小學(xué)數(shù)學(xué)講義暑假六年級(jí)超常第2講韓信點(diǎn)兵

第二講第二講韓信點(diǎn)兵知識(shí)站牌的最值級(jí)暑期的計(jì)數(shù)

六年級(jí)暑期信點(diǎn)兵級(jí)春季總結(jié)利用逐步滿(mǎn)足法解決問(wèn)題的相關(guān)技巧漫畫(huà)釋義第11級(jí)上超常體系教師版 課堂引入（又稱(chēng)“物不知數(shù)題”）編寫(xiě)而成的．原來(lái)的題目是：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問(wèn)物幾何？”通俗的說(shuō)就是：3個(gè)；七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)，也會(huì)剩下2個(gè)．這些物品的數(shù)量至少是多少個(gè)？在我們的“數(shù)海拾貝”版塊中，“版塊中，但至于怎么算的，無(wú)法考究，不過(guò)學(xué)完本講，你會(huì)發(fā)現(xiàn)解此題的最好最快的方法，你也會(huì)理解韓信說(shuō)出另一個(gè)答案的真正道理．那就進(jìn)入我們今天要學(xué)的課程吧．教學(xué)目標(biāo)1.理解“物不知數(shù)”這類(lèi)題目的實(shí)質(zhì)2.靈活運(yùn)用逐步滿(mǎn)足法解決“物不知數(shù)”這類(lèi)題目的相關(guān)技巧經(jīng)典精講“求這個(gè)數(shù)這樣的問(wèn)題有人稱(chēng)為韓信點(diǎn)兵．它形成了一類(lèi)問(wèn)題的方法是由中國(guó)人，“解決這一類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候我們有四大絕招把余數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為整除問(wèn)題絕招一：減同余．例如AaBbd,則有Nd[A,B]n，而N的最小值是N[A,B]d;絕招二：加同補(bǔ)．例如：AaBbe;則有Ne[A,B]n，而N的最小值是N[A,B]e;絕招三：中國(guó)剩余定理．絕招四：逐步滿(mǎn)足法．2第11級(jí)上超常體系教師版第二講例題思路模塊一：除數(shù)為兩個(gè)的韓信點(diǎn)兵問(wèn)題模塊二：除數(shù)為三個(gè)的韓信點(diǎn)兵問(wèn)題模塊三：除數(shù)為三個(gè)以上的韓信點(diǎn)兵問(wèn)題例8.除數(shù)與余數(shù)的差或和無(wú)關(guān)系例1()【分析】[4,7]331，[4,7]2359，[4,7]3387，例2【分析】根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)除數(shù)與余數(shù)的差都等于11813103，可知這個(gè)數(shù)加上3后就能同時(shí)被11和13整除，而11,13143，這個(gè)數(shù)又要在200以?xún)?nèi)，所以這個(gè)數(shù)是1433140．不足100名同學(xué)跳集體舞時(shí)有兩種組合：一種是中間一組5人，其他人按8人一組圍在外例3 以滿(mǎn)足前兩個(gè)條件的自然數(shù)為a835m，下一步只需要a除以9余4，35938，只需88m除以9余4，只需8m除以9余5，最小的m4，因此滿(mǎn)足所有條件的最小自然數(shù)為8354148第11級(jí)上超常體系教師版 例4按10塊一份來(lái)分，最后剩下4塊．這堆糖至少有 塊．（學(xué)案對(duì)應(yīng)：帶號(hào)2）知數(shù)《》“”：有物不知其數(shù)三三數(shù)之剩二五五數(shù)之剩三七七數(shù)之剩二問(wèn)物幾何即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)整數(shù)．宋朝數(shù)學(xué)家秦九韶于1247年《數(shù)書(shū)九章》卷一、二《大衍類(lèi)》做出了完整的解答．孫子歌三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一支七子團(tuán)圓正半月，百零五使得知倒數(shù)21，3和5的最小公倍數(shù)15相對(duì)于7的數(shù)論倒數(shù)15．然后702213152233便是可例5一個(gè)自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合條件的數(shù)．（學(xué)案對(duì)應(yīng)：超常3）【分析】方法一：我們先找出被3除余1的數(shù)：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；3，10，17，24，31，38，45，52，…；和1200之間．結(jié)果是10510521102．4第11級(jí)上超常體系教師版第二講與52，所以滿(mǎn)足前面兩個(gè)條件的a15m7(m為自然數(shù))，只需15m7除以7余3，即15m除以7余3，而15721，只需m除以7余3，m最小為3，所以滿(mǎn)足三個(gè)條件的最小自然數(shù)為315752，那么這個(gè)數(shù)在1000和1200之間，應(yīng)該是10510521102．例6（2008年“奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級(jí)試題）9 【分析】如果以這三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中的某一個(gè)為基礎(chǔ)，比如以中間的那個(gè)數(shù)為基礎(chǔ)，那么另外的4也可以采用中國(guó)剩余定理來(lái)解．方法一：逐步滿(mǎn)足法．除以4余1的數(shù)有：1，5，9，13，17，21，；除以9余8的數(shù)有：8，17，26，．可見(jiàn)同時(shí)滿(mǎn)足這兩條的數(shù)最小為17， 經(jīng)嘗試n4可見(jiàn)同時(shí)滿(mǎn)足這兩條17那么滿(mǎn)足除以4余1且除以9余8的數(shù)為1736n，要求1736n能被7整除的最最小為1613483．方法二：代數(shù)表示法．根據(jù)題意，設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為7k1、7k、7k1（k是整數(shù)），那么7k1是4的倍數(shù)，7k1是9的倍數(shù)，由于7k18kk1，7k19k2k1，所以k1是4的倍數(shù)，2k1是9的倍數(shù)，由k1是4的倍數(shù)知2k2是8的倍數(shù)，相應(yīng)地k最小為23，那么這三個(gè)自然數(shù)的和最小為7233483．方法三：用不定方程來(lái)解．設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為4a，7b，9c，那么由⑴得

b

由⑵得

7b1

bb1

是整數(shù)，b為5，14，23，32，．可見(jiàn)b最小為23，那么所求的三個(gè)自然數(shù)的和最小為7233483．方法四：中國(guó)剩余定理．一個(gè)數(shù)除以4余1，除以9余8，除以7余0，由于能被4、9整除且除以7余1以4 余1的數(shù)最小為[7,9]3189，根據(jù)中國(guó)剩余定理，所以413252161是滿(mǎn)足條件的最小數(shù)，那么所求的三個(gè)自然數(shù)的和最小為1613483．第11級(jí)上超常體系教師版 例7最小為 【分析

n加上1后變成116的公倍數(shù)，所以n1最小為169571113720720，n最小為720719．例8（學(xué)案對(duì)應(yīng)：帶號(hào)4）【分析】法一：3、5、7公倍數(shù)被11除余5，由此可知77069316510502678是符合條件的一個(gè)值，但不是最小值，3由于3、5、7、11的最小公倍數(shù)是1155，所以267811552368是符合條件的最小值．法二：對(duì)于這種題目，也可以先求滿(mǎn)足其中3個(gè)余數(shù)條件的，比如先求滿(mǎn)足除以3、5、7的余數(shù)余數(shù)條件的，從而其中最小的是263105253；由于53除以11的余數(shù)為9，105除以11的余數(shù)為6，可知96327除以11的余數(shù)為5，所以531053368是滿(mǎn)足條件的最小數(shù)．5、7的余數(shù)都是1，所以滿(mǎn)足前三個(gè)條件的數(shù)最小為(3571)253，后面的步驟與上面的解法相同．秦朝末年，楚漢相爭(zhēng)．一次，韓信率領(lǐng)1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)．苦戰(zhàn)一場(chǎng)，楚軍不敵，敗退回營(yíng)，漢軍也死傷四五百人，于是韓信整頓兵馬也返回大本營(yíng)．當(dāng)行至一山坡，忽有后軍來(lái)報(bào)，說(shuō)有楚軍騎兵追來(lái)．只見(jiàn)遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng)，殺聲震天．漢軍本來(lái)已十分疲憊，6第11級(jí)上超常體系教師版第二講附加題1. 少？【分析】法一：仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)321527，所以這個(gè)數(shù)可以看成被3、5、11除余7，3,5,11165，所以這個(gè)數(shù)最小是1657172．法二：事實(shí)上，如果沒(méi)有“大于10”這個(gè)條件，7即可符合條件，在7的基礎(chǔ)上加上3，5，2. 【分析】設(shè)最小的偶數(shù)為x,則有：x4a0(x2)9b0(x4)14c0

，即

x4a0x9b17

，滿(mǎn)足前兩個(gè)條件的所有數(shù)是1636n，只需

(28n)14c10，因此n1，所以最小的偶數(shù)是52，1623. 有連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)a、a1、a2，它們恰好分別是9、8、7的倍數(shù)，求這三個(gè)自然數(shù)中最小的數(shù)至少是多少【分析】法一：由a1是8的倍數(shù)，得到a被8除余7，由a2是7的倍數(shù)，得到a被7除余5，現(xiàn)在相當(dāng)也可以7和89的公倍數(shù)，可知45277898495是滿(mǎn)足各個(gè)余數(shù)條件的最小值，所以a至少是495．a(chǎn)27也分別是9、8、7的倍數(shù)，即a9是9、8、7的公倍數(shù)，那么a9的最小值是987504，即a至少是5049495．第11級(jí)上超常體系教師版 4. 有三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中最小的能被15整除，中間的能被17整除，最大的能被19整除，請(qǐng)寫(xiě)出一組這樣的三個(gè)連續(xù)自然數(shù)【分析】設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè)為n，則其余兩個(gè)自然數(shù)分別為n1，n2．依題意可知：15|n，17|n，19|n2，根據(jù)整除的性質(zhì)對(duì)這三個(gè)算式進(jìn)行變換：15|n 15|2n

[15,17,19]|2n15從上面可以發(fā)現(xiàn)2n15應(yīng)為15、17、19的公倍數(shù)．由于[15,17,19]4845，所以2n1548452k1(因?yàn)?n15是奇數(shù))，可得n4845k2415．當(dāng)k1時(shí)n2430，n12431，n22432，所以其中的一組自然數(shù)為2430、2431、2432．

有5000多根牙簽，可按六種規(guī)格分成小包．如果10根一包，那么最后還剩9根；如果9 【分析】設(shè)原有牙簽x根，如果添加1根牙簽，那么按六種規(guī)格分成小包時(shí)都恰好每包裝滿(mǎn)且無(wú)剩余，即(x1)是5、6、7、8、9、10的公倍數(shù)．于是(x1)是5、6、7、8、9、10的最小[5,6,7,8,9,10]22233572520．又已知x大于5000且小于6000，即5000＜x＜6000，因此x1252025040．所以x5039．6. 它除以2余數(shù)為1．請(qǐng)問(wèn)滿(mǎn)足上述條件的n的最小值是多少？【分析】n加上1后變成210的公倍數(shù)，所以n1最小為[10,8,9,7]2520，n最小為2519．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)我們?cè)诮鉀Q類(lèi)似“物不知其數(shù)”題，也就是出現(xiàn)一個(gè)數(shù)N除以A余a,除以B余b,除以C余c這一類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候有“四大絕招”把余數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為整除問(wèn)題絕招一：減同余．絕招二：加同補(bǔ)．絕招三：中國(guó)剩余定理．絕招四：逐步滿(mǎn)足法．8第11級(jí)上超常體系教師版第二講家庭作業(yè)1. 【分析】2，[3,7]223，[3,7]2345，[3,7]3366，[3,7]43872. 趙老師有30多張積分卡，如果平均分給5個(gè)同學(xué)，最后剩余3張；如果平均分給6個(gè)同學(xué)，最后剩余2張，那么趙老師有多少?gòu)埛e分卡？【分析】因?yàn)?362，所以趙老師共有8[5,6]38張積分卡．3. 下1個(gè)；如果每次取7個(gè)，最后剩下3個(gè)．這個(gè)布袋中至少有 個(gè)玻璃彈子③除以7余3．我們先找到滿(mǎn)足條件①、②的數(shù)76m，只需讓76m滿(mǎn)足條件③，即6m除以7余3，最小的m4，那么這個(gè)黑布袋中至少有31個(gè)玻璃彈子．4. 【分析】因?yàn)?1113310，所以滿(mǎn)足前兩個(gè)條件的自然數(shù)是[11,13]10133，結(jié)果133恰5. 即28適合前兩個(gè)條件．再用28依次加上30的倍數(shù)，由于28是7的倍數(shù)，30除以7的數(shù)是83541486. 【分析】設(shè)最小的偶數(shù)為x,則有：x5a0(x2)7b0(x4)11c0

，即

x5a0x7b15

，滿(mǎn)足前兩個(gè)條件的所有數(shù)是535n，只(535n)11c4，即

(52n)11c4，因此n1，所以最小的偶數(shù)是40，因此這三個(gè)偶數(shù)最小為40,42,447. 最后剩下1級(jí)；如果你每步跨3級(jí)，最后剩下2級(jí)；如果你每步跨5級(jí)，最后剩下4級(jí)；如果每步跨6級(jí)，最后剩下5級(jí)；只有當(dāng)你每步跨7級(jí)時(shí)，最后正好走完，1級(jí)不剩．這條階梯最少有 級(jí)．1這樣的數(shù)是：29，59，89，119，149，179，…，在這其中滿(mǎn)足條件(5)的最小數(shù)字是119，第11級(jí)上超常體系教師版 8. 知符合條件的最小偶數(shù)是368，所以只要將368加上35711就能求得符合條件的最小奇數(shù)，這個(gè)數(shù)是368357111523．超常班學(xué)案【分析】三位數(shù)中最小的是[4,7]43115，最大的三位數(shù)是[4,7]353983，因此共有354132個(gè)【超常班學(xué)案2】一個(gè)大于10的自然數(shù)，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么滿(mǎn)足條件的自然數(shù)最小為 【分析】根據(jù)總結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)中前兩個(gè)數(shù)的除數(shù)與余數(shù)的和都是53718，這樣我們可5數(shù)．而5,7,9315，所以這個(gè)數(shù)最小為3158323． 【分析】法一：逐步構(gòu)造符合條件的最小自然數(shù)，只需(1835m)3a2，即(02m)3a2，因此m1，所以所求的最小自然數(shù)就是53.余定理”，步驟如下：7的公倍數(shù)，分別是：15、21、70；因此符合條件的數(shù)是1542137022637的最小公倍數(shù)的若干倍，使結(jié)果小于最小公倍數(shù)．所以答案為：263105253．所以x(1051)253.【超常班學(xué)案4】一個(gè)自然數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，并且三個(gè)商數(shù)的和是570，求這個(gè)自然數(shù)．【分析】由于這個(gè)數(shù)被7，8，9除的余數(shù)分別是1，2，3，所以這個(gè)數(shù)加上6后能被7，8，9整除，而7,8,9504，所以這個(gè)數(shù)加上6后是504的倍數(shù)．由于這個(gè)數(shù)被7，8，9除的三10第11級(jí)上超常體系教師版第二講而504分別除以7、8、9所得的商之和是897879191，由于5731913，所以這個(gè)數(shù)加上6等于504的3倍，則這個(gè)數(shù)是504361506．123班學(xué)案【123班學(xué)案1】已知自然數(shù)A除以11余5，除以9余7，除以13余3，這個(gè)數(shù)最小是多少？的數(shù)．比較麻煩．實(shí)際上，觀察可知1159713316，也就是說(shuō)這個(gè)數(shù)減去16后是11、9、13的公倍數(shù)，那么