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小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)數(shù)陣圖二知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)數(shù)陣圖二知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)數(shù)陣圖二知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題V:1.0精細(xì)整理,僅供參考小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)數(shù)陣圖二知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題日期:20xx年X月數(shù)陣圖(二)上一講我們講了僅有一個(gè)“重疊數(shù)”的輻射型數(shù)陣圖的填數(shù)問題,這一講我們講有多個(gè)“重疊數(shù)”的封閉型數(shù)陣圖。例1將1~8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中,使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都等于21。分析與解:中間兩個(gè)數(shù)是重疊數(shù),重疊次數(shù)都是1次,所以兩個(gè)重疊數(shù)之和為21×2-(1+2+…+8)=6。在已知的八個(gè)數(shù)中,兩個(gè)數(shù)之和為6的只有1與5,2與4。每個(gè)大圓上另外三個(gè)數(shù)之和為21-6=15。如果兩個(gè)重疊數(shù)為1與5,那么剩下的六個(gè)數(shù)2,3,4,6,7,8平分為兩組,每組三數(shù)之和為15的只有2+6+7=15和3+4+8=15,故有左下圖的填法。如果兩個(gè)重疊數(shù)為2與4,那么同理可得上頁(yè)右下圖的填法。例2將1~6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○內(nèi),使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于11。分析與解:本題有三個(gè)重疊數(shù),即三角形三個(gè)頂點(diǎn)○內(nèi)的數(shù)都是重疊數(shù),并且各重疊一次。所以三個(gè)重疊數(shù)之和等于11×3-(1+2+…+6)=12。1~6中三個(gè)數(shù)之和等于12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5。如果三個(gè)重疊數(shù)是1,5,6,那么根據(jù)每條邊上的三個(gè)數(shù)之和等于11,可得左下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn),所填數(shù)不是1~6,不合題意。同理,三個(gè)重疊數(shù)也不能是3,4,5。經(jīng)試驗(yàn),當(dāng)重疊數(shù)是2,4,6時(shí),可以得到符合題意的填法(見右上圖)。例3將1~6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○中,使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等。分析與解:與例2不同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾。因?yàn)槿齻€(gè)重疊數(shù)都重疊了一次,由(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和×3,得到每邊的三數(shù)之和等于[(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和]÷3=(21+重疊數(shù)之和)÷3=7+重疊數(shù)之和÷3。因?yàn)槊窟叺娜龜?shù)之和是整數(shù),所以重疊數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)??紤]到重疊數(shù)是1~6中的數(shù),所以三個(gè)重疊數(shù)之和只能是6,9,12或15,對(duì)應(yīng)的每條邊上的三數(shù)之和就是9,10,11或12。與例2的方法類似,可得下圖的四種填法:每邊三數(shù)之和=9每邊三數(shù)之和=10每邊三數(shù)之和=11每邊三數(shù)之和=12例4將2~9這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○里,使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于18。分析與解:四個(gè)角上的數(shù)是重疊數(shù),重疊次數(shù)都是1次。所以四個(gè)重疊數(shù)之和等于18×4-(2+3+…+9)=28。而在已知的八個(gè)數(shù)中,四數(shù)之和為28的只有:4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1,1不是已知的八個(gè)數(shù)之一,所以,8和9只能填對(duì)角處。由此得到左下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法:“試填”的結(jié)果,只有右上圖的填法符合題意。以上例題都是封閉型數(shù)陣圖。一般地,在m邊形中,每條邊上有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。與“輻射型m-n圖只有一個(gè)重疊數(shù),重疊次數(shù)是m-1”不同的是,封閉型m-n圖有m個(gè)重疊數(shù),重疊次數(shù)都是1次。對(duì)于封閉型數(shù)陣圖,因?yàn)橹丿B數(shù)只重疊一次,所以已知各數(shù)之和+重疊數(shù)之和=每邊各數(shù)之和×邊數(shù)。由這個(gè)關(guān)系式,就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問題。前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖,雖然大多數(shù)數(shù)陣問題要比它們復(fù)雜些,但只要緊緊抓住“重疊數(shù)”進(jìn)行分析,就能解決很多數(shù)陣問題。例5把1~7分別填入左下圖中的七個(gè)空塊里,使每個(gè)圓圈里的四個(gè)數(shù)之和都等于13。分析與解:這道題的“重疊數(shù)”很多。有重疊2次的(中心數(shù),記為a);有重疊1次的(三個(gè)數(shù),分別記為b,c,d)。根據(jù)題意應(yīng)有(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3,即a+a+b+c+d=11。因?yàn)?+2+3+4=10,11-10=1,所以只有a=1,b,c,d分別為2,3,4才符合題意,填法見右上圖。
練習(xí)1.把1~8填入下頁(yè)左上圖的八個(gè)○里,使每個(gè)圓圈上的五個(gè)數(shù)之和都等于20。2.把1~6這六個(gè)數(shù)填入右上圖的○里,使每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)之和都相等。3.將1~8填入左下圖的八個(gè)○中,使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。4.將1~8填入右上圖的八個(gè)○中,使得每條直線上的四個(gè)數(shù)之和與每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都相等。5.將1~7填入右圖的七個(gè)○,使得每條直線上的各數(shù)之和都相等。6.把1,3,5,7,9,11,13分別填入左圖中的七個(gè)空塊中,使得每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)之和都等于34。答案與提示每個(gè)圓周的四數(shù)之和=12每個(gè)圓周的四數(shù)之和=13每個(gè)圓周的四數(shù)之和=14每個(gè)圓周的四數(shù)之和=15每個(gè)圓周的四數(shù)之和=163.提示:四個(gè)頂點(diǎn)數(shù)之和為15×4-(1+2+…+8)=24,四個(gè)頂點(diǎn)數(shù)有3,6,7,8和4,5,7,8兩種可能。經(jīng)試驗(yàn)只有左下圖一個(gè)解。4.提示:每條直線或每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都等于(1+2+…+8)÷7=18。填法見右上圖。(填法不唯一)5.提示:頂上的數(shù)重疊2次,其它數(shù)都重疊1次。(1+2+…+7)×2+頂上數(shù)
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