微積分第四版微分方程與差分方程簡介課件

第九章微分方程與差分方程簡介第九章微分方程與1第一節(jié)微分方程的一般概念在工程技術，力學與物理學等自然科學以及經濟學與管理學等各個領域中，經常需要確定變量間的函數關系.在很多情況下，必須建立不僅包含這些函數本身，而且還包含著這些函數的導數或微分的方程或方程組才有可能確定這些函數關系，這樣的方程就是微分方程.在本章中將要介紹微分方程的一些基本概念，還要學習最重要的幾類一階微分方程與二階常系數線性微分方程的解法以及它們的簡單應用.第一節(jié)微分方程的一般概念在工程技術，力學與物理學等自2定義含有自變量，自變量的未知函數以及未知函數的若干階導數或微分的函數方程稱為微分方程.定義出現在微分方程中的未知函數的最高階導數或微分的階數，稱為微分方程的階.未知函數是一元函數的微分方程稱為常微分方程，未知函數是多元函數的微分方程稱為偏微分方程.在本書中只討論常微分方程，如下例：一階二階一階定義含有自變量，自變量的未知函數以及未知函數的若干階導數3定義使方程成為恒等式的函數稱微分方程的解。微分方程的解的分類：(1)通解：微分方程的解中含有任意常數,且獨立任意常數的個數與微分方程的階數相同。(2)特解：不含任意常數的解。定解條件：用來確定任意常數的條件。定義使方程成為恒等式的函數稱微分方程的解。微分方程的解的4初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數及其若干階導數在某一點處的取值。過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線。初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題。初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數及其若干階導數在某一點處的5解例設曲線通過點(1,3),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程。設曲線方程為根據題意知(1,3)解例設曲線通過點(1,3),且其上任一點處的切線斜率6第二節(jié)一階微分方程引例微分方程兩邊積分即可。分離變量，改寫成兩邊積分，通解為(一)可分離變量的一階微分方程第二節(jié)一階微分方程引例微分方程兩邊積分即可。分離變量，改7(一)可分離變量的一階微分方程為微分方程的通解。兩邊積分,為可分離變量的方程。稱則第二節(jié)一階微分方程(一)可分離變量的一階微分方程為微分方程的通解。兩邊積分,為8可分離的微分方程的解法

(1)分離變量

g(y)dyf(x)dx

(2)兩邊同時積分

其中c是任意常數

這就是可分離變量微分方程的通解

可分離的微分方程的解法其中c是任意常數這就是可分離變量9解例解例10解可簡寫為：例解可簡寫為：例11解練習解練習12解例解例13為所求通解.解例為所求通解.解例14解例分離變量，兩邊積分通解為

所求特解為數學建模解例分離變量，兩邊積分通解為所求特解為數學建模15(二)齊次方程的微分方程稱為齊次方程。形如例如可化為可化為(二)齊次方程的微分方程稱為齊次方程。形如例如可化為可化為16齊次方程的解法

齊次方程的解法17例解此題不能分離變量,

是齊次方程,例解此題不能分離變量,是齊次方程,18例解原方程變形為

例解原方程變形為19微積分第四版微分方程與差分方程簡介課件20練習解是齊次方程,原方程變形為

練習解是齊次方程,原方程變形為21微積分第四版微分方程與差分方程簡介課件22(三)一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式:上述方程稱為齊次的.上述方程稱為非齊次的.例如線性的,非齊次非線性的.(三)一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式:上述方程稱23齊次方程的通解為1、線性齊次方程一階線性微分方程的解法：使用分離變量法齊次方程的通解為1、線性齊次方程一階線性微分方程的解法：使用242、線性非齊次方程常數變易法：作變換積分得所以原方程的通解為:2、線性非齊次方程常數變易法：作變換積分得所以原方程的通解為25解例通解為

解例通解為26解例通解為

解例通解為27解方程改寫為所以所求解為

一階線性方程，例解方程改寫為所以所求解為一階線性方程，例28解這是一階線性微分方程，通解為

練習解這是一階線性微分方程，通解為練習29解例解例30數學建模--價格調整模型

設某商品的價格主要取決于市場供求關系，或者說供給量S與需求量D只與該商品的價格p有關。設數學建模--價格調整模型設某商品的價格主要取決于市場供求關31其中k為正的常數，用來反映價格的調整速度。

于是上述價格調整模型的解為其中k為正的常數，用來反映價格的調整速度。于是上述價格32第三節(jié)幾種二階微分方程(一)最簡單的二階微分方程解例解法：兩邊積分兩次即可。形如積分一次得再積分一次，得通解為第三節(jié)幾種二階微分方程(一)最簡單的二階微分方程解例解法33(二)一階微分方程解例(二)一階微分方程解例34解練習這是一階線性微分方程，通解為

所以原方程通解為解練習這是一階線性微分方程，通解為所以原方程通解為35(三)把y

視為自變量(三)把y視為自變量36解例代入原方程,得

積分得通解為

解例代入原方程,得積分得通解為37積分得通解為

本題還可用下面的簡單解法：解例積分得通解為本題還可用下面的簡單解法：解例38解練習代入原方程,得

解練習代入原方程,得39微積分第四版微分方程與差分方程簡介課件40第四節(jié)二階常系數線性微分方程二階常系數線性齊次微分方程其中p,q是常數.二階常系數線性非齊次微分方程第四節(jié)二階常系數線性微分方程二階常系數線性齊次微分方程其41(一)二階常系數齊次線性方程解的性質及求解法1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；證所以(一)二階常系數齊次線性方程解的性質及求解法1、方程(1)的422、方程(1)的任意一個解的常數倍仍是(1)的解。證所以(一)二階常系數齊次線性方程解的性質及求解法1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一個解的常數倍仍是(1)的解。證所以(一43也是(1)的解，(稱線性無關),則上式為(1)的通解.定理12、方程(1)的任意一個解的常數倍仍是(1)的解。(一)二階常系數齊次線性方程解的性質及求解法1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；也是(1)的解，(稱線性無關),則上式為(1)的通解.定理144代數方程(3)稱為微分方程(1)的特征方程，它的根稱為特征根.

代數方程(3)稱為微分方程(1)的特征方程，它的根稱為特征根45情形1

則特征方程(3)有兩個相異的實根

故它們線性無關,

因此(1)的通解為

情形1則特征方程(3)有兩個相異的實根故它們線性無關,46情形2

需要求另一個特解則特征方程(3)有兩個相等的實根

于是(1)的通解為

情形2需要求另一個特解則特征方程(3)有兩個相等的實根于47由歐拉公式知，情形3

則特征方程(3)有一對共軛復根

仍然是(1)的解,

且線性無關,

所以方程(1)的通解為

由疊加原理,

由歐拉公式知，情形348二階常系數線性齊次微分方程的解法：特征方程特征根的情況通解的表達式二階常系數線性齊次微分方程的解法：特征方程特征根的情況通解49解特征方程為故所求通解為例例解特征方程為解得故所求通解為特征根為解特征方程為故所求通解為例例解特征方程為解得故所求通解為特征50解特征方程為故通解為例特征根為解特征方程為故通解為例特征根為51訓練：求下列微分方程的通解解解方程通解為特征方程特征根解通解為通解為訓練：求下列微分方程的通解解解方程通解為特征方程特征根解通解52(二)二階常系數非齊次線性方程解的性質及解法1、方程(2)的任意兩個解的差是(1)的解；證所以(二)二階常系數非齊次線性方程解的性質及解法1、方程(2)的532、方程(1)的一個解加上方程(2)的一個解是(2)的解.證所以(二)二階常系數非齊次線性方程解的性質及解法2、方程(1)的一個解加上方程(2)的一個解是(2)的解.證54對應齊次方程定理2那么方程(2)的通解為問題歸結為求方程(2)的一個特解。只討論

f

(x)的兩種類型。用待定系數法求解。二階常系數非齊次線性方程的解法：對應齊次方程定理2那么方程(2)的通解為問題歸結為求方程(255則則56情形1

若λ

不是特征根,

即情形2

若λ

是特征方程的單根,即情形1若λ不是特征根,即情形2若λ是特征方程的單根57情形3

若λ是特征方程的二重根,即情形3若λ是特征方程的二重根,即58綜上討論設特解為其中綜上討論設特解為其中59解對應齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得

設特解為解對應齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得設特解為60解對應齊次方程通解特征方程特征根練習代入原方程,得

設特解為解對應齊次方程通解特征方程特征根練習代入原方程,得設特解為61例解例解62解對應齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以設特解為解對應齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以設特解63注意：現即即得這樣比代入原方程要簡便得多。解對應齊次方程通解特征方程特征根例所以設特解為注意：現即即得這樣比代入原方程要簡便得多。解對應齊次方程通解64訓練：求下列微分方程的通解解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得訓練：求下列微分方程的通解解對應齊次方程通解特征方程特征根代65解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得66解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得67可以證明，方程(2)具有如下形式的特解：可以證明，方程(2)具有如下形式的特解：68解例所求通解為

對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解為對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得69解例所求通解為

對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解為對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得70訓練解對應齊次方程的通解為

所以設特解為訓練解對應齊次方程的通解為所以設特解為71第五節(jié)差分方程的一般概念微分方程刻劃了自變量

x是連續(xù)變化的過程中變量

y的變化率，在現代科學技術和經濟領域中，有些自變量往往不是連續(xù)變化的，而是取一系列離散的值,例如按年、月、日等，此時要描述這種自變量是離散的變化關系就是本節(jié)要介紹的差分方程。顯然微分方程和差分方程是兩類不同的方程，但它們有許多共同點，因此與微分方程對照，采用類比的方法是學習差分方程有效的方法。第五節(jié)差分方程的一般概念微分方程刻劃了自變量x是72(一)差分概念

一階差分：三階差分：(一)差分概念一階差分：三階差分：73一般地，k

階差分定義為例1一般地，k階差分定義為例174(二)差分方程的一般概念

定義(二)差分方程的一般概念定義75差分方程的解：定義若一個函數代入差分方程后，方程兩邊恒等，則稱此函數為該差分方程的解。若差分方程的解中含有相互獨立的任意常數且個數恰好等于差分方程的階數，則稱該解為差分方程的通解。差分方程滿足初始條件的解稱為該問題的特解。差分方程的解：定義若一個函數代入差分方程后，方程兩邊恒76第六節(jié)一階和二階常系數線性差分方程(一)一階常系數線性差分方程標準形式時有定義。為一階常系數齊次線性差分方程，否則，稱為一階常系數非齊次線性差分方程。(1)(2)(2)稱為(1)對應的齊次線性差分方程。第六節(jié)一階和二階常系數線性差分方程(一)一階常系數線性差分77(1)(2)不難證明，(2)的通解為C為任意常數.可以證明,一階常系數線性差分方程的通解與一階線性微分方程有相同的結構，即有定理(一階常系數線性差分方程通解的結構)一階常系數線性差分方程(1)的通解可表示為(1)(2)不難證明，(2)的通解為C為任意常數.78當

f(x)是多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和差或乘積時，一般可用待定系數法求(2)的一個特解.討論三種情形：情形1情形2情形3當f(x)是多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以79例1的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數.例1的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數.80代入方程得例2的通解.解沒有這樣的特解。代入方程得例2的通解.解沒有這樣的特解。81例2的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數.例2的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數.82系數

a

的取值系數a的取值83代入方程得例3解得特解為從而通解為C為任意常數.代入方程得例3解得特解為從而通解為C為任意常數.84代入方程得不存在這樣的特解。例4解代入方程得不存在這樣的特解。例4解85代入方程得例4解得特解為從而通解為C為任意常數.代入方程得例4解得特解為從而通解為C為任意常數.86d與系數

a

的關系d與系數a的關系87代入方程得例5解得特解為通解為C為任意常數。代入方程得例5解得特解為通解為C為任意常數。88如果所給差分方程不是標準形式的，必須首先把它化為標準形式才能應用上面給出的通解公式和選取特解的有關結論.如果所給差分方程不是標準形式的，必須首先把它化為標準89(二)二階常系數線性差分方程標準形式時有定義.為二階常系數齊次線性差分方程，否則，稱為二階常系數非齊次線性差分方程.(1)(2)(2)稱為(1)對應的齊次線性差分方程.(二)二階常系數線性差分方程標準形式時有定義.為二階常90二階常系數齊次差分線性方程解的性質1、方程(2)的任意兩個解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一個解的常數倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(稱線性無關),則上式為(2)的通解.定理1(2)二階常系數齊次差分線性方程解的性質1、方程(2)的任意兩個解91對應齊次方程二階常系數非齊次線性差分方程解的性質1、方程(1)的任意一個解加上方程(2)的任意一個解是(1)的解；2、方程(1)的任意兩個解之差是(2)的解

。定理2那么方程(1)的通解為(1)(2)對應齊次方程二階常系數非齊次線性差分方程解的性質1、方程(192二階常系數齊次線性差分方程的解法代數方程(3)稱為差分方程(2)的特征方程,它的根稱為特征根(或特征值).

(3)(2)二階常系數齊次線性差分方程的解法代數方程(3)稱為差93故它們線性無關,

因此(2)的通解為

(3)情形1

故它們線性無關,因此(2)的通解為(3)情形194情形2

則特征方程(3)有兩個相等的實根

于是(2)的通解為

情形2則特征方程(3)有兩個相等的實根于是(2)的通解為95情形3

可以證明,是(2)的解，且線性無關，所以方程(2)的通解為

則特征方程(3)有一對共軛復根

其中情形3可以證明,是(2)的解，且線性無關，所以方程(2)的96小結特征根的情況通解的表達式實根實根復根小結特征根的情況通解的表達式實根實根復根97解特征方程為故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為特征根為解特征方程為故所求通解為例1例2解特征方程為解得故所求通解為98解特征方程為故所求通解為例3解特征方程為故所求通解為例399二階常系數非齊次線性差分方程的解法(1)對應齊次方程那么方程(1)的通解為(2)問題歸結為求方程(1)的一個特解。用待定系數法求解。二階常系數非齊次線性差分方程的解法(1)對應齊次方程那么方程100微積分第四版微分方程與差分方程簡介課件101解已求出對應齊次方程的通解為故原方程通解為例4代入原差分方程得解已求出對應齊次方程的通解為故原方程通解為例4代入原差分方程102解已求出對應齊次方程的通解為故原方程通解為例5代入原差分方程得解已求出對應齊次方程的通解為故原方程通解為例5代入原差分方程103解所以對應齊次方程的通解為故原方程通解為例6代入原差分方程得特征方程為特征根為解所以對應齊次方程的通解為故原方程通解為例6代入原差分方程得104解所以對應齊次方程的通解為故原方程通解為例7代入原差分方程得特征方程為特征根為解所以對應齊次方程的通解為故原方程通解為例7代入原差分方程得105ENDENDENDEND106第九章微分方程與差分方程簡介第九章微分方程與107第一節(jié)微分方程的一般概念在工程技術，力學與物理學等自然科學以及經濟學與管理學等各個領域中，經常需要確定變量間的函數關系.在很多情況下，必須建立不僅包含這些函數本身，而且還包含著這些函數的導數或微分的方程或方程組才有可能確定這些函數關系，這樣的方程就是微分方程.在本章中將要介紹微分方程的一些基本概念，還要學習最重要的幾類一階微分方程與二階常系數線性微分方程的解法以及它們的簡單應用.第一節(jié)微分方程的一般概念在工程技術，力學與物理學等自108定義含有自變量，自變量的未知函數以及未知函數的若干階導數或微分的函數方程稱為微分方程.定義出現在微分方程中的未知函數的最高階導數或微分的階數，稱為微分方程的階.未知函數是一元函數的微分方程稱為常微分方程，未知函數是多元函數的微分方程稱為偏微分方程.在本書中只討論常微分方程，如下例：一階二階一階定義含有自變量，自變量的未知函數以及未知函數的若干階導數109定義使方程成為恒等式的函數稱微分方程的解。微分方程的解的分類：(1)通解：微分方程的解中含有任意常數,且獨立任意常數的個數與微分方程的階數相同。(2)特解：不含任意常數的解。定解條件：用來確定任意常數的條件。定義使方程成為恒等式的函數稱微分方程的解。微分方程的解的110初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數及其若干階導數在某一點處的取值。過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線。初值問題：求微分方程滿足初始條件的解的問題。初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數及其若干階導數在某一點處的111解例設曲線通過點(1,3),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程。設曲線方程為根據題意知(1,3)解例設曲線通過點(1,3),且其上任一點處的切線斜率112第二節(jié)一階微分方程引例微分方程兩邊積分即可。分離變量，改寫成兩邊積分，通解為(一)可分離變量的一階微分方程第二節(jié)一階微分方程引例微分方程兩邊積分即可。分離變量，改113(一)可分離變量的一階微分方程為微分方程的通解。兩邊積分,為可分離變量的方程。稱則第二節(jié)一階微分方程(一)可分離變量的一階微分方程為微分方程的通解。兩邊積分,為114可分離的微分方程的解法

(1)分離變量

g(y)dyf(x)dx

(2)兩邊同時積分

其中c是任意常數

這就是可分離變量微分方程的通解

可分離的微分方程的解法其中c是任意常數這就是可分離變量115解例解例116解可簡寫為：例解可簡寫為：例117解練習解練習118解例解例119為所求通解.解例為所求通解.解例120解例分離變量，兩邊積分通解為

所求特解為數學建模解例分離變量，兩邊積分通解為所求特解為數學建模121(二)齊次方程的微分方程稱為齊次方程。形如例如可化為可化為(二)齊次方程的微分方程稱為齊次方程。形如例如可化為可化為122齊次方程的解法

齊次方程的解法123例解此題不能分離變量,

是齊次方程,例解此題不能分離變量,是齊次方程,124例解原方程變形為

例解原方程變形為125微積分第四版微分方程與差分方程簡介課件126練習解是齊次方程,原方程變形為

練習解是齊次方程,原方程變形為127微積分第四版微分方程與差分方程簡介課件128(三)一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式:上述方程稱為齊次的.上述方程稱為非齊次的.例如線性的,非齊次非線性的.(三)一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式:上述方程稱129齊次方程的通解為1、線性齊次方程一階線性微分方程的解法：使用分離變量法齊次方程的通解為1、線性齊次方程一階線性微分方程的解法：使用1302、線性非齊次方程常數變易法：作變換積分得所以原方程的通解為:2、線性非齊次方程常數變易法：作變換積分得所以原方程的通解為131解例通解為

解例通解為132解例通解為

解例通解為133解方程改寫為所以所求解為

一階線性方程，例解方程改寫為所以所求解為一階線性方程，例134解這是一階線性微分方程，通解為

練習解這是一階線性微分方程，通解為練習135解例解例136數學建模--價格調整模型

設某商品的價格主要取決于市場供求關系，或者說供給量S與需求量D只與該商品的價格p有關。設數學建模--價格調整模型設某商品的價格主要取決于市場供求關137其中k為正的常數，用來反映價格的調整速度。

于是上述價格調整模型的解為其中k為正的常數，用來反映價格的調整速度。于是上述價格138第三節(jié)幾種二階微分方程(一)最簡單的二階微分方程解例解法：兩邊積分兩次即可。形如積分一次得再積分一次，得通解為第三節(jié)幾種二階微分方程(一)最簡單的二階微分方程解例解法139(二)一階微分方程解例(二)一階微分方程解例140解練習這是一階線性微分方程，通解為

所以原方程通解為解練習這是一階線性微分方程，通解為所以原方程通解為141(三)把y

視為自變量(三)把y視為自變量142解例代入原方程,得

積分得通解為

解例代入原方程,得積分得通解為143積分得通解為

本題還可用下面的簡單解法：解例積分得通解為本題還可用下面的簡單解法：解例144解練習代入原方程,得

解練習代入原方程,得145微積分第四版微分方程與差分方程簡介課件146第四節(jié)二階常系數線性微分方程二階常系數線性齊次微分方程其中p,q是常數.二階常系數線性非齊次微分方程第四節(jié)二階常系數線性微分方程二階常系數線性齊次微分方程其147(一)二階常系數齊次線性方程解的性質及求解法1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；證所以(一)二階常系數齊次線性方程解的性質及求解法1、方程(1)的1482、方程(1)的任意一個解的常數倍仍是(1)的解。證所以(一)二階常系數齊次線性方程解的性質及求解法1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一個解的常數倍仍是(1)的解。證所以(一149也是(1)的解，(稱線性無關),則上式為(1)的通解.定理12、方程(1)的任意一個解的常數倍仍是(1)的解。(一)二階常系數齊次線性方程解的性質及求解法1、方程(1)的任意兩個解的和仍是(1)的解；也是(1)的解，(稱線性無關),則上式為(1)的通解.定理1150代數方程(3)稱為微分方程(1)的特征方程，它的根稱為特征根.

代數方程(3)稱為微分方程(1)的特征方程，它的根稱為特征根151情形1

則特征方程(3)有兩個相異的實根

故它們線性無關,

因此(1)的通解為

情形1則特征方程(3)有兩個相異的實根故它們線性無關,152情形2

需要求另一個特解則特征方程(3)有兩個相等的實根

于是(1)的通解為

情形2需要求另一個特解則特征方程(3)有兩個相等的實根于153由歐拉公式知，情形3

則特征方程(3)有一對共軛復根

仍然是(1)的解,

且線性無關,

所以方程(1)的通解為

由疊加原理,

由歐拉公式知，情形3154二階常系數線性齊次微分方程的解法：特征方程特征根的情況通解的表達式二階常系數線性齊次微分方程的解法：特征方程特征根的情況通解155解特征方程為故所求通解為例例解特征方程為解得故所求通解為特征根為解特征方程為故所求通解為例例解特征方程為解得故所求通解為特征156解特征方程為故通解為例特征根為解特征方程為故通解為例特征根為157訓練：求下列微分方程的通解解解方程通解為特征方程特征根解通解為通解為訓練：求下列微分方程的通解解解方程通解為特征方程特征根解通解158(二)二階常系數非齊次線性方程解的性質及解法1、方程(2)的任意兩個解的差是(1)的解；證所以(二)二階常系數非齊次線性方程解的性質及解法1、方程(2)的1592、方程(1)的一個解加上方程(2)的一個解是(2)的解.證所以(二)二階常系數非齊次線性方程解的性質及解法2、方程(1)的一個解加上方程(2)的一個解是(2)的解.證160對應齊次方程定理2那么方程(2)的通解為問題歸結為求方程(2)的一個特解。只討論

f

(x)的兩種類型。用待定系數法求解。二階常系數非齊次線性方程的解法：對應齊次方程定理2那么方程(2)的通解為問題歸結為求方程(2161則則162情形1

若λ

不是特征根,

即情形2

若λ

是特征方程的單根,即情形1若λ不是特征根,即情形2若λ是特征方程的單根163情形3

若λ是特征方程的二重根,即情形3若λ是特征方程的二重根,即164綜上討論設特解為其中綜上討論設特解為其中165解對應齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得

設特解為解對應齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得設特解為166解對應齊次方程通解特征方程特征根練習代入原方程,得

設特解為解對應齊次方程通解特征方程特征根練習代入原方程,得設特解為167例解例解168解對應齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以設特解為解對應齊次方程通解特征方程特征根例代入原方程,得所以設特解169注意：現即即得這樣比代入原方程要簡便得多。解對應齊次方程通解特征方程特征根例所以設特解為注意：現即即得這樣比代入原方程要簡便得多。解對應齊次方程通解170訓練：求下列微分方程的通解解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得訓練：求下列微分方程的通解解對應齊次方程通解特征方程特征根代171解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得172解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得解對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得173可以證明，方程(2)具有如下形式的特解：可以證明，方程(2)具有如下形式的特解：174解例所求通解為

對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解為對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得175解例所求通解為

對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得

解例所求通解為對應齊次方程通解特征方程特征根代入原方程,得176訓練解對應齊次方程的通解為

所以設特解為訓練解對應齊次方程的通解為所以設特解為177第五節(jié)差分方程的一般概念微分方程刻劃了自變量

x是連續(xù)變化的過程中變量

y的變化率，在現代科學技術和經濟領域中，有些自變量往往不是連續(xù)變化的，而是取一系列離散的值,例如按年、月、日等，此時要描述這種自變量是離散的變化關系就是本節(jié)要介紹的差分方程。顯然微分方程和差分方程是兩類不同的方程，但它們有許多共同點，因此與微分方程對照，采用類比的方法是學習差分方程有效的方法。第五節(jié)差分方程的一般概念微分方程刻劃了自變量x是178(一)差分概念

一階差分：三階差分：(一)差分概念一階差分：三階差分：179一般地，k

階差分定義為例1一般地，k階差分定義為例1180(二)差分方程的一般概念

定義(二)差分方程的一般概念定義181差分方程的解：定義若一個函數代入差分方程后，方程兩邊恒等，則稱此函數為該差分方程的解。若差分方程的解中含有相互獨立的任意常數且個數恰好等于差分方程的階數，則稱該解為差分方程的通解。差分方程滿足初始條件的解稱為該問題的特解。差分方程的解：定義若一個函數代入差分方程后，方程兩邊恒182第六節(jié)一階和二階常系數線性差分方程(一)一階常系數線性差分方程標準形式時有定義。為一階常系數齊次線性差分方程，否則，稱為一階常系數非齊次線性差分方程。(1)(2)(2)稱為(1)對應的齊次線性差分方程。第六節(jié)一階和二階常系數線性差分方程(一)一階常系數線性差分183(1)(2)不難證明，(2)的通解為C為任意常數.可以證明,一階常系數線性差分方程的通解與一階線性微分方程有相同的結構，即有定理(一階常系數線性差分方程通解的結構)一階常系數線性差分方程(1)的通解可表示為(1)(2)不難證明，(2)的通解為C為任意常數.184當

f(x)是多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和差或乘積時，一般可用待定系數法求(2)的一個特解.討論三種情形：情形1情形2情形3當f(x)是多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以185例1的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數.例1的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數.186代入方程得例2的通解.解沒有這樣的特解。代入方程得例2的通解.解沒有這樣的特解。187例2的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數.例2的通解.解代入方程得得特解為從而通解為C為任意常數.188系數

a

的取值系數a的取值189代入方程得例3解得特解為從而通解為C為任意常數.代入方程得例3解得特解為從而通解為C為任意常數.190代入方程得不存在這樣的特解。例4解代入方程得不存在這樣的特解。例4解191代入方程得例4解得特解為從而通解為C為任意常數.代入方程得例4解得特解為從而通解為C為任意常數.192d與系數

a

的關系d與系數a的關系193代入方程得例5解得特解為通解為C為任意常