常數(shù)e的故事-課件完整版

e的故事-----一個(gè)常數(shù)的傳奇對(duì)數(shù)ln的誕生及性質(zhì)e的定義及意義對(duì)數(shù)螺線懸鏈問題e究竟是一個(gè)怎樣的數(shù)數(shù)學(xué)中五個(gè)最重要的常數(shù)：0、1、、π、ee是一個(gè)很出名的數(shù)字，但在大眾，遠(yuǎn)不如π來的有名。它不夠直觀，不像π可以表示半徑為1的圓的面積。很多人都不能給e下一個(gè)準(zhǔn)確的定義。我們知道科學(xué)計(jì)算器上總有個(gè)按紐上標(biāo)著ln，表示取以e為底的對(duì)數(shù)；大多數(shù)計(jì)算機(jī)編程語言的數(shù)學(xué)庫中總會(huì)提供一個(gè)exp函數(shù)，用于求e的冪；中學(xué)老師告訴我們e是自然對(duì)數(shù)的底；e是2.718281828459……但是e到底是什么？。為什么要選擇這么一個(gè)特殊數(shù)字命名為e？“萬物皆數(shù)?！薄呥_(dá)哥拉斯的座右銘大數(shù)的乘、除、開平方或開立方運(yùn)算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛、更阻礙計(jì)算者的了。這不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且容易出錯(cuò)。因此，我開始考慮怎樣消除這些障礙。經(jīng)過長期的思索，我終于找到了一些漂亮的簡短法則..”約翰·納皮爾個(gè)人簡介約翰·納皮爾（JohnNapier，1550～1617），蘇格蘭數(shù)學(xué)家、神學(xué)家，對(duì)數(shù)的發(fā)明者。

Napier出身貴族，于1550年在蘇格蘭愛丁堡附近的小鎮(zhèn)梅奇斯頓出生，是Merchiston城堡的第八代地主，未曾有過正式的職業(yè)。年輕時(shí)正值歐洲掀起宗教革命，他行旅其間，頗有感觸。蘇格蘭轉(zhuǎn)向新教，他也成了寫文章攻擊舊教（天主教）的急先鋒（主要文章于1593年寫成）。其時(shí)傳出天主教的西班牙要派無敵艦隊(duì)來攻打，Napier就研究兵器（包括拏炮、裝甲馬車、潛水艇等）準(zhǔn)備與其拚命。雖然Napier的兵器還沒制成，英國已把無敵艦隊(duì)擊垮，他還是成了英雄人物。對(duì)數(shù)的誕生約翰·納皮爾一生研究數(shù)學(xué)，以發(fā)明對(duì)數(shù)運(yùn)算而著稱。那時(shí)候天文學(xué)家TychoBrahe（第谷，1546～1601）等人做了很多的觀察，需要很多的計(jì)算，而且要算幾個(gè)數(shù)的連乘，因此苦不堪言。1594年，他為了尋求一種球面三角計(jì)算的簡便方法，運(yùn)用了獨(dú)特的方法構(gòu)造出對(duì)數(shù)方法。這讓他在數(shù)學(xué)史上被重重地記上一筆，然而完成此對(duì)數(shù)卻整整花了他20年的工夫。1614年6月在愛丁堡出版的第一本對(duì)數(shù)專著《奇妙的對(duì)數(shù)表的描述》中闡明了對(duì)數(shù)原理，后人稱為納皮爾對(duì)數(shù)：NaplogX。納皮爾對(duì)數(shù)發(fā)表后不久，就使倫敦的一位數(shù)學(xué)、天文學(xué)教授布立格斯（Briggs，1561—1631）感到震驚，由于他最先認(rèn)識(shí)到對(duì)數(shù)在數(shù)字計(jì)算中的極端重要性，故于1616年，他親自去蘇格蘭拜訪納皮爾，兩位數(shù)學(xué)家見面后十分高興，并進(jìn)行了較深入的學(xué)術(shù)討論，布立格斯建議可將對(duì)數(shù)作些改進(jìn)，以求更便于計(jì)算，這種改進(jìn)即相當(dāng)于改為以10為底的常用對(duì)數(shù)，對(duì)于這一方面，納皮爾本人雖然也考慮過，但還未來得及修改，于1617年4月4日即與世長辭了。在這種情況下，布立格斯即以其后半生的全部精力，來繼承納皮爾未竟的事業(yè)，并于1624年出版了《對(duì)數(shù)算術(shù)》一書，其內(nèi)容包括有1—20000和90000—100000的以10為底的14位的對(duì)數(shù)表，而20000—90000之間的數(shù)據(jù)，到1628年才由荷蘭數(shù)學(xué)家佛拉格（Vlacq，1600—1667）補(bǔ)足。對(duì)數(shù)是17世紀(jì)最重大的數(shù)學(xué)發(fā)明之一，恩格斯在他的著作《自然辯證法》中曾經(jīng)把笛卡兒的坐標(biāo)法、納皮爾的對(duì)數(shù)、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為“十七世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明”法國著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)說:“對(duì)數(shù)，可以縮短計(jì)算時(shí)間，在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”伽利略甚至說：“給我空間、時(shí)間及對(duì)數(shù)，我即可創(chuàng)造一個(gè)宇宙?！钡绞呤兰o(jì)中葉，對(duì)數(shù)即傳入我國，我國數(shù)學(xué)家對(duì)對(duì)數(shù)最有研究的應(yīng)首推清代數(shù)學(xué)家戴煦（1805—1860），著有《對(duì)數(shù)簡法》、《續(xù)對(duì)數(shù)簡法》、《假數(shù)測圓》，總稱為《求表捷術(shù)》，外國學(xué)者得知后，大為嘆服。這是我國數(shù)學(xué)史上的光輝一頁。

PS:素?cái)?shù)定理它由高斯發(fā)現(xiàn)，并被譽(yù)為整個(gè)數(shù)學(xué)中最著名的發(fā)現(xiàn)之一。至今人類未能找出一個(gè)產(chǎn)生所有素?cái)?shù)的簡單公式，也沒有找到求前n個(gè)自然數(shù)中所有素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的簡單公式。但是考察素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布規(guī)律時(shí)，卻找到了些許規(guī)律。高斯發(fā)現(xiàn)，在自然數(shù)n極大時(shí)，n與n之內(nèi)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的比值，近似等于ln(n)。n越大越接近。不過前者是兩個(gè)自然數(shù)的比值，是一個(gè)有理數(shù)；而ln(n)是一個(gè)無理數(shù)。兩者只會(huì)無限接近，而永遠(yuǎn)不會(huì)相等。素?cái)?shù)的分布的平均狀態(tài)居然可以用對(duì)數(shù)函數(shù)來描述，這太有趣了。兩個(gè)似乎無關(guān)的數(shù)學(xué)概念在事實(shí)上竟有如此緊密的聯(lián)系，真是讓人拍案稱奇。復(fù)利問題可自動(dòng)轉(zhuǎn)存的存款計(jì)息問題稱為復(fù)利問題。比如，某顧客向銀行存入本金p元，年利率為r，則n年后他在銀行的存款總額是本金與利息之和為P=p(1+r)n。

如果計(jì)息間隔縮短，比如每年結(jié)算m次,這樣一年下來的本金與利息之和為P=p(1+r/m)m。令r=1，則P=p(1+1/m)m它實(shí)際上給我們提供了一個(gè)關(guān)于數(shù)e的具體模型。令人意外的是，不曾研究對(duì)數(shù)的數(shù)學(xué)家雅各布.伯努利（JacobBernoulli，1645~1705）卻首次給出了數(shù)e的定義。他在1683年研究復(fù)利時(shí)，證明了當(dāng)n→∞時(shí)，有極限，指出這個(gè)極限在2～3之間。這個(gè)極限值就是后來人們稱之為e的數(shù)。當(dāng)然雅各布并沒有認(rèn)識(shí)到這個(gè)極限與對(duì)數(shù)的關(guān)系，也沒有把兩者聯(lián)系在一起。數(shù)e的發(fā)現(xiàn)數(shù)e作為一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)第一次被正式提出，是在1690年。德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz，1646～1716）在寫給惠更斯(Huygens，1629~1695)的信中，提出了這個(gè)常數(shù)。但他把它記為b，而不是e。把這個(gè)常數(shù)記作e、并對(duì)它作了全面深入研究的數(shù)學(xué)家是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707-1783）。他從1727年就開始研究它，并記之為e。他得到了眾多的發(fā)現(xiàn)。在1748年出版的書《無窮小分析引論》中，他把自己的發(fā)現(xiàn)作了完整的敘述與總結(jié)。他同樣把數(shù)e定義為極限

n,并證明了他取了上述公式的20項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，給出了數(shù)e的前18位：

e≈2.718281828459045235。他定義了以e為底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(即自然對(duì)數(shù))，此外他還給出了和以e為底的指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，以及它們的連分?jǐn)?shù)展開式。

最難能可貴的是借助于e，他證明了著名公式：eix=cosx+isinx，被稱作歐拉公式。自Euler之后，以e為底的指數(shù)函數(shù)與以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)開始進(jìn)入了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，成為分析學(xué)不可缺少的工具。附帶指出，有一些人誤以為這里的字母e是人們?yōu)榱思o(jì)念歐拉，才使用了他的名字的第一個(gè)字母。其實(shí)不然，是歐拉自己首先使用這個(gè)記號(hào)，而后來的人只是跟隨了他而已。人們猜測歐拉使用e的原因，可能是由于字母e是“exponential”(指數(shù))的第一個(gè)字母的緣故。當(dāng)然，也可能是其他原因。但有一點(diǎn)可以肯定，他使用e與自己的名字無關(guān)，因?yàn)槿藗冎罋W拉是個(gè)十分謙遜的人。數(shù)e的發(fā)現(xiàn)與廣泛使用，在數(shù)學(xué)的發(fā)展中曾起了重要作用。以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex及以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx，自歐拉之后，便成為基本初等函數(shù),在分析學(xué)以及其他應(yīng)用領(lǐng)域中扮演著重要角色。在微積分的發(fā)展中，數(shù)e的引入與自然對(duì)數(shù)的建立的最大“功績”.如果沒有數(shù)e，整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌就不會(huì)像今天這樣多姿多彩。

幾何中e的定義跟π一樣，e也可以從幾何上給出一個(gè)直觀的表示。不過這個(gè)圖形不沒有圓那么容易畫出來。我們需要作f(x)=1/x的函數(shù)圖象，是一個(gè)雙曲線。在第一象限，從x=1到x=e之間，曲線和坐標(biāo)軸之間所夾的面積正好的單位1。對(duì)數(shù)螺線對(duì)數(shù)螺線是一根無止盡的螺線，它永遠(yuǎn)向著極繞，越繞越靠近極，但又永遠(yuǎn)不能到達(dá)極。據(jù)說，使用最精密的儀器也看不到一根完全的對(duì)數(shù)螺線，這種圖形只存在科學(xué)家的假想中。螺線特別是對(duì)數(shù)螺線的美學(xué)意義可以用指數(shù)的形式來表達(dá)：ρ=αekφ其中，α和k為常數(shù)，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對(duì)數(shù)的底。為了討論方便，我們把e或由e經(jīng)過一定變換和復(fù)合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值為2.71828……，是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。定理

對(duì)數(shù)螺線的臂的距離以幾何級(jí)數(shù)遞增。對(duì)數(shù)螺線是自我相似的；這即是說，對(duì)數(shù)螺線經(jīng)放大后可與原圖完全相同。對(duì)數(shù)螺線的漸屈線和垂足線都是對(duì)數(shù)螺線。從原點(diǎn)到對(duì)數(shù)螺線的任意點(diǎn)上的長度有限，但由那點(diǎn)出發(fā)沿對(duì)數(shù)螺線走到原點(diǎn)卻需繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)無限次。因其完美的形狀特點(diǎn)，對(duì)數(shù)螺線在自然界中最為普遍存在自然界中的對(duì)數(shù)螺線雅各布第一·伯努利家族：伯努利家族（17～18世紀(jì)）Bernoullifamily在一個(gè)家族中，代代相傳，人才輩出，連續(xù)出過十余位數(shù)學(xué)家，堪稱是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)奇跡．瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族（17—18世紀(jì)）就創(chuàng)造了這樣一個(gè)神話．伯努利家族，原籍比利時(shí)安特衛(wèi)普．1583年遭天主教迫害遷往德國法蘭克福，最后定居瑞士巴塞爾．其中以雅各布第一·伯努利，約翰第一·伯努利，丹尼爾第一·伯努利這三人的成就最大。雅各布（1654——1705）他分別于1671和1676年獲得藝術(shù)碩士和神學(xué)碩士學(xué)位，但他對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，他的數(shù)學(xué)幾乎是無師自通的．1676年，他到荷蘭、英國、德國、法國等地旅行，結(jié)識(shí)了萊布尼茨、惠更斯等著名科學(xué)家，從此與萊布尼茨一直保持經(jīng)常的通訊聯(lián)系，互相探討微積分的有關(guān)問題．1687回國后，雅各布擔(dān)任巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授，教授實(shí)驗(yàn)物理和數(shù)學(xué)，直至去世．由于雅各布杰出的科學(xué)成就，1699年，雅各布當(dāng)選為巴黎科學(xué)院外籍院士；1701年被柏林科學(xué)協(xié)會(huì)（后為柏林科學(xué)院）接納為會(huì)員．研究成果雅各布在概率論、微分方程、無窮級(jí)數(shù)求和、變分方法、解析幾何等方面均有很大建樹．許多數(shù)學(xué)成果與雅各布的名字相聯(lián)系．例如懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周問題”（1700年），“伯努利數(shù)”、“伯努利大數(shù)定理”等．雅各布對(duì)數(shù)學(xué)最重大的貢獻(xiàn)是概率論．他從1685年起發(fā)表關(guān)于賭博游戲中輸贏次數(shù)問題的論文，后來寫成巨著《猜度術(shù)》，這本書在他死后8年，即1713年才得以出版．軼事最為人們津津樂道的軼事之一，是雅各布癡心于研究對(duì)數(shù)螺線，他發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)螺線經(jīng)過各種變換后仍然是對(duì)數(shù)螺線：如它的漸屈線和漸伸線是對(duì)數(shù)螺線，自極點(diǎn)至切線的垂足的軌跡，以極點(diǎn)為發(fā)光點(diǎn)經(jīng)對(duì)數(shù)螺線反射后得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對(duì)數(shù)螺線．他驚嘆這種曲線的神奇，竟在遺囑里要求后人將對(duì)數(shù)螺線刻在自己的墓碑上，并附以頌詞“縱然變化，依然故我”，用以象征死后永生不朽．（ex+e-x)/2:懸掛的鉤子1659年，克里斯蒂安－惠更斯尋求這樣一條曲線：沿著曲線，一個(gè)物體在重力的作用下從曲線上的任一點(diǎn)開始下降，都會(huì)花同樣的時(shí)間到達(dá)曲線底部。他用幾何的方法顯示該曲線是一條擺線。于是他運(yùn)用這個(gè)觀念設(shè)計(jì)了一個(gè)走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘。這種設(shè)計(jì)有時(shí)被稱為等時(shí)線或等時(shí)曲線。1690年，雅各布在《博學(xué)學(xué)報(bào)》上用微分方程以及分析的方法證明了惠更斯的結(jié)論，并提出一個(gè)相關(guān)的問題：在高度相同的固定兩點(diǎn)之間懸掛一條易彎曲但無彈性的線，求所得曲線的形狀。13個(gè)月后，該問題被萊布尼茲、惠更斯和約翰解決，答案是一種稱為懸鏈線的曲線。雅各布卻聲稱弟弟給出答案后，他進(jìn)一步研究了該問題的一些變化形式，如繩子厚度和質(zhì)量不均勻的情況，這些問題他都解決了。約翰則強(qiáng)調(diào)他能解決懸鏈線問題而他的哥哥不能，在27年后給他的朋友的一封信中說道：“我得到結(jié)果后到哥哥那去，他還在痛苦地思索，認(rèn)為懸鏈線是拋物線，我對(duì)他說你完全錯(cuò)了。但你卻斷定我哥哥找到了解決問題的方法，這讓我非常驚訝，我問你，你真得這樣認(rèn)為？”1696年約翰在