《高等數(shù)學AI》期末復習題參考答案

第第13頁共13頁《高等數(shù)學AI》期末復習題一參考答案一、選擇題：1.C；2.C；3.D；4.B；5.D；二、填空題：21、[2，4]；2、1；3x=1；4、y=x+1；57x5；6、單調(diào)增加；7、(-1，6)；28、3；9、y1；10

ax C、

21x2；1x2；

13、3。lna 2三、計算下列極限：1cosx 11、解：原式= limx0 x21

2、解：原式= lim(1 )xx1xx11x21= lim2

=lim(1 1 )x1(1 )1x0 x21=2。

x=e。

x1 x1四、計算下列導數(shù)：x2(1x)1、解：y′=(x 2)2

cosx2、解：y′= 1sinx。1=(x2)21dy= dx。(x 2)23、解：方程兩邊對x求導：3y2y′-3y′-6x5=0，2x5y y21。五、計算下列積分：12x2dx

x211dx=

1 xarctanxC。1x2

x2

x212、解： cosx

dx=

1 d(sinxarctan(sinxC。1sin2x 1sin2x3、解：原式x3–x2x)|10

=1。4、解：原式=xex|10

1exdxeex|10

ee11。x5、解：令t= ，則x=t2，dx=2tdt，x原式= 21tcostdt0=2(tsint0

1sintdt)02(sin1cost0六

)2(sin1cos11)。解：(1)函數(shù)的定義域為：(-∞，-3)(-3，。36(x3)236x2(x3) 36(3x)y′= = ，(x3)4y0x=3列表如下：

(xxxy′y(-∞，-3)-(-3，3)+30極大值4(∞)-單調(diào)減少單調(diào)增加單調(diào)減少所以，函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為：(-∞，-3)，(3，+∞)；單調(diào)增加區(qū)間為：(-3，3)；函數(shù)的極大值為：y(3)=4。(2) y′′= 36(x(3x)3(x3)2=362(x6)(x3)6 (x3)4令y′′=0，得x=6。列表如下：xxy′′y(-∞，-3)-(-3，6)-60拐點11/3(∞)+凸凸凹所以，函數(shù)的凸區(qū)間為：(-∞，-3)，(3，6)；凹區(qū)間為：(-3，3)；函數(shù)的拐點為：(6，11/3)。(3) limylimx3 x3

36x ，所以函數(shù)的鉛直漸近線為：x=-3(x3)2limylim[1

36

1，所以函數(shù)的水平漸近線為：y=1。x x (x3)2七、Fx)=e3xfx)，由已知，F(xiàn)(x)在[a，b]上連續(xù)，在a，b)可導，且F(a)=0=F(b)，由羅爾定理，在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得：Fξ)=3e3ξfξe3ξfξ)=0，即：fξ)+3fξ)=。八、yx2x0或x1，y2

y

y1所求平面圖形的面積為：x2 3 1 A1( x2dx x2 x3|1 。x2 3 1 0 3 3 0 3九、解下列微分方程：11y2

dx ，1x2兩邊積分，得：1x23即原方程的通解為：y=sin(arcsinx+C)；此外還有解：y=±1。32、解：Px

2x1

，Q(x)=(x1)2，2dx

3 2dx

1 原方程的通解為：y=ex1 (x1)2e x1 dxC(x1)2(x1)2dxC 5= 2(x1)2C(x1)2。5將y| 3代入通解，得C=1。x05∴所求符合初始條件的特解為：y= 2(x1)2(x1)2。5《高等數(shù)學AI》期末復習題二參考答案一、選擇題：1、C；2、A；3、D；4、C；5、B；二、填空題：1、[1，3]；2、2

；3、x=2；4、y=3x–2；5、1 ；6、單調(diào)減少；7、(-1，4xln31x28、6；9、y=x–1；10、arctanx+、 ；12、π1x2三、計算下列極限：1cosx

3x31、解：原式= lim

2、解：原式=

lim(1 )3x0 3x2

x x = lim

1x22

=e3。x0 3x21=6。四、計算下列導數(shù)：x1x 1

cosx1、解：y′=

(x1)2

=(x1)2

2、解：y′=

sinx

=cotx。1dy= dx。(x 3、解：方程兩邊對x求導：eyy′+y+xy′=0，y y 。eyx五、計算下列積分：1、解：原式= cos2xsin2xdx(cosxsinx)dxsinxcosxC。sinxcosx2、解：原式=

1ex2d(x2 ex2C。12 21x 1 d(1x2) 13、解：原式= xarctanx

1x2

dxxarctanx

2 1x2

xarctanx ln(1x2C。24x3x2–ex)|10

=3–e。x5、解：令t= ，則x=t2，dx=2tdt，x原式= 20

te

dt=2(tet0

0

etdt)2(ee

|1)2。0六、解：(1)函數(shù)的定義域為：(-∞，+∞)。1y′=3x2–2x–1，令y′=0，得x= ，x=1。3列表如下：xxy′y(-1/3)+單調(diào)增加-1/30極大值32/27(-1/3，1)-單調(diào)減少10極小值0(∞)+單調(diào)增加所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為：(-∞，-1/3)，(1，+∞)；單調(diào)減少區(qū)間為：(-1/3，1)；函數(shù)的極大值為：y(-1/3)=32/27，極小值為：y(1)=0。(2) y6x–2y0x=1/3。列表如下：xxy′′y(-/3)-凸1/30拐點16/27(1/3，+∞)+凹所以函數(shù)的凸區(qū)間為：(-∞，1/3)；凹區(qū)間為：(1/3，+∞)；函數(shù)的拐點為：(1/3，16/27)。七、證：令F(x)=x2f(x)，由已知，F(xiàn)(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)可導，且Fa0=Fb)，由羅爾定理，在a，b)內(nèi)至少存在一點ξFξ2ξfξξ2fξ)=0，即：2fξξfξ)=0。八、解：所求平面圖形的面積為：A=1y2dx12xdxx2|1。0 0 0九、解下列微分方程：yy1dy2xdx，yy

x2C，y

(x2C)24

.此外還有解：y=0。2、解：Px)=1，Qx

dx

dx 原方程的通解為：y

xe dxCe

xexdxC= x1Cex。將y| 0代入通解，得C=1。x0∴所求符合初始條件的特解為：yx1ex?！陡叩葦?shù)學AI》期末復習題三參考答案一、選擇題：1、A；2、C；3、C；4、B；5、D； 6、。二、填空題：1。1 x21、0；2、2；31dx；4、1；1。1 x2x2 4三、計算下列極限：x1limxx0

lim1x1x1

x11x(1x(1x1)

limx0

1 1。11x1或li

lim21x1。1x11x1x0 x02lim1cos2x

lim2sin2x

lim2sinx

2。x0

xsin

x0xsinx x0 x 1n

11nn1

1n ne 3.解：lim limne

1 lim

e2。nn1 n1 n11n

e1n n n 2x12x12x12x11y2x1

e

2x e 。2x1y sinx sinx2x12、解：lnysinxlnx，y

cosxlnx

yxsinxcosxlnx 。x x y y23、解：兩邊對x求導，得：yxy 0，整理得：y2 xyyy0，所以y 。y xy1五、求下列不定積分和定積分：1、解：原式= lnxd(lnx)2

xC。2、解：原式=

cos2xsin2xdx (cosxsinx)dx sinxcosxC。cosxsinx3、解：原式=

1(1x 2x1x21x2(

(11)11。0 1 2 0 π

1 2 2π4、解：令x tant，則dx，xt ；x3 3

t23323原式=

π t

π

π1π 2。3π34

π4

π t 4 4六、

x1x

x0：x，列表如下：x1x13x))1(，+)fx)–+0–f(x)↘↗54↘1極大值為：f(1)=。4

1(2f()=

f0：x，列表如下：xx))2(，+∞)f()––0+f(x)凸凸29凹∴f(x2

，2拐點為：(， 。9(3) lim x 0y是函數(shù)的水平漸近線。x(1x)2lim x x是函數(shù)的鉛直漸近線。x1(1x)2七、證：令f(x)=x–ln(1+x)，則f(x)在區(qū)間[0，+∞)上連續(xù)，且f(x)1 1 x 0，x(0)故f(x)在[∞)上嚴格單調(diào)增加，1x 1x從而f(x)>f(0)=0，因此，當x>0時，有x>ln(1+x)。yx八、yx

x2y

x8或y4，所求平面圖形的面積為：A=42

(y4y2)dy(y24yy3)|2 2 6

4 18。2九、解下列微分方程：1、解：當y≠0時，dy

(y)2x y

dy du原方程化為： dx

y1x

，令u

，則y=ux，x dx

x u，dx原方程化為：xdu u ，分離變量，得：(11)dudx，dx u1 u x兩邊積分，得：u–ln|u|=ln|x|+lnC，即：eu=C|ux|，y也就是ex

C|y|，或y=Cex；經(jīng)檢驗，y=0也是原方程的解，yyy原方程的通解為：y=Ce2、解：原方程的通解為：

和y=0。y= ed

[(x1)5edxdxC]= (x1)[(x1)3dxC]x11)[ = (x1)[

2 x15222 x1) C]2(x1)522

2C(x1)。5 5《高等數(shù)學AI》期末復習題四參考答案一、單項選擇題：1、B；2、C；3、B；4、B；5、B；6、C；7、A；8、A。二、填空題：1、必要；2、1；可去；3、a=2；b=-1；4、2x+1=0；5x2；6fx。三、計算下列極限：1、解：原式= lim1xx23

(x1)(x2)

(x2)

1；x1

1x3

(1x)(1xx2) 1xx2xxe 1x 11xxxe1 2、解：原式= lim 1

lim

e2；x1

x11x

e1 x

x x2(1 1x2)3、解：原式= lim lim(1 1x2(1 1x2)x0

x2

x0四、計算下列微分或?qū)?shù)：1dy2tan(12x2sec2(12x24xdx8xtan(12x2sec2(12x2dx；dy (asin3t) sin2tcost

tn2、解：

t tant (

，n為整數(shù))；dx (acos3t) cos2t(sint)t3xe

yyy（*，所以y ；e1xee（*）xeyyeyyxeyy2xeyyy，yeyyeyy

y2

.y2eyyxeyy

e2y(2xey)。xey

1

y1 (1

y)3五、計算下列不定積分：21、解：原式=3sinx2x325xC；2x1 12、解：原式=

cos(x21)d(x21) sin(x21)C；2 233、解：原式= x lnx1x2dxx lnx C。33 x33 3 3 94、解：令x=sint，則dx=costdt，x=0，t=0，x=0，t=π。2 1 原式= 2sin2tcos2tdt = 2sin2dt02= 1(1cos4t)dt 2

4 01(t1sin4t)|/28 0= 。16

8 4 05、解：原式

π=xsinx|/2- 0 0

sinxdx=π/2+cosx|/20π= 2六、解答題：

-1。y18x3

0駐點x2，不可導點x0y

240，∴單調(diào)增區(qū)間為(，0)，x4(2)，單調(diào)減區(qū)間為02f(2)3，凹區(qū)間為(0(0)，無拐點。七、證明題：1、證：設f(x)ln(1x)，顯然f(x)ln(1x)在區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗日定理，則ln(1x)ln(1x)ln1 x x。1x>0時，11x

x x x1x 1

x1x

x)x。2fxx5–7x–4fx)在[1，2]f(1)=-10<0，f(2)=14>0，由零點定理，在(1，2)ξf(ξ0x5–7x=4在(1，2)內(nèi)至少有一個實根。八、解：所求體積為：V=π

y2dxπ

(R

y2)dx2π

R(R

x2)dx2π(R2x x3)|R11R R

0 3 04π= R3。3九、解下列微分方程：1、解：原方程化為：dy2xy，dx分離變量：dy2xdx，y兩邊積分：ln|y|=x2+lnC，原方程的通解為：y=C2、解：原方程的通解為：

x2。y= edx

exedxdxC=e

(xC)。一、填空題：

《高等數(shù)學AI》期末復習題五參考答案1、(-2∪(，)二、求下列極限：

2、1； 3、0； 4、y=2x； 5、1；6、1。21、解：原式=1； 2、解：原式=li3x0

sinx = 1；x(x3) 313、解：原式=lim

lnxx1

4、解：limxlnx = li

ln

= lim xx1

(x1)lnx

1x0 x0x

x01x2=lim

11x

1= lim x2

= lim(x) =0，1 1 1x1 lnx1

x1

x0= 12

x x x2

原式=e0=1。三、求下列導數(shù)或微分：1、y=

xx

，求y； 2、y=y=ln(x2+x+1)，求dy；y

x1(x1)

2

；

y

2x1

，dy

2x1

dx。(x1)2

(x1)2 x

x1 x

x13、求由方程ex–ey=xy確定的隱函數(shù)的導數(shù)y；解：方程兩邊對求導：ex–eyyy+xyy4、y=x2cosx，求y。解：y=2xcosx–x2sinx，

exy；eyxy=2cosx–2xsinx–2xsinx–x2cosx=(2–x2)cosx–4xsinx。四、求下列積分：11、解：原式=

x44sinxex+C；42、解：原式==3、解：令t=

1cos(2x3)d(2x21sin(2x3)+C；2x1，則x=t2–1，dx=2tdt，x=0，t=1，x=3，t=2

2(t21)tdt= 21 1

(t4t2)dt2 2 116= ( t5 t3)|2= ；5 3 1 15π4、解：原式= xsinx|π/2π0 0

sinxdxπ = cos