生活中的幾何

生活中的幾何“幾何”這個(gè)詞在漢語里是“多少？”的意思，但在數(shù)學(xué)里“幾何”的涵義就完全不同了?！皫缀巍边@個(gè)詞的詞義來源于希臘文，原意是土地測量，或叫測地術(shù)。幾何是人們對現(xiàn)實(shí)世界思維的抽象圖形化表示。它在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用有很多。比如水桶總是圓柱形的，這個(gè)是考慮到在同樣條件下圓柱形的體積更大，可以裝更多的水，而且可以讓桶的邊緣受力均勻。再比如你看艦艇上的海軍一般是張開雙腿，手背向后站著，這是因?yàn)槿藦堥_雙腿后和地面加起來組成一個(gè)三角形，而三角形的穩(wěn)定性是最好的。再說人們吃飯時(shí)，尤其是大型家宴，用的桌子一般是圓的，因?yàn)樵诿娣e一定時(shí)，只有圓的周長最大，一張桌子可以容納的人也就最多。再說人在出行時(shí)吧，你總是抬一只腳就放下一只腳，不會(huì)兩個(gè)腳同時(shí)抬起與放下，因?yàn)樘б恢荒_就放下一只腳相當(dāng)于人的下半身與地面總是構(gòu)成三角形可以輕易地穩(wěn)定自己，而你在跳時(shí)很費(fèi)勁而且容易摔跤，因?yàn)槟菚r(shí)你整個(gè)人相對于地面就一條直線，沒有穩(wěn)定性。幾何學(xué)和算術(shù)一樣產(chǎn)生于實(shí)踐，也可以說幾何產(chǎn)生的歷史和算術(shù)是相似的。在遠(yuǎn)古時(shí)代，人們在實(shí)踐中積累了十分豐富的各種平面、直線、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概念，并且逐步認(rèn)識(shí)了這些概念之間、它們以及它們之間位置關(guān)系跟數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，這些后來就成了幾何學(xué)的基本概念。正是生產(chǎn)實(shí)踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識(shí)。雖然這些知識(shí)是零散的，而且大多數(shù)是經(jīng)驗(yàn)性的，但是幾何學(xué)就是建立在這些零散、經(jīng)驗(yàn)性的、粗淺的幾何知識(shí)之上的。幾何學(xué)是數(shù)學(xué)中最古老的分支之一，也是在數(shù)學(xué)這個(gè)領(lǐng)域里最基礎(chǔ)的分支之一。古代中國、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學(xué)的重要發(fā)源地。大量出土文物證明，在我國的史前時(shí)期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知識(shí)，看一看遠(yuǎn)古時(shí)期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪制，一些簡單設(shè)計(jì)但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當(dāng)時(shí)人們掌握的幾何知識(shí)是多么豐富了。幾何之所以能成為一門系統(tǒng)的學(xué)科，希臘學(xué)者的工作曾起了十分關(guān)鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業(yè)繁榮，生產(chǎn)比較發(fā)達(dá)，一批學(xué)者熱心追求科學(xué)知識(shí)，研究幾何就是最感興趣的內(nèi)容，在這里應(yīng)當(dāng)提及的是哲學(xué)家、幾何學(xué)家柏拉圖和哲學(xué)家亞里士多德對發(fā)展幾何學(xué)的貝獻(xiàn)。柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識(shí)受邏輯學(xué)的指導(dǎo)逐步趨向于系統(tǒng)和嚴(yán)密的方向發(fā)展。柏拉圖在雅典給他的學(xué)生講授幾何學(xué)，已經(jīng)運(yùn)用邏輯推理的方法對幾何中的一些命題作了論證。亞里士多德被公認(rèn)是邏輯學(xué)的創(chuàng)始人，他所提出的“三段論”的演繹推理的方法，對于幾何學(xué)的發(fā)展，影響更是巨大的。到今天，在初等幾何學(xué)中，仍是運(yùn)用三段論的形式來進(jìn)行推理。但是，盡管那時(shí)候已經(jīng)有了十分豐富的幾何知識(shí)，這些知識(shí)仍然是零散的、孤立的、不系統(tǒng)的。真正把幾何總結(jié)成一門具有比較嚴(yán)密理論的學(xué)科的，是希臘杰出的數(shù)學(xué)家歐幾里得。歐幾里得在公元前300年左右，曾經(jīng)到亞歷山大城教學(xué)，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數(shù)學(xué)，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當(dāng)時(shí)所能知道的一切幾何事實(shí)，按照柏拉圖和亞里士多德提出的關(guān)于邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴(yán)密系統(tǒng)的理論，寫成了數(shù)學(xué)史上早期的巨著一一《幾何原本》?！稁缀卧尽返膫ゴ髿v史意義在于，它是用公理法建立起演繹的數(shù)學(xué)體系的最早典范。在這部著作里，全部幾何知識(shí)都是從最初的幾個(gè)假設(shè)除法、運(yùn)用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從《幾何原本》發(fā)表開始，幾何才真正成為了一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)科學(xué)方法的學(xué)科。歐幾里得的《幾何原本》歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術(shù)得里論；最后講述立體幾何的內(nèi)容。從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認(rèn)為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)教科書。屬于《幾何原本》內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或簡稱為歐式幾何?！稁缀卧尽纷钪饕奶厣墙⒘吮容^嚴(yán)格的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理〉《幾何原本》第一卷列有23個(gè)定義，5條公理，5條公設(shè)。（其中最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它引發(fā)了幾何史上最著名的長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何。）這些定義、公理、公設(shè)就是《幾何原本》全書的基礎(chǔ)。全書以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開他的各個(gè)部分的。比如后面出現(xiàn)的每一個(gè)定理都寫明什么是已知、什么是求證。都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明。關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時(shí)候成立的條件，由此達(dá)到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實(shí)開始，逐步的導(dǎo)出要證明的事項(xiàng)；歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此導(dǎo)出和已證明過的事實(shí)相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實(shí)原來命題的結(jié)論是正確的，也稱作反證法。歐幾里得《幾何原本》的誕生在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中具有重要意義。它標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。從歐幾里得發(fā)表《幾何原本》到現(xiàn)在，已經(jīng)過去了兩千多年，盡管科學(xué)技術(shù)日新月異，但是歐幾里得幾何學(xué)仍舊是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的好教材。由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴(yán)密的邏輯演繹方法相結(jié)合的特點(diǎn)，在長期的實(shí)踐中表明，它巳成為培養(yǎng)、提高青、少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學(xué)家從學(xué)習(xí)幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻(xiàn)。少年時(shí)代的牛頓在劍橋大學(xué)附近的夜店里買了一本《幾何原本》，開始他認(rèn)為這本書的內(nèi)容沒有超出常識(shí)范圍，因而并沒有認(rèn)真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標(biāo)幾何”很感興趣而專心攻讀。后來，牛頓于1664年4月在參加特列臺(tái)獎(jiǎng)學(xué)金考試的時(shí)候遭到落選，當(dāng)時(shí)的考官巴羅博士對他說：“因?yàn)槟愕膸缀位A(chǔ)知識(shí)太貧乏，無論怎樣用功也是不行的?！边@席談話對牛頓的震動(dòng)很大。于是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反復(fù)進(jìn)行了深入鉆研，為以后的科學(xué)工作打下了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。近代物理學(xué)的科學(xué)巨星愛因斯坦也是精通幾何學(xué)，并且應(yīng)用幾何學(xué)的思想方法，開創(chuàng)自己研究工作的一位科學(xué)家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時(shí)，特別提到在十二歲的時(shí)候“幾何學(xué)的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容的印象'。后來，幾何學(xué)的思想方法對他的研究工作確實(shí)有很大的啟示。他多次提出在物理學(xué)研究工作中也應(yīng)當(dāng)在邏輯上從少數(shù)幾個(gè)所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中，愛因斯坦就是運(yùn)用這種思想方法，把整個(gè)理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變原理。在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結(jié)到一點(diǎn)，就是提出了幾何學(xué)的'根據(jù)”和它的邏輯結(jié)構(gòu)的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學(xué)，這項(xiàng)工作，前人未曾作到。但是，在人類認(rèn)識(shí)的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學(xué)的“根據(jù)”問題并沒有得到徹底的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線的定義實(shí)際上是用一個(gè)未知的定義來解釋另一個(gè)未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什么作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續(xù)”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個(gè)概念?，F(xiàn)代幾何公理體系人們對《幾何原本》中在邏輯結(jié)果方面存在的一些漏洞、破綻的發(fā)現(xiàn)，正是推動(dòng)幾何學(xué)不斷向前發(fā)展的契機(jī)。最后德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他1899年發(fā)表的《幾何基礎(chǔ)》一書中提出了一個(gè)比較完善的幾何學(xué)的公理體系。這個(gè)公理體系就被叫做希爾伯特公理體。希爾伯特不僅提出了一個(gè)完善的幾何體系，并且還提出了建立一個(gè)公理系統(tǒng)的原則。就是在一個(gè)幾何公理系統(tǒng)中，采取哪些公理，應(yīng)該包含多少條公理，應(yīng)當(dāng)考慮如下三個(gè)方面的問題：第一，共存性（和諧性），就是在一個(gè)公理系統(tǒng)中，各條公理應(yīng)該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。第二，獨(dú)立性，公理體系中的每條公理應(yīng)該是各自獨(dú)立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。第三，完備性，公理體系中所包含的公理應(yīng)該是足夠能證明本學(xué)科的任何新命題。這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學(xué)中的基本對象和它的關(guān)系的研究方法，成了數(shù)學(xué)中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。公理化的方法給幾何學(xué)的研究帶來了一個(gè)新穎的觀點(diǎn)，在公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關(guān)系、性質(zhì)。從公理法的角度看，我們可以任意地用點(diǎn)、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿足公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學(xué)。因此，凡是符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學(xué)，每一個(gè)幾何學(xué)的直觀形象不止只有一個(gè)，而是可能有無窮多個(gè)，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學(xué)的解釋，或者叫做某種幾何學(xué)的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學(xué)的時(shí)候，并不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。就此，幾何學(xué)研究的對象更加廣泛了，幾何學(xué)的含義比歐幾里得時(shí)代更為抽象。這些，都對近代幾何學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響。大量出土文物證明，在我國的史前時(shí)期，人們已經(jīng)掌握了許多幾何的基本知識(shí)，看一看遠(yuǎn)古時(shí)期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪制，一些簡單設(shè)計(jì)但是講究體積和容積比例的器皿，這些都證明了當(dāng)時(shí)人們掌握的幾何知識(shí)是多么豐富，同時(shí)也證明了當(dāng)時(shí)的經(jīng)濟(jì)是相當(dāng)?shù)陌l(fā)達(dá)。幾何在我們的生活中無處不在。幾何性在空間中的意義幾何學(xué)是設(shè)計(jì)師最基本技能和手段設(shè)計(jì)所創(chuàng)造的空間和形體必然表現(xiàn)為幾何形體。幾何形體使用與組合，反應(yīng)各時(shí)代建筑藝術(shù)特征。從古希臘到寧靜、樸素的古羅馬建筑，從多變的、強(qiáng)力度的哥特式建筑到中世紀(jì)，文藝復(fù)興時(shí)期以及后來的巴洛克式、法國古典主義、洛可可等，無不有著明顯的幾何形體，空間也一樣動(dòng)感，怪異?！爱?dāng)古典建筑在變向極致時(shí)，卻慢慢離開了空間最基本的幾何單純性的直率表達(dá)。”[7]現(xiàn)代建筑空間的重大問題必將在幾何學(xué)基礎(chǔ)上加以解決。如圖5)。在空間設(shè)計(jì)的趨勢下，要最大限度地約簡材料，純化表面，去除一切非本質(zhì)的因素，把生命與空間交織在一起。通過極端簡化的形式，可以最大程度地創(chuàng)造平衡，通過單純的形式，將多層次的復(fù)雜的景色展現(xiàn)出來。要取得這樣效果，有必要回到光明與黑暗的互相融合來表現(xiàn)形式的方式，并且豐富空間。幾何大致有三種構(gòu)成關(guān)系：距離關(guān)系；比例、尺度數(shù)學(xué)關(guān)系；組合關(guān)系。在任何設(shè)計(jì)中，體塊的整體性是個(gè)法則，空間尤為重要。幾何體及其組合能給人親切感，這是人類從事社會(huì)生產(chǎn)以來最直覺的體現(xiàn)。此時(shí)讓我想起包豪斯時(shí)期建筑以及室內(nèi)空間、產(chǎn)品的設(shè)計(jì)，是種功能主義和經(jīng)濟(jì)理論主義至上的典范，從某種意義上說喪失了作品個(gè)性。有種強(qiáng)烈的感覺，也希望從平面中去探求空間，平面與空間有某種內(nèi)在聯(lián)系，空間是可以轉(zhuǎn)換的。建筑審美的幾何特性美學(xué)家馬克斯?迪索(MaxDessior)在其所著《美景與藝術(shù)理論》一書中，提出了他自己的藝術(shù)分類體系。在他的藝術(shù)分類表中，建筑被列為自由藝術(shù)一聯(lián)想不明確，不具有現(xiàn)實(shí)形式的藝術(shù)，空間藝術(shù)——靜止的和并列的藝術(shù)以及造型藝術(shù)以空間形象作為效果手段的藝術(shù)。一個(gè)強(qiáng)調(diào)了建筑所具有的空間或體積特性的位置，有的甚至更明確了指出建筑具有內(nèi)在空間的獨(dú)特屬性。如圖(6)。這個(gè)位置是由建筑的社會(huì)功能需求這一基本要素決定的，同時(shí)也顯示了建筑藝術(shù)與其它各門藝術(shù)最重要的區(qū)別，建筑既然具有豐富多彩的內(nèi)部空間結(jié)合，便會(huì)因之產(chǎn)生萬千就幻的外部形體表現(xiàn)，反映在建筑設(shè)計(jì)的各種視圖中，平面圖形，二維或三維的空間形體也好，它們的性質(zhì)和應(yīng)用恰是幾何學(xué)的研究范疇。在建筑歷史的演進(jìn)過程中，曾經(jīng)出現(xiàn)過五花八門的建筑觀，它們對建筑有著不同的解釋，對建筑的發(fā)展起到不同的推動(dòng)作用。譬如，在希臘古典埋藏，哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)首先提出“黃金分割”的理論；意大利晚期文藝復(fù)興時(shí)期的重要建筑理論家中的拉等奧(AadreaPaladio)曾經(jīng)指出：“建筑因而像個(gè)完整的、完全的軀體，它的每一個(gè)器官都和相適應(yīng)......?！碑?dāng)然，發(fā)展到極端形式，則是一個(gè)“完整的，完全的”人像去取代柱子以支撐上部的結(jié)構(gòu)構(gòu)件。因此，從建筑藝術(shù)的角度出發(fā)，以幾何的觀點(diǎn)去對待建筑構(gòu)成，不但完全符合建筑內(nèi)部空間的內(nèi)涵，而且不必介入建筑論戰(zhàn)的是非曲直。因?yàn)榻ㄖ煙o論持何種觀點(diǎn)，他總是無法回避建筑的幾何特性。建筑大師勒?柯布西耶(Lecorbusier)也同樣贊美幾何形體，貶期的現(xiàn)代主義與后現(xiàn)代主義建筑作品中同樣體現(xiàn)強(qiáng)烈?guī)缀蝹€(gè)性。如圖(7)。人們的建筑觀曾經(jīng)并不斷翻新，建筑的幾何特性卻從來不曾被改變。人們可以極其容易地從中辨認(rèn)出各種基本幾何圖形以及它們的組合。約翰波特曼(JohnPortman)的洛杉磯好運(yùn)旅館一一圓形，貝聿銘的華盛頓美國國家美術(shù)館一三角形。對古代建筑的立面構(gòu)圖進(jìn)行分析，試圖去解釋建筑師的立面創(chuàng)作意圖，探求立面中的比例關(guān)系。那些經(jīng)典作品便被選擇作為例證，即如雅漠的中間提濃神病、羅馬的萬神廟、巴黎的凱旋門等。僅僅指出建筑的幾何特性能夠經(jīng)予人們不同于其它各門藝術(shù)的審美感受是不夠的，因?yàn)楦惺鼙旧砑瓤梢允钦娴目隙ǖ?，也可以是反面的否定的兩種相反體驗(yàn)。關(guān)于削弱建筑幾何特性的建筑裝飾建筑裝飾的目的，無非是為了使建筑在人們對其進(jìn)行審美的過程中，能夠給人以審美愉悅。黑格爾曾經(jīng)說過：“建筑首先要適應(yīng)一種需要，而且是一種與藝術(shù)無關(guān)的需要。所以單為滿足這種需