定義令f(1)=1則函數(shù)在x=1成為連續(xù)所以x=1也稱為此函數(shù)的可去間斷點(diǎn)

例4

間斷點(diǎn)舉例所以x=1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)如果改變82因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象我們稱x=0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)

例5

間斷點(diǎn)舉例因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象83例4

已知函數(shù)問函數(shù)有無間斷點(diǎn)。解：點(diǎn)處可能間斷，分三步驗(yàn)證。（1）在及其附近有定義，且（2）不存在所以，函數(shù)在處間斷。三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、定理：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。2、由函數(shù)連續(xù)的定義，如果函數(shù)在處連續(xù)，有3、分段函數(shù)只可能在分段點(diǎn)處間斷。例4已知函數(shù)84例5

求解：設(shè)因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)椋鶕?jù)初等函數(shù)連續(xù)性的定理得到函數(shù)在處連續(xù)，例5求解：設(shè)85練習(xí)3

討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性。（1）在處（2）在處解：，解：所以，在處連續(xù)所以，不存在，在處間斷。練習(xí)3討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性。（186

求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)（3）（4）解：為初等函數(shù)，在定義域內(nèi)連續(xù)，，定義域?yàn)殚g斷點(diǎn)為解：不是初等函數(shù)，分段點(diǎn)且因?yàn)樗裕谔庨g斷。求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)（3）（4）解：為初等87

（5）求極限解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，函數(shù)定義域?yàn)樗裕?）求極限解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，函數(shù)88小結(jié)

(1),函數(shù)的連續(xù)性;

(3),函數(shù)的間斷點(diǎn);

(2),函數(shù)左連續(xù)與右連續(xù);

(4),初等函數(shù)的連續(xù)性.作業(yè)P73:2,3,4,5,6,7.小結(jié)(1),函數(shù)的連續(xù)性;(3),函數(shù)的89

§2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性§2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性90定理1(局部有界性)定理2(局部保號(hào)性)內(nèi)有界在則連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù));()(,)(00dxUxfxxf).)(()();(),;()),(0()(0)0)((0)(,)(0000000rxfrxfxUxxUxfrxfrxfxfxxf-<>?"$-<<<<"<>或有使得或則或且連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù)dd一、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(局部有界性)定理2(局部保號(hào)性)內(nèi)有91定理3設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)則函數(shù)在點(diǎn)x0也連續(xù)

例1

因?yàn)閟inx和cosx都在區(qū)間(-

+)內(nèi)連續(xù)所以tanx和cotx在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的三角函數(shù)sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在其有定義的區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的(連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算法則)定理3設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連92定理4如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)那么它的反函數(shù)xf1(y)在區(qū)間Iy{y|yf(x)xIx}上也是單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)的所以它的反函數(shù)y=arcsinx在區(qū)間[-11]上也是連續(xù)的

例2

同樣y=arccosx在區(qū)間[-11]上是連續(xù)的

y=arctanx在區(qū)間(-

+)內(nèi)是連續(xù)的

y=arccotx在區(qū)間(-

+)內(nèi)是連續(xù)的(反函數(shù)的連續(xù)性)定理4如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(93反三角函數(shù)arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的定理4如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)那么它的反函數(shù)xf1(y)在區(qū)間Iy{y|yf(x)xIx}上也是單調(diào)增加(或減少)且連續(xù)的所以它的反函數(shù)y=arcsinx在區(qū)間[-11]上也是連續(xù)的

例2

(反函數(shù)的連續(xù)性)反三角函數(shù)arcsinx、arccosx94注:(1)把定理中的xx0換成x可得類似的定理提示:定理5

例3

解

設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成

(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)注:(1)把定理中的xx0換成x可95設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成U(x0)Dfog若函數(shù)ug(x)在點(diǎn)x0連續(xù)函數(shù)yf(u)在點(diǎn)u0g(x0)連續(xù)則復(fù)合函數(shù)yf[j(x)]在點(diǎn)x0也連續(xù)定理5’定理5設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成

(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)yf[g(x)]由函數(shù)yf(u)與96sinu當(dāng)-<u<+時(shí)是連續(xù)的

例4

解內(nèi)是連續(xù)的

sinu當(dāng)-<u<+時(shí)是連續(xù)的97二、初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論

基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的注:

所謂定義區(qū)間就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間二、初等函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論注:98

例6

例5

解

解

利用連續(xù)性求極限舉例例6例599

例7

令a

x-1=t

解

則x=log

a(1+t)

x0時(shí)t0于是利用連續(xù)性求極限舉例例7令ax-1=t解100例8

求解：設(shè)因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)?，而根?jù)初等函數(shù)連續(xù)性的定理得到函數(shù)在處連續(xù)，例8求解：設(shè)101例9求極限解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，函數(shù)定義域?yàn)樗?，?求極限解：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，102小結(jié)

(1),連續(xù)函數(shù)的局部有界性;

(3),四則運(yùn)算法則;

(2),局部保號(hào)性;

(6),初等函數(shù)的連續(xù)性.作業(yè)P80:1,2,3,4,5,6,7.

(4),反函數(shù)的連續(xù)性;

(5),復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性;小結(jié)(1),連續(xù)函數(shù)的局部有界性;(3),103§3

閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性§3閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第四章函數(shù)的連續(xù)性104一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x0I使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)

最大值與最小值舉例:

函數(shù)f(x)=1+sinx在區(qū)間[02p]上有最大值2和最小值0一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值最大值與最小值舉例105

函數(shù)y=sgnx在區(qū)間(-

+)內(nèi)有最大值1和最小值-1但在開區(qū)間(0

+)內(nèi)它的最大值和最小值都是1

最大值與最小值舉例:一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x0I使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)

函數(shù)y=sgnx在區(qū)間(-+)內(nèi)106

并非任何函數(shù)都有最大值和最小值

例如，函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a

b)內(nèi)既無最大值又無最小值

應(yīng)注意的問題:一、有界性與最大值最小值定理最大值與最小值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x0I使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值)

并非任何函數(shù)都有最大值和最小值應(yīng)注意的問107說明:定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

又至少有一點(diǎn)x2