函數(shù)極限性質(zhì)與運(yùn)算法則

2.3、函數(shù)極限的性質(zhì)及運(yùn)算法則本節(jié)lim

f

(x)存在時(shí),f

(x)在極限過(guò)程x

X所允許的領(lǐng)域內(nèi)具有什么的性質(zhì)?x

X設(shè)lim

f(x)

A,那么f(x)在極限過(guò)程x

X所允許的領(lǐng)域指的是什么?x

Xx

x0(1)設(shè)lim

f

(x)

A

對(duì)

0,存在

0,使當(dāng)0

x

x0

,有f

(x)

A

.0x

x故f

(x)在極限過(guò)程x

x0所允許的領(lǐng)域是:0

x

x0

.(2)設(shè)lim

f

(x)

A

對(duì)

0,存在

0,使當(dāng)0

x

x0

,有f

(x)

A

.故f

(x)在極限過(guò)程x

x所允許的領(lǐng)域是:

0

x

x

,即x

(x

,

x

).0

0

0

02018/10/81Edited

by

Lin

Guojianx故f

(x)在極限過(guò)程x

所允許的領(lǐng)域是:x

X1,即x

(,

X1

).(6)設(shè)lim

f

(x)

A

對(duì)

0,存在X

2

0,使當(dāng)x

X

2時(shí),有f

(x)

A

.故f

(x)在極限過(guò)程x

所允許的領(lǐng)域是:x

X

2

,即x

(X

2

,)(,

X

2

).0x

x(3)設(shè)lim

f

(x)

A

對(duì)

0,存在

0,使當(dāng)0

x0

x

,有f

(x)

A

.故f

(x)在極限過(guò)程x

x所允許的領(lǐng)域是:

0

x

x

,即x

(x

,

x

).0

000x2018/10/82Edited

by

Lin

Guojian設(shè)

lim

f

(x)

A

對(duì)

0,

存在X

0

0,

使當(dāng)x

X

0時(shí),

有

f

(x)

A

.x故f(x)在極限過(guò)程x

所允許的領(lǐng)域是

:

x

X

0

,即x

(

X

0

,).設(shè)lim

f

(x)

A

對(duì)

0,存在X1

0,使當(dāng)x

X1時(shí),有f

(x)

A

.定義2.3

函數(shù)f

(x)稱為在極限過(guò)程x

x0下是有界的,

如果有一個(gè)x0的去心領(lǐng)域O

(x0

)

\{x0},

f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得當(dāng)x

O

(x0

)\{x0}時(shí),有f

(x)

M

.0

0

0

0f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得當(dāng)x

(x0

,x0

)時(shí),有f

(x)

M

.定義

函數(shù)f

(x)稱為在極限過(guò)程x

x下是有界的,

如果有一個(gè)x

的右領(lǐng)域(x

,

x

),上,

稱函數(shù)f

(x)在某一點(diǎn)的領(lǐng)域(去心領(lǐng)域)內(nèi)的性質(zhì)為函數(shù)f

(x)的局部性質(zhì)(相對(duì)于整體性質(zhì)而言).0

0

0

0f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得當(dāng)x

(x0

,x0

)時(shí),有f

(x)

M

.定義

函數(shù)f

(x)稱為在極限過(guò)程x

x下是有界的,

如果有一個(gè)x

的左領(lǐng)域(x

,

x

),2018/10/83Edited

by

Lin

Guojian定義函數(shù)f

(x)稱為在極限過(guò)程x

下是有界的,如果有一個(gè)的右領(lǐng)域(X

0

,),使f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得當(dāng)x

(X

0

,)時(shí),有f

(x)

M

.定義函數(shù)f

(x)稱為在極限過(guò)程x

下是有界的,如果有一個(gè)的左領(lǐng)域(,

X1

),f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得當(dāng)x

(,

X1

)時(shí),有f

(x)

M

.定義

函數(shù)f

(x)稱為在極限過(guò)程x

下是有界的,

如果有一個(gè)的領(lǐng)域OX

(),2使f

(x)在其上是有界的,即存在M

0,使得當(dāng)x

OX

()時(shí),有f

(x)

M

.22018/10/84Edited

by

Lin

Guojian性質(zhì)2.5(局部有界性)

若lim

f(x)

A,則f

(x)在極限過(guò)程x

Xx

X所允許的某一領(lǐng)域內(nèi)有界.x

x0使當(dāng)0

x

x0

時(shí),有f

(x)

A

.例:

若lim

f

(x)

A,則對(duì)任意的

0,

存在

0,從而有

f

(x)

A

f

(x)

A

f

(x)

A

.令M

A

0,則有當(dāng)0

x

x0

時(shí)有

f

(x)

M

.因此f

(x)在極限過(guò)程x

x0所允許的某一領(lǐng)域內(nèi)有界.2018/10/85Edited

by

Lin

Guojian性質(zhì)2.6(局部保號(hào)性)

若lim

f

(x)

A,

lim

g(x)

B,

A

B,則f

(x)與g(x)在極限過(guò)x

X

x

X程x

X所允許的某一領(lǐng)域內(nèi)滿足f

(x)

g(x),特別有f

(x)

B.證:考慮lim

f

(x)

A,lim

g(x)

B,A

B情形.x

x0

x

x02

,有f

(x)

A

,即A

f

(x)

A

.因此有1

0

1取

A

B

0,

存在

0,使當(dāng)0

x

xoB

A(

)(

)f

(x)

A

A

A

B

2

A

A

B

A

B

.2

2

222

0

20,使當(dāng)0

x

x取

A

B

0,

存在

,

有

g(x)

B

,即B

g(x)

B

.因此有g(shù)(x)

B

B

A

B

2B

A

B

A

B

.2

2

221

2

0令

min{

,

},

那么當(dāng)0

x

x

時(shí)有f

(x)

A

B

g(x),即f(x)與g(x)在f

(x)

g(x)

B.2018/10/86Edited

by

Lin

Guojianx

Xx

x0過(guò)程下所允許的某一去心領(lǐng)域內(nèi)O

(x0

)滿足:f

(x)

g(x).特別地,如果g(x)

B(g(x)恒等于B),則有l(wèi)im

g(x)

B,因此當(dāng)0

x

x0

時(shí)有性質(zhì)2.7

若

lim

f

(x)

A,

lim

g(x)

B,

且在極限過(guò)程x

X所允許的某一領(lǐng)域x

X

x

X內(nèi)滿足f(x)

g(x),則A

B.證:

(反

)若A

B,

則由性質(zhì)2.6知:在極限過(guò)程x

X所允許的某一領(lǐng)域內(nèi)滿足f

(x)

g(x).這與已知在極限過(guò)程x

X所允許的某一領(lǐng)域內(nèi)滿足f

(x)

g(x),故A

B.

xx

0

x

1x

01

x

0,g(x)

x2

,則在(1,1)內(nèi)滿足f

(x)

g(x),如圖:例:

f

(x)

1

0.從而有l(wèi)im

f

(x)

lim

g(x).x0

x0x0

x0由于lim

f

(x)

lim

x

0,

lim

f

(x)

lim(x)

0.x0

x0

x0x0故lim

f(x)

0.x0lim

g(x)

lim

x2xy112018/10/87Edited

by

Lin

Guojian性質(zhì)2.8(函數(shù)極限的 定理)

若在極限過(guò)程x

X所允許的某一領(lǐng)域內(nèi),g(x)

f(x)

h(x)且lim

g(x)

lim

h(x)

A,則lim

f

(x)

A.x

X x

X x

X證:考慮lim

g(x)

lim

h(x)

A情形.x

x0

x

x0對(duì)

0,1

0,當(dāng)0

x

x0

1時(shí),有g(shù)(x)

A

,即A

g(x)

A

.0,當(dāng)0

x

x02

2時(shí),有h(x)

A

,即A

h(x)

A

.x

x0令

min{1,2},則當(dāng)0

x

x0

時(shí),A

g(x)

f

(x)

h(x)

A

A

f

(x)

A

f

(x)

A

.故lim

f

(x)

A.2018/10/88Edited

by

Lin

Guojian性質(zhì)2.9(函數(shù)極限的運(yùn)算法則)若lim

f

(x)

A,lim

g(x)

B,則x

X x

Xlim[Cf

(x)]

C

lim

f

(x)

C

A(C是與x無(wú)關(guān)的常數(shù));x

X

x

Xlim[

f

(x)

g(x)]

lim

f

(x)

lim

g(x)

A

B;x

X x

X x

Xlim[

f(x)

g(x)]

lim

f

(x)

lim

g(x)

A

B;x

X

x

X

x

X(這里要求B

0).g(x)lim

f

(x)

x

X

Alim

g(x)

Bx

Xf

(x)limx

X122,

lim

lim

x

1

xx

x

xx1

x

1

x1

xx1

x

1注意:例:limlimx2

12018/10/89Edited

by

Lin

Guojian1

x1

.x1

x(x

1)

lim

x(x

1)x1例:limx22018/10/810Edited

by

Lin

Guojianx

A x

X性質(zhì)2.10

:

若

lim

g(x)

A(這里A可以是無(wú)窮大),g(x)

x

X且lim

f(x)

B,則lim

f[g(x)]

B.A(當(dāng)x

X時(shí)),注(1)

:

性質(zhì)2.10中令y

g(x),則在極限過(guò)程x

X下,

y

A,因此

lim

f[g(x)]

lim

f(

y)

B.x

X y

A(2):性質(zhì)2.10是變量替換求極限的理論基礎(chǔ).(3)

:

性質(zhì)2.10

中的條件g(x)

A(當(dāng)x

X時(shí))不能去掉.求(1)lim

g(x),lim

f(x);x

0

x

1x

0,1x

1例

:

設(shè)f(x)

,

g(x)

1x0

x1x0

x0

x1

x10

x

1

0

x

0(2)f[g(x)]及l(fā)im

f[g(x)];(3)問(wèn)能否用性質(zhì)2.10求lim

f[g(x)].x

0

x

0解:(1)lim

g(x)

1,lim

g(x)

1,故lim

g(x)

1;lim

f

(x)

1,lim

f

(x)

1,故lim

f

(x)

1.0

g(x)

1(2)

f

[g(x)]

1x0

lim

f

[g(x)]

0.x0(3)在lim

f

[g(x)]中令y

g(x),則當(dāng)x

0時(shí),有y

g(x)

1.,因此不能用性質(zhì)2.10求lim

f

[g(x)].x0故lim

f

[g(x)]

lim

f

(y)

1.x0

y1這與(2)中的結(jié)果lim

f

[g(x)]

0相x0原因是

:

當(dāng)x

0時(shí),

y

g(x)

1.0

x

0故f

[g(x)]

1x

0.

g(x)

1

x

0g(x)

1

g(x)

0

x

0由于g(x)

12018/10/811Edited

by

Lin

Guojianxx0例:利用函數(shù)極限的性質(zhì)證明:lim

sin

x

1.CAoxB

x由于OBC的面積小于扇形OBC的面積,而扇形OBC的面積小于OBD面積.y

D證

:

當(dāng)x

0

時(shí),x是在0的右半領(lǐng)域內(nèi)變化,因此不妨設(shè)x的變化范圍是

:

0

x

.2當(dāng)0

x

時(shí)(如圖),sin

x

AC

AC.2

11tan

x

BD

BD.故:1

sin

x

1

x

1

tan

x,即:sin

x

x

tan

x.2

2

222018/10/812Edited

by

Lin

Guojian121212S

lR

xRR

xR

.注:扇形面積x由于

lim

cos

x

1及

定理知

:

lim

sin

x

1.x

0

x

0cos

x

sin

xsin

x

x由當(dāng)0

x

時(shí),sin

x

x

tan

x

2

sin

x

1且sin

x

cos

x

cos

x

sin

x

1從而當(dāng)0

x

時(shí),cos

x

sin

x

1.2

xx

y

y令y

x,則lim

sin

x

lim

sin(

y)

lim

sin

y

1.y

0

y

0x

0x從而

:

lim

sin

x

1.x

02018/10/813Edited

by

Lin

Guojianx

x0例:

證明:

求lim

f

(x)

0

lim

f

(x)

0.

X證:""由

f

(x)

f

(x)

f

(x)

及l(fā)im

f

(x)

0知:

lim

f

(x)

0.

X""由于

lim

f

(x)

0,故對(duì)

0,

0使當(dāng)0

x

x0

,x

x0有f

(x)

0

,即f

(x)

.因此對(duì)

0,

0使當(dāng)0

x

x0

,

有

f

(x)

0

,即lim

f

(x)

0.2018/10/814Edited

by

Lin

Guojian例:

證明:

設(shè)

lim

f

(x)

A,則lim

f

(x)

A.x

x0

x

X證:由于lim

f

(x)

A,故對(duì)

0,

0使當(dāng)0

x

x0

,x

x0x

x0有f

(x)

A

.從而有

f

(x)

A

f

(x)

A

lim

f

(x)

A.反之不對(duì),即lim

f

(x)

A

不能推出lim

f

(x)

A.x

X

x

x01

x

[0,1]2018/10/815Edited

by

Lin

Guojian1

x

[1,0)x0,則f

(x)

1,x

[1,1],故lim

f

(x)

1.例:f

(x)

x0x0

x0

x0

x0由lim

f

(x)

1,lim

f

(x)

1,即lim

f

(x)

lim

f

(x).故lim

f

(x)不存在.例:判斷下列極限是否存在,如果存在求其值.1

1

1(1)lim

e

x2

,

(2)

lim

e

x

,

(3)

lim

2

x.x0

x

x011故lim

2

x

不存在.x01xyy1

,

lim2

x

lim

2

y

0.解(3)令y

,

則

lim2

x

lim

2

yx0x011x

y0x解(2)令y

,則lim

e

x

lim

ey

1.12018/10/816Edited

by

Lin

Guojian解(1)令y

1x2,則lim

ex0x2

lim

ey

0.y.

35x3

x

1x

6x

3

7x

2例:求lim56.6

7

3

15

1

limxx

6x3

7x2

3解:limx3x2

x33

5x x

1x3

2

x

37x2

2x

9

.x

2x例:求lim7

2

92018/10/817Edited

by

Lin

Guojianx2

x32

0

0.2

1

3

2x3xxx

2x3

x2

3解:

lim

7x

2x

9

lim

x

5x

84x3

x2

5

.x

3x2例:liml

kl

kl

k例:設(shè)a0

0,b0

0,則xb

al0l

110

0lim

0

1

k

1

k

0b

xl

bxl

1

b

x

ba

xk

a

xk

1

a

x

a

x

5

.2018/10/818Edited

by

Lin

Guojian5x

8x例:lim

4x2xx0例:求lim

sin

6x

.x

6x

6xx0

x0x0解:lim

sin

6x

lim

6

sin

6x

.令y

6x,則lim

6

sin

6xy

y

lim

6

sin

y

6

lim

sin

y

6.y0y0.x0

sin

2x3x例:求lim,令y

2x,則解:lim2x3

2x

lim

2

3

limx0

sin

2x

x0

sin

2x

2

x0

sin

2x3x

3

.22018/10/819Edited

by

Lin

Guojian1

3

12

y0

sin

y

2lim

sin

y

3

lim

3

lim3

lim2xy2

x0

sin

2x2

y0

sin

yy

yy0x0例:求lim

x

cot

x.sin

xxsin

xx0x0

x0解:lim

x

cot

x

lim

x

cos

x

lim

cos

x

x0

sin

xxx0

lim

cos

x

lim

1.2018/10/820Edited

by

Lin

Guojian1

limcos

x

limx0

sin

xx0x1

x22例:求lim

1

cos

x

.x

02

sin2sin21

x24

lim

22

sin21

x221

x222

x

lim

2xx

0xx

0x解

:

lim

1

cos

x

lim

2x

0x

0

sin

2

lim

2

.x

2

x

x

0

1.2018/10/821Edited

by

Lin

Guojianx2令y

2,則lim

2

sin

2

x

x

x

0

y2

sin

y

lim

y

0

解:令y

arcsin

x,x

[1,1].則x

0時(shí),y

arcsin

x

0.而且y

arcsin

x

0(當(dāng)x

0時(shí))及x

sin

y.

1.1lim

sin

y

limy

1y0

sin

yx

y0

sin

yy0x0故lim

arcsin

x

limyy例:求lim

arcsin

x

.2018/10/822Edited

by

Lin

Guojianx0x解:令y

x

2,則x

2時(shí),有y

0且y

0.2x2例:求lim(x

2)cot

x

.2

2

2y0

y0x2故lim(x

2)

cot

x

lim

y

cot

(

y

2)

lim

y

cot(

y)yy02sin

y2sin

ycos

yy0

y0

lim

y[cot

y]

limy

2

lim

cos

y

22

y2.2018/10/823Edited

by

Lin

Guojian22sin

y2lim

cosy022sin

y2

(

2

y)2

lim

cosy0y

y

3xx例:lim

x

tan

1

3x

3xy0