中考數(shù)學復習32矩形菱形正方形-精講版課件

第32課時矩形、菱形、正方形復習指南［學生用書P24］本課時復習主要解決下列問題.1.菱形的概念以及性質(zhì)與判定此內(nèi)容為本課時的重點.為此設計了［歸類探究］中的例1,例2；［限時集訓］中的第1，2，7，12題.2.矩形的概念以及性質(zhì)與判定此內(nèi)容為本課時的重點.為此設計了［歸類探究］中的例3；［限時集訓］中的第3，5，6，8題.3.正方形的概念以及性質(zhì)與判定此內(nèi)容為本課時的重點.為此設計了［歸類探究］中的例4（包括預測變形1，2）；［限時集訓］中的第9，10題.4.特殊四邊形的綜合運用此內(nèi)容為本課時的難點.為此設計了［歸類探究］中的例5；［限時集訓］中的第4,11，13題（包括預測變形1，2，3）.考試管理［學生用書P24］1.矩形定義：有一個角是 的平行四邊形叫做矩形.性質(zhì)：（1）矩形的四個角是 ；（2）矩形的對角線 .注意：（1）矩形的定義可作為性質(zhì)；（2）平行四邊形的所有性質(zhì)矩形都具備.判定：（1）有三個角是直角的四邊形是 ；（2）對角線相等的平行四邊形是 .注意：矩形的定義可作為判定.證明方法：（1）先證明一個四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角是直角；（2）先證明一個四邊形是平行四邊形，再證明它的對角線相等.直角直角相等且互相平分

矩形矩形2.菱形定義:有一組鄰邊 的平行四邊形是菱形.性質(zhì)：（1）菱形的四條邊 ；（2）菱形的對角線 ，并且每一條對角線

.注意：（1）菱形的定義可作為性質(zhì)；（2）平行四邊形的所有性質(zhì)菱形都具備；（3）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有 條對稱軸.判定：（1）四條邊都相等的四邊形是 ；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是 .

相等相等互相垂直平分平分一組對角兩菱形

菱形注

意：（1）菱形的定義可作為判定；

（2）對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形.證明方法：（1）先證明一個四邊形是平行四邊形，再證明它的一組 鄰邊相等或者對角線互相垂直；

（2）可以證明一個四邊形的四條邊相等.面

積：（1）可用平行四邊形的面積計算公式，即底×高；

（2）兩條對角線乘積的一半，即若菱形的兩條對角線長

為a和b，則 3.正方形定

義：有一組鄰邊

相等

且有一個角是

直角

的平行四邊形叫做正方形.注

意：（1）正方形既是有一組鄰邊相等的

，又是有一個角是直 角的

；

（2）正方形不僅是特殊的平行四邊形，又是特殊的矩形、菱形.正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關系如圖32-1：性

質(zhì)：（1）正方形的四條邊都

，四個角都是

；

（2）正方形的對角線

，并且互相

，每一條對 角線

.注

意：（1）平行四邊形、矩形和菱形的所有性質(zhì)正方形都具備；矩形菱形相等直角

相等

垂直平分平分一組對角（2）正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有四條對稱軸，對稱中心是對角線的交點.判

定：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

（2）有一個角是直角的菱形是正方形；

（3）四邊都相等，四個角都相等的四邊形是正方形；

（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；

（5）對角線相等的菱形是正方形；

（6）對角線相等，且互相垂直平分的四邊形是正方形.注

意：正方形的定義可作為判定.證明方法：判定一個四邊形是正方形可以先判定它是一個平行四邊形，再判定它是矩形或是菱形，然后再證明它是正方形.歸類探究［學生用書P24］類型之一

菱形的性質(zhì)與判定［2010·益陽］如圖32-2，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O為對角線BD的中點，過O點作OE⊥AB，垂足為E．

(1)求∠ABD的度數(shù)；(2)求線段BE的長．【解析】（1）由菱形四邊相等可得等邊三角形ABD；（2）由（1）知EB=12OB=14AB.

解：（1）

在菱形ABCD中,AB=AD，∠A=60°,

∴△ABD為等邊三角形,∴∠ABD=60°.(2)由（1）可知BD=AB=4.

又∵O為BD的中點,∴OB=2.

又∵OE⊥AB,∠ABD=60°，

∴∠BOE=30°,∴BE=1.【點悟】菱形的四邊相等，有一個角是60°的菱形可以被一條對角線

分成兩個等邊三角形.［2010·安徽］如圖32-3，AD∥FE，點B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.（1）求證：四邊形BCEF是菱形；（2）若AB＝BC＝CD，求證：△ACF≌△BDE.【解析】（1）運用一組對邊平行且相等證BCEF,再由BF=BC證明

它是菱形；

（2）由平行四邊形的對邊相等，依“SSS”可證△ACF≌△BDE.證明：(1)∵AD∥FE，∴∠FEB=∠2.∵∠1=∠2,∴∠FEB=∠1,∴BF=EF.∵BF=BC,∴BC=EF.∴四邊形BCEF是平行四邊形.∵BF=BC,∴四邊形BCEF是菱形.（2）∵EF=BC=AB=CD，AD∥FE，∴四邊形ABEF、四邊形CDEF均為平行四邊形，∴AF=BE，F(xiàn)C=ED.又∵AC=2BC=BD，∴△ACF≌△BDE.【點悟】證明一個四邊形是菱形的一般方法是：（1）四邊相等；（2）首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等；（3）對角線互相垂直平分；（4）對角線垂直的平行四邊形等.類型之二

矩形的性質(zhì)與判定［2010·聊城］如圖32-4，在等邊△ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊△ADE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點F，連接CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．【解析】(1)由等邊三角形的“三線合一”求解；

（2）先證AFCE,再由∠CFA=90°,得證.解：（1）在等邊△ABC中，∵點D是BC邊的中點，

∴∠DAC＝30°.

又∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60°，

∴∠CAE＝30°.（2）證明：在等邊△ABC中，∵F是AB邊的中點，D是BC邊的中點，∴CF＝AD，∠CFA＝90°.又∵AD＝AE，∴AE＝CF.由（1）知∠CAE＝30°，∴∠EAF＝60°+30°＝90°，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE.∵AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵∠CFA＝90°，∴四邊形AFCE是矩形．

【點悟】證明一個四邊形是矩形，一般常用的方法是：（1）有三個角是直角的四邊形；（2）有一個角是直角的平行四邊形；（3）對角線相等的平行四邊形等.類型之三

正方形的性質(zhì)與判定［2011·預測題］如圖32-5，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上任意一點，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.求證：AF-BF=EF.證明:∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠BAD=90°.∵DE⊥AG,∴∠DEG=∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°.又∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF.∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEG=∠AED=90°.因此△ABF≌△DAE,∴BF=AE，故AF-BF=AF-AE=EF.預測理由正方形含有很多相等的邊和角，從小學一直貫穿到現(xiàn)在，在題目的形式上有更深更廣地挖掘，屬于中考必考內(nèi)容.［預測變形1］［2010·云南］如圖32-6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一點（G與B、C兩點不重合），E、F是AG上的兩點（E、F與A、G兩點不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，請判斷線段DE與BF有怎樣的位置關系，并證明你的結(jié)論.【解析】通過證△ABF≌△DAE，明顯推出DE∥BF.解：根據(jù)題目條件可判斷DE∥BF.證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°.∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF,∴AE=BF.∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BFA=∠AED，∴∠BFA=∠DEF=90°，∴DE∥BF.［預測變形2］［2010·重慶］如圖32-7,四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）證明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的長.【解析】（1）利用互余角和正方形邊長相等證明；（2）將AE轉(zhuǎn)化到DF上，求AF和DF即可.解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD.在△ABE和△DAF中，∠2=∠1，AB=DA，∠4=∠3，∴△ABE≌△DAF.（2）∵四邊形ABCD是正方形,∴∠1+∠4=90°.∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90°,∴∠AFD=90°.

在正方形ABCD中，AD∥BC,∴∠1=∠AGB=30°.在Rt△ADF中，∠AFD=90°,AD=2，∴AF=3,DF=1.由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=3-1.【點悟】正方形中含有很多相等的邊和角，這些相等的邊和角是證明全等的有力工具.類型之四矩形、菱形、正方形等的綜合運用［2009·襄樊］如圖32-8所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.將Rt△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，點E在AC上，再將Rt△ABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180°得到△ABF.連接AD.（1）求證：四邊形AFCD是菱形；（2）連接BE并延長交AD于G，連接CG，請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形？為什么？【解析】(1)證△AFC和△ADC均為等邊三角形.(2)關鍵是證明四邊形ABCG是平行四邊形,加上AB⊥BC，構(gòu)成矩形.解：(1)證明:∵Rt△DEC是由Rt△ABC繞C點旋轉(zhuǎn)60°得到,∴AC=DC,∠ACB=∠ACD=60°,∴AD=DC=AC.又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直線翻轉(zhuǎn)180°得到,∴AC=AF,∠ABF=∠ABC=90°,∴∠FBC是平角，∴點F、B、C三點共線.∵∠F=∠ACB=60°,∴AF=FC=AC.