小學(xué)數(shù)學(xué)講義秋季六年級秋季超常講義第5講神奇的九

第五講第五講神奇的九知識站牌六年級寒假

講（一）級秋季的九級暑期的計(jì)數(shù)級暑期的規(guī)律數(shù)論中棄九法的學(xué)習(xí)及棄九法的應(yīng)用漫畫釋義第11級下超常體系教師版 課堂引入大家一定非常喜歡數(shù)字謎吧，你能在一分鐘內(nèi)回答下面的數(shù)字謎嗎？首先不同的漢字代表不同的數(shù)字

樹 中中中中中中中中第一個(gè)為10899=9801，第二個(gè)為123456799111111111，其中這兩個(gè)數(shù)字謎中的“樹”都是9，99教學(xué)目標(biāo)1、掌握加減法數(shù)字和與9的關(guān)系2、掌握多位數(shù)的計(jì)算中數(shù)字和與9的關(guān)系3、了解9在余數(shù)與數(shù)字謎中的應(yīng)用知識點(diǎn)回顧1. 314, 31415, 31415926， 【分析】314(mod9）=8，31415(mod9）=5，31415926(mod9）=4，142857(mod9=02. 并檢查自己填的是否正確【分析】一個(gè)數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是9的倍數(shù)，即4□32□是9的倍數(shù)，而4329,所以只需要兩個(gè)方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù)．依次填入3、6，因?yàn)?332618是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù).3. 【分析】(85430)5(mod9)4. 檢驗(yàn)下面的算式是否正確（1）46872×9537=447156404 （2）383831【分析】（1）46872是9的倍數(shù)，447156404÷9余8，即左邊是9的倍數(shù)，而右邊不是，因此算式.2第11級下超常體系教師版第五講注：棄九法僅能判斷出錯(cuò)誤，若左右兩邊余數(shù)相等，等式不一定成立.如：18×365=6480.左右兩邊均是9的倍數(shù)，但算式卻是錯(cuò)誤的.經(jīng)典精講一、整除中的9二、進(jìn)位借位中的99三、棄九法：“棄九法”也叫做棄九驗(yàn)算法，利用這種方法可以驗(yàn)算加、減、乘、除、乘方計(jì)算的結(jié)果是否錯(cuò)誤。把一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字相加得9的數(shù)去掉，直到和是一個(gè)一位數(shù)，這個(gè)數(shù)就叫做原來數(shù)的棄九數(shù)．例如，3217：2+7=9 例題思路進(jìn)位、模塊二：數(shù)論中的9：法應(yīng)用例1通過枚舉一些數(shù)回答下面的問題.(1)A的數(shù)字之和為5,B的數(shù)字之和為

,

A+B的數(shù)字之和為____.(2)A的數(shù)字之和為15,B的數(shù)字之和為13,A+B進(jìn)位1次,則A+B的數(shù)字之和為____.(3)A的數(shù)字之和為15,B的數(shù)字之和為13,A-B沒有借位,則A-B的差的數(shù)字之和為____.(4)A的數(shù)字之和為15,B的數(shù)字之和為13,A-B借了1次位,則A-B的差的數(shù)字之和為____.通過上面幾道例題,你能否總結(jié)出數(shù)的加減與數(shù)字之和或差的關(guān)系.（學(xué)案對應(yīng)：超常1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,…可發(fā)現(xiàn)結(jié)果為5+3=8;第11級下超常體系教師版 (3)555-535=20,5127-4126=11,…15-13=2(4)555-418=137,5622-5503=119,…15-13+9=119.例26 1209【分析】由加法的運(yùn)算性質(zhì)可知，這個(gè)豎式中，十位，百位相加均進(jìn)位了，因此共進(jìn)位2次，由例例3（1）111111×999999乘積的各位數(shù)字之和為______.（2）33333336666666乘積的各位數(shù)字之和為_____.（3）1993×123×999999乘積的各位數(shù)字之和為______.

k個(gè)9

k個(gè)9

)．1989個(gè)

乘積的各位數(shù)字之和為_______.于是我們采用添項(xiàng)湊整，簡化運(yùn)算.原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-11111111110888889數(shù)字之和為9654法2：原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-111111213×6=18；33×66=2178；333×666=221778；3333×6666=22217778；……4第11級下超常體系教師版第五講n個(gè)3

22...2177...78(n-1)個(gè)2(n-1)個(gè)7

，則原式數(shù)字之和26176863法2：原式9999999222222222222220000000222222222222217777778所以，各位數(shù)字之和為7963法3：原式99999992222222222222200000002222222是有點(diǎn)繁瑣．則M×999999=×1000000-1）=1000000-=abcdef000000-abcdef相減時(shí)借位6次，所以差的數(shù)字之和為（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+6×9=54（4）

999...91000k個(gè)9 k個(gè)0

MM

-的數(shù)字之和+9k=9k1989個(gè)1 1989 1989個(gè)9 1989

..99

99...9919891989個(gè)

的各個(gè)位數(shù)字之和為：1989=17901例41234567891011121314…20082009除以9，商的個(gè)位數(shù)字是_________.寫，所得到的數(shù)也能被9整除.由于200992232，所以除以9為4.第11級下超常體系教師版 里面介紹了一個(gè)檢驗(yàn)加法是否正確的方法九法。一定錯(cuò)誤。。利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對于檢驗(yàn)相乘、和乘方的結(jié)果是否正確同樣適用。例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是的。但是反過來，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式兩端一定棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的數(shù)字謎問題。例5（2010年第15屆華杯賽決賽第5題） 【分析】一個(gè)數(shù)與其各位數(shù)字之和模9同余，顯然這個(gè)數(shù)除以9余6，這是一個(gè)同余類，其內(nèi)部的數(shù)從小到大排成一個(gè)等差數(shù)列，公差為9首項(xiàng)為6，末項(xiàng)為2004，其個(gè)數(shù)為例62008 【分析】法一（位值原理）：設(shè)這樣的四位數(shù)為abcd，則abcdabcd2008，即1001a101b11c2d2008，則a1或2．⑴若a2，則101b11c2d6，得bc0，d3，abcd2003；⑵若a1，則101b11c2d1007，由于11c2d11929117，所以101b1007117890，所以b8，故b為9，11c2d100790998，則c為偶數(shù)，且11c982980，故c7，由c為偶數(shù)知c8，d5，abcd1985；法二（同余）：設(shè)這樣的四位數(shù)為abcd，則abcdabcd20086第11級下超常體系教師版第五講由于abcdabcd(mod9)，所以abcdabcd2(abcd)20081(mod9)，那么abcd5(mod9)，即abcd除以9的余數(shù)是5，又不超過299929，所以abcd可以為5、14、23.如果是5，則abcd2008(abcd)200852003，滿足；如果是14，則abcd2008(abcd)2008141994，但1994數(shù)字和是23，不是14，不滿足；

cd

2008(abcd)2008231985

，滿足。所以，這樣的四位數(shù)有2003和1985兩個(gè)，其和為：200319853988．例7258，等式成立則其中未被選中的數(shù)字是_.□□+□□□+□□□□=201029，_____.□□□□+□□□+□□－□=2010.學(xué)解題”與“能力”的差的最小值是_______.最大值是_____.【分析】（1）根據(jù)棄九法，所有加數(shù)的各位數(shù)字總和與求得總和的各位數(shù)字之和應(yīng)該差9的整數(shù)x相同.右邊的余數(shù)是3，當(dāng)x=3時(shí)，左右余數(shù)會(huì)相等.所以減數(shù)處的數(shù)字是3.除以9的余數(shù)相同.當(dāng)x=6時(shí)成立，即未選中的數(shù)字為6.“于是差最小為1842-95=1757.第11級下超常體系教師版 1948-25=1923例8(第十三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽)右圖是一個(gè)分?jǐn)?shù)等式：等式中的漢字代表數(shù)字

1、2、34、5、6、7、89，同的漢字代表不同“由．北奧運(yùn)會(huì)京夢想成真而：“D”＋“E”＋“F”＋“G”最大為：8＋7＋6＋5=26最小為：2＋3＋4＋5=14所以：“D”＋“E”＋“F”＋“G”=18“A”、“B”、“C”、“D”、“E”、“F”、“G”分別代表2-8所以：“A”“B”＋“C”=2＋3＋……8-18=17可以得出：“A”、“B”、“C”必是下面四組中的一組：8、7、2 8 8、5、4 7ABCDEFG

ABC+DEFGABC0根據(jù)數(shù)字和分析，加數(shù)的數(shù)字之和為A+B+C+D+E+F+G=35，和的數(shù)字和為一位，所以十位沒有向百位進(jìn)位。所以有CG10,BF1C,進(jìn)而有BFG9234所以有G2,3,4當(dāng)G2時(shí)，C8,B3,F4,A17836,有63857426380當(dāng)G3時(shí)，C7,B4,F2,A17476,有64758236470當(dāng)G4時(shí)，C6,B3,F2,A17638,有836752483608第11級下超常體系教師版第五講動(dòng)手嘗試用棄九法驗(yàn)算乘除法運(yùn)算是否正確413×212=875566=208知識點(diǎn)總結(jié)x(2)若A的數(shù)字之和為x,B的數(shù)字之和為y,A-B借位k次,則差的數(shù)字之和為x-y+9kk個(gè)9k個(gè)9

)乘積的各位數(shù)字之和為9k.附加題

將12345678910111213依次寫到第1997個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是________【分析】本題第一步是要求出第1997個(gè)數(shù)字是什么，再對數(shù)字求和．1～9共有9個(gè)數(shù)字，1099共有90個(gè)兩位數(shù)，共有數(shù)字：902180(個(gè)),100～999共900個(gè)三位數(shù)，共有數(shù)字：90032700(個(gè)),所以數(shù)連續(xù)寫，不會(huì)寫到999,從100開始是3位數(shù)，每三個(gè)數(shù)字表示一個(gè)數(shù)，(19979180)36022，即有602個(gè)三位數(shù)，第603個(gè)三位數(shù)只寫了它的百位和十位．從100開始的第602個(gè)三位數(shù)是701，第603個(gè)三位第11級下超常體系教師版 數(shù)是702，其中2未寫出來．因?yàn)檫B續(xù)9個(gè)自然數(shù)之和能被9整除，所以排列起來的9個(gè)自然數(shù)也能被9整除，702個(gè)數(shù)能分成的組數(shù)是：702978(組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出來，所以余數(shù)為927．

(第十六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽)在圖中的加法豎式中，如果不同的漢字代表不同的數(shù)字，使得算式成立，那么滿足要求的不同算式共有多少種？十六屆+華杯初賽2011【分析】顯然華=1．和的數(shù)字之和除以9的余數(shù)應(yīng)該與加數(shù)上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相等，根據(jù)位進(jìn)1位，下面就十位和個(gè)位的進(jìn)位情況討論：以共有1×6×6+2×6×6+2×6×6=180種．93. 【分析】由于一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)，那么這五個(gè)四位數(shù)的最高的前2位和最小為10+10+23+24+34=101，而和的數(shù)字均是奇數(shù).因此前三位最小為099+1088+2547+2646+3735=111154. 9中的7個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，恰使得加法算式成立．則“第、十、一、．10第11級下超常體系教師版第五講

第十一2006【分析】法1：顯然十位和百位都出現(xiàn)了進(jìn)位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“華”=9，如果“屆”“賽”沒有出現(xiàn)進(jìn)位，那么“一”“杯”=10，“屆”“賽”=6，那么“屆”和“賽”一個(gè)是2現(xiàn)進(jìn)位，那么“一”“杯”9，“屆”“賽”16，所以7個(gè)漢字代表的7個(gè)數(shù)字之和等于1991635．經(jīng)過嘗試“十”、“華”、“一”、“杯”、“屆”、“賽”分別是3、6、4、5、7、9時(shí)可滿足條件(答案不止一種)．

1為1，則202ab8917，其中滿足除以9余1的只有10，所以ab10，

A3333333332010個(gè)3

，那么A的各位數(shù)字之和等于

【分析

10A303303330

3330個(gè)2010個(gè)3 2010 2006個(gè)3

333273009370370370369700 2006個(gè)

，數(shù)字和為66810256705.家庭作業(yè)1. 【分析】100-50+5×9=952. 右邊的加法算式中，每個(gè)“□”內(nèi)有一個(gè)數(shù)字，所有“□”內(nèi)的數(shù)字之和最大可達(dá)到．第11級下超常體系教師版11【分析】法1：末尾和最大24，十位和最大18，百位和最大18，24+18+18=60法2：三個(gè)數(shù)字相加，最高可進(jìn)2位.上式中均可進(jìn)2位，因此方框內(nèi)的數(shù)字之和最大為+4+9×6=60

555333乘積的各位數(shù)字之和為_____. 2007個(gè)3【分析】

555333 2007個(gè)3

5552007個(gè)5

999N999 2007個(gè)9 2007個(gè)9，N為整數(shù)，由結(jié)論可知乘積的各位數(shù)字之2007×9=180634. 將1至2008這2008個(gè)自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個(gè)多位數(shù)：1234567891011121320072008，試求這個(gè)多位數(shù)除以9的余數(shù).【分析】數(shù)，但是由于1999與1999被9除的余數(shù)相同，2000與2000被9除的余99，5. 九位數(shù)則所有這些九位數(shù)的最大公因數(shù)為．【分析】

本題的范圍很大，必須縮小入手點(diǎn)．涉及因數(shù)倍數(shù)問題，首先思考這類數(shù)本身具有的特點(diǎn)．因?yàn)?23945，所以無論次序如何，它們的數(shù)字之和總可以被9整除，因而9為所有這些九位數(shù)的公因數(shù)．99這362880個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)．6. 個(gè)．【分析】839的數(shù)字和后(即數(shù)字和的82倍)是9的倍數(shù)；而82,91，所以數(shù)字和是9的倍數(shù)，原數(shù)是839747的倍數(shù)，12第11級下超常體系教師版第五講依次檢驗(yàn)：74721494符合，而74732241和74742988均不符合．所以滿足條件的四位數(shù)只有1個(gè)．7. 在右邊的加法算式中，若每個(gè)字母均表示0到9中的一個(gè)數(shù)字，任意兩個(gè)字母表示的數(shù)字都不相同，也不與算式中已有的數(shù)字相同，則A與B乘積的最大值是多少？

CFDG10 AB【分析】因?yàn)镋CF9DG10AB，等號兩邊除以9的余數(shù)相等，所以等號兩邊的各個(gè)數(shù)字的和除以9的余數(shù)相等，而所有數(shù)字的和是9的倍數(shù)，所以兩邊都是9的倍數(shù)，即10AB是9的倍數(shù)，由于AB7815，所以AB8，再根據(jù)“和一定，差小積大”，所以A、B的取值為3、5時(shí)，A與B乘積的最大值是15．8. 在右面的加法豎式中如果不同的漢字代表不同的數(shù)使得算式成立 十六屆華杯初賽 【分析】一需要進(jìn)兩位，有兩種可能：9為了讓“華杯初賽”盡量大，“”應(yīng)盡量大，“十”應(yīng)盡量小(1)超常班學(xué)案第11級下超常體系教師版139減數(shù)，用豎式做減法運(yùn)算時(shí)，有兩次借位.那么甲乙兩數(shù)之差的各位數(shù)字之和是____.【分析】9-10+2×9=17【分析】根據(jù)棄九法可得知，乘積是310313171113，適當(dāng)組合可得知兩數(shù)為317217和1113143，和為360.【超常班學(xué)案3】將從1開始的到103的連續(xù)奇數(shù)依次排列寫成一個(gè)多位數(shù)：a=13579111315171921……9799101103.則數(shù)a共有_____位，數(shù)a除以9的余數(shù)是___.a6.所以，a被9除的余數(shù)是（7+6）被9除的余數(shù)，是4.【超常班學(xué)案4】將數(shù)字0-9填入下面十個(gè)方框內(nèi)，使等式成立，則共有_____種不同的填法.xy相同，只有x,y均為9的倍數(shù)時(shí)符合要求.再由數(shù)字謎的特點(diǎn)可知，1，0，9的位置固定，如下圖.CF9DG10AB.C+D=11=3+8=4+7有2種成立的情況.因此共有53!2!60種不同的填法.123班學(xué)案【123班學(xué)案1】用數(shù)字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9組成五個(gè)四位數(shù)，要求這5個(gè)數(shù)的和的各位數(shù)字都是奇數(shù)，那么這個(gè)和數(shù)最大是 14第11級下超常體系教師版 第五講【分析】由于一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)等于這個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)，那么這五個(gè)四位數(shù)的，．注：最值問題，需要證明出理論最值，之后構(gòu)造成功