湖南益陽箴言中學2023學年高三3月份第一次模擬考試數學試卷（含解析）

2023學年高考數學模擬測試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面平面，且是正方形，在正方形內部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．2．已知等差數列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．143．己知全集為實數集R，集合A={x|x2+2x-8>0}，B={x|log2x<1}，則等于（）A．[4,2] B．[4,2) C．(4,2) D．(0,2)4．下列結論中正確的個數是（）①已知函數是一次函數，若數列通項公式為，則該數列是等差數列；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．05．已知是函數圖象上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（）A． B． C．0 D．6．明代數學家程大位（1533~1606年），有感于當時籌算方法的不便，用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題．執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．7．已知實數滿足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．08．把函數圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．9．閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，程序運行輸出的結果是（）A．1 B．1 C．9 D．810．設i為虛數單位，若復數，則復數z等于()A． B． C． D．011．設是定義域為的偶函數，且在單調遞增，，則（）A． B．C． D．12．在等腰直角三角形中，，為的中點，將它沿翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是拋物線上一點，是圓關于直線對稱的曲線上任意一點，則的最小值為________．14．設，滿足約束條件，若的最大值是10，則________.15．已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則_________．16．在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為，則實數a的值為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的內角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長的最小值.18．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（ⅠⅠ）求直線與平面所成的角的正弦值.19．（12分）如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．（1）求橢圓的標準方程；（2）設、是橢圓上位于直線同側的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關系，并求證直線的斜率為定值.20．（12分）已知數列滿足：對任意，都有.（1）若，求的值；（2）若是等比數列，求的通項公式；（3）設，，求證：若成等差數列，則也成等差數列.21．（12分）在平面直角坐標系中，點，直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點，當時，求的值．22．（10分）在平面直角坐標系中，點是直線上的動點，為定點，點為的中點，動點滿足，且，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線交曲線于，兩點，為曲線上異于，的任意一點，直線，分別交直線于，兩點.問是否為定值？若是，求的值；若不是，請說明理由.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】

根據與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，由此求得點的軌跡長度.【題目詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示，則，，設（點在第一象限內），由得，即，化簡得，由于點在第一象限內，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點的軌跡長度為.故選：C【答案點睛】本小題主要考查線面角的概念和運用，考查動點軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.2、A【答案解析】

設等差數列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【題目詳解】設等差數列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【答案點睛】本題主要考查了等差數列的基本量求解,屬于基礎題.3、D【答案解析】

求解一元二次不等式化簡A，求解對數不等式化簡B，然后利用補集與交集的運算得答案.【題目詳解】解：由x2+2x-8>0，得x＜-4或x＞2，

∴A={x|x2+2x-8>0}＝{x|x＜-4或x＞2}，

由log2x<1，x＞0，得0＜x＜2，

∴B={x|log2x<1}＝{x|0＜x＜2}，

則，

∴.

故選：D.【答案點睛】本題考查了交、并、補集的混合運算，考查了對數不等式，二次不等式的求法，是基礎題.4、B【答案解析】

根據等差數列的定義，線面關系，余弦函數以及基本不等式一一判斷即可；【題目詳解】解：①已知函數是一次函數，若數列的通項公式為，可得為一次項系數），則該數列是等差數列，故①正確；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯誤；③在中，，而余弦函數在區(qū)間上單調遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯誤；④若，則，所以，當且僅當時取等號，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個；故選：B【答案點睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數列的求和公式、等差數列的定義和不等式的性質，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．5、C【答案解析】

先畫出函數圖像和圓，可知，若設，則，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若設圓的圓心為，則，所以只要取得最小值，若設，則，然后構造函數，利用導數求其最小值即可.【題目詳解】記圓的圓心為，設，則，設，記，則，令，因為在上單調遞增，且，所以當時，；當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以（當時等號成立）.故選：C【答案點睛】此題考查的是兩個向量的數量積的最小值，利用了導數求解，考查了轉化思想和運算能力，屬于難題.6、C【答案解析】

根據程序框圖依次計算得到答案.【題目詳解】，；，；，；，；，此時不滿足，跳出循環(huán)，輸出結果為，由題意，得．故選:【答案點睛】本題考查了程序框圖的計算，意在考查學生的理解能力和計算能力.7、B【答案解析】

作出可行域，平移目標直線即可求解.【題目詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經過點時，其截距最大，此時最大得，當時，故選：B【答案點睛】考查線性規(guī)劃，是基礎題.8、D【答案解析】

試題分析：把函數圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），可得的圖象；再將圖象向右平移個單位，可得的圖象，那么所得圖象的一個對稱中心為，故選D.考點：三角函數的圖象與性質.9、C【答案解析】

根據程序框圖的模擬過程，寫出每執(zhí)行一次的運行結果，屬于基礎題.【題目詳解】初始值，第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，；第四次循環(huán)：，；第五次循環(huán)：，；第六次循環(huán)：，；第七次循環(huán)：，；第九次循環(huán)：，；第十次循環(huán)：，；所以輸出.故選：C【答案點睛】本題考查了循環(huán)結構的程序框圖的讀取以及運行結果，屬于基礎題.10、B【答案解析】

根據復數除法的運算法則，即可求解.【題目詳解】.故選:B.【答案點睛】本題考查復數的代數運算，屬于基礎題.11、C【答案解析】

根據偶函數的性質，比較即可.【題目詳解】解：顯然，所以是定義域為的偶函數，且在單調遞增，所以故選：C【答案點睛】本題考查對數的運算及偶函數的性質，是基礎題.12、D【答案解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據幾何關系，求外接球的半徑.【題目詳解】中，易知，翻折后,，，設外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【答案點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，比如三條側棱兩兩垂直的三棱錐，或是構造直角三角形法，確定球心的位置，構造關于外接球半徑的方程求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

由題意求出圓的對稱圓的圓心坐標，求出對稱圓的圓坐標到拋物線上的點的距離的最小值，減去半徑即可得到的最小值.【題目詳解】假設圓心關于直線對稱的點為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設，則，又，所以，，即，所以，故答案為：.【答案點睛】該題考查的是有關動點距離的最小值問題，涉及到的知識點有點關于直線的對稱點，點與圓上點的距離的最小值為到圓心的距離減半徑，屬于中檔題目.14、【答案解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數形結合即可容易求得結果.【題目詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：目標函數可轉化為與直線平行，數形結合可知當且僅當目標函數過點，取得最大值，故可得，解得.故答案為：.【答案點睛】本題考查由目標函數的最值求參數值，屬基礎題.15、【答案解析】

由題意可得，又由于為的中點，且點在軸上，所以可得點的橫坐標，代入拋物線方程中可求點的縱坐標，從而可求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結果.【題目詳解】解：因為是拋物線的焦點，所以，設點的坐標為，因為為的中點，而點的橫坐標為0，所以，所以，解得，所以點的坐標為所以，故答案為：【答案點睛】此題考查拋物線的性質，中點坐標公式，屬于基礎題.16、3【答案解析】

設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0），聯立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【題目詳解】設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標（0，1），∴B的坐標為（，k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S.∵t2，∴S△ABC.當且僅當，即t時，△ABC的面積S有最大值為.解之得a＝3或a.∵a時，t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.【答案點睛】本題考查了橢圓內三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【答案解析】

（1）因為，所以，由余弦定理得，化簡得，可得，解得，又因為，所以.（6分）（2）因為，所以，則（當且僅當時，取等號）.由（1）得（當且僅當時，取等號），解得.所以（當且僅當時，取等號），所以的周長的最小值為.18、(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)．【答案解析】試題分析：（Ⅰ）連接交于，得，所以面，又，得面，即可利用面面平行的判定定理，證得結論；（Ⅱ）如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，求的平面的一個法向量，利用向量和向量夾角公式，即可求解與平面所成角的正弦值．試題解析：（Ⅰ）連接BD交AC于O，易知O是BD的中點，故OG//BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以OG//面BEF；又EF//AC，AC在面BEF外，AC//面BEF，又AC與OG相交于點O，面ACG有兩條相交直線與面BEF平行，故面ACG∥面BEF；（Ⅱ）如圖，以O為坐標原點，分別以OC、OD、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設面ABF的法向量為，依題意有，，令，，，，，直線AD與面ABF成的角的正弦值是．19、（1）；（2）詳見解析.【答案解析】試題分析：（1）利用題中條件先得出的值，然后利用條件，結合橢圓的對稱性得到點的坐標，然后將點的坐標代入橢圓方程求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件得到直線與的斜率直線的關系（互為相反數），然后設直線的方程為，將此直線的方程與橢圓方程聯立，求出點的坐標，注意到直線與的斜率之間的關系得到點的坐標，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把點代入橢圓方程，求得，所以橢圓方程為；（2）由題易得直線、斜率均存在，又，所以，設直線代入橢圓方程，化簡得，其一解為，另一解為，可求，用代入得，，為定值.考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.兩點間連線的斜率20、（1）3；（2）；（3）見解析.【答案解析】

（1）依據下標的關系，有，，兩式相加，即可求出；（2）依據等比數列的通項公式知，求出首項和公比即可。利用關系式，列出方程，可以解出首項和公比；（3）利用等差數列的定義，即可證出?！绢}目詳解】（1）因為對任意，都有，所以，，兩式相加，，解得；（2）設等比數列的首項為，公比為，因為對任意，都有，所以有，解得，又，即有，化簡得，，即，或，因為，化簡得，所以故。（3）因為對任意，都有，所以有，成等差數列，設公差為，，，，，由等差數列的定義知，也成等差數列。【答案點睛】本題主要考查等差、等比數列的定義以及賦值法的應用，意在考查學生的邏輯推理，數學建模，綜合運用數列知識的能力。21、（1）；（2）.【答案解析】

（1）在已知極坐標方程兩邊同時乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsin