人教版高中數(shù)學選修1 2《31回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用》課件

3.1

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用3.1

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用1一、相關(guān)知識的回顧回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法。2、線性回歸分析的步驟是什么？（1）畫出兩個變量的散點圖。（2）求回歸直線方程。（3）用回歸直線方程進行預(yù)報。1、什么叫回歸分析？3.求回歸直線方程的截距和斜率是根據(jù)

估算得最小二乘法一、相關(guān)知識的回顧回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)2二、新課（一）最小二乘法二、新課（一）最小二乘法3例從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表所示：

求根據(jù)一名女大學生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172cm的女大學生的體重。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號例從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表4解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點2、由散點5于是有根據(jù)最小二乘法估計和就是未知參數(shù)a和b的最好估計，所以回歸方程是所以，對于身高為172cm的女大學生，由回歸方程可以預(yù)報其體重為于是有根據(jù)最小二乘法估計和就是未知參數(shù)a和b的6從散點圖可以看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。

我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。思考產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？從散點圖可以看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條7思考：產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源：1、其它因素的影響：影響體重y的因素不只是身高x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、是否喜歡運動、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、體重y的觀測誤差。（三）、隨機誤差、殘差以及相關(guān)指數(shù)思考：產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源：（三）8線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報變量。思考：我們?nèi)绾窝芯侩S機誤差？（閱讀教材P84）線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值9下表列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。

在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。然后，我們可以通過殘差

，來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析下表列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。10殘差圖的制作及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點

錯誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高。殘差圖的制作及作用。身高與體重殘差圖異常點錯誤數(shù)據(jù)11

假設(shè)身高和隨機誤差的不同不會對體重產(chǎn)生任何影響，那么所有人的體重將相同。在體重不受任何變量影響的假設(shè)下，設(shè)8名女大學生的體重都是她們的平均值，即8個人的體重都為54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號54.5kg在散點圖中，所有的點應(yīng)該落在同一條水平直線上，但是觀測到的數(shù)據(jù)并非如此。這就意味著預(yù)報變量（體重）的值受解析變量（身高）或隨機誤差的影響。假設(shè)身高和隨機誤差的不同不會對體重產(chǎn)生任何影響，125943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號

例如，編號為6的女大學生的體重并沒有落在水平直線上，她的體重為61kg。解析變量（身高）和隨機誤差共同把這名學生的體重從54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解析變量和隨機誤差的組合效應(yīng)。編號為3的女大學生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為50kg。解析變量（身高）和隨機誤差共同把這名學生的體重從50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，這時解析變量和隨機誤差的組合效應(yīng)為-4.5kg。用這種方法可以對所有預(yù)報變量計算組合效應(yīng)。數(shù)學上，把每個效應(yīng)（觀測值減去總的平均值）的平方加起來，即用表示總的效應(yīng)，稱為總偏差平方和。在例1中，總偏差平方和為354。5943616454505748體重/k/p>

那么，在這個總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來自于解析變量（身高）？有多少來自于隨機誤差？

假設(shè)隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖中所有的點將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點并沒有完全落在回歸直線上。這些點散布在回歸直線附近，所以一定是隨機誤差把這些點從回歸直線上“推”開了。因此，數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異是隨機誤差的效應(yīng)，稱為殘差。那么，在這個總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來自14在例1中，殘差平方和約為128.361。例如，編號為6的女大學生，計算隨機誤差的效應(yīng)（殘差）為：對每名女大學生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學符號表示為：它代表了隨機誤差的效應(yīng)。稱為殘差平方和，在例1中，殘差平方和約為128.361。例如，編號為6的女大15

由于解析變量和隨機誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為354，而隨機誤差的效應(yīng)為128.361，所以解析變量的效應(yīng)為解析變量和隨機誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）=解析變量的效應(yīng)（回歸平方和）+隨機誤差的效應(yīng)（殘差平方和）354-128.361=225.639這個值稱為回歸平方和。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是由于解析變量和隨機誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為316顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預(yù)報變量變化的貢獻率。R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。總的來說：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報變量的能力。顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果171354總計0.36128.361殘差變量0.64225.639解析變量比例平方和來源

從上表中可以看出，解析變量對總效應(yīng)約貢獻了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。所以，身高對體重的效應(yīng)比隨機誤差的效應(yīng)大得多。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是1354總計0.36128.361殘差變量0.64225.618用身高預(yù)報體重時，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值。事實上，它是預(yù)報變量的可能取值的平均值?！@些問題也使用于其他問題。涉及到統(tǒng)計的一些思想：模型適用的總體；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預(yù)報結(jié)果的正確理解。用身高預(yù)報體重時，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們19一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預(yù)報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪20學科ABCDE

數(shù)學成績x/分8876736663物理成績y/分7865716461學科ABCDE數(shù)學成績x/分8876736663物理成績y21根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以求得根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以求得22小結(jié)：2.正確認識回歸模型預(yù)報結(jié)果3.殘差分析和相關(guān)指數(shù)R2的作用1.如何求回歸直線方程？小結(jié)：2.正確認識回歸模型預(yù)報結(jié)果3.殘差分析和相關(guān)指數(shù)R23謝謝謝謝243.1

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用3.1

回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用25一、相關(guān)知識的回顧回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法。2、線性回歸分析的步驟是什么？（1）畫出兩個變量的散點圖。（2）求回歸直線方程。（3）用回歸直線方程進行預(yù)報。1、什么叫回歸分析？3.求回歸直線方程的截距和斜率是根據(jù)

估算得最小二乘法一、相關(guān)知識的回顧回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)26二、新課（一）最小二乘法二、新課（一）最小二乘法27例從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表所示：

求根據(jù)一名女大學生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172cm的女大學生的體重。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號例從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表28解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點2、由散點29于是有根據(jù)最小二乘法估計和就是未知參數(shù)a和b的最好估計，所以回歸方程是所以，對于身高為172cm的女大學生，由回歸方程可以預(yù)報其體重為于是有根據(jù)最小二乘法估計和就是未知參數(shù)a和b的30從散點圖可以看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。

我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。思考產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？探究：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？從散點圖可以看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條31思考：產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源：1、其它因素的影響：影響體重y的因素不只是身高x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、是否喜歡運動、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、體重y的觀測誤差。（三）、隨機誤差、殘差以及相關(guān)指數(shù)思考：產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源：（三）32線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報變量。思考：我們?nèi)绾窝芯侩S機誤差？（閱讀教材P84）線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值33下表列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。

在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。然后，我們可以通過殘差

，來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析下表列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。34殘差圖的制作及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點

錯誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高。殘差圖的制作及作用。身高與體重殘差圖異常點錯誤數(shù)據(jù)35

假設(shè)身高和隨機誤差的不同不會對體重產(chǎn)生任何影響，那么所有人的體重將相同。在體重不受任何變量影響的假設(shè)下，設(shè)8名女大學生的體重都是她們的平均值，即8個人的體重都為54.5kg。54.554.554.554.554.554.554.554.5體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號54.5kg在散點圖中，所有的點應(yīng)該落在同一條水平直線上，但是觀測到的數(shù)據(jù)并非如此。這就意味著預(yù)報變量（體重）的值受解析變量（身高）或隨機誤差的影響。假設(shè)身高和隨機誤差的不同不會對體重產(chǎn)生任何影響，365943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號

例如，編號為6的女大學生的體重并沒有落在水平直線上，她的體重為61kg。解析變量（身高）和隨機誤差共同把這名學生的體重從54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解析變量和隨機誤差的組合效應(yīng)。編號為3的女大學生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為50kg。解析變量（身高）和隨機誤差共同把這名學生的體重從50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，這時解析變量和隨機誤差的組合效應(yīng)為-4.5kg。用這種方法可以對所有預(yù)報變量計算組合效應(yīng)。數(shù)學上，把每個效應(yīng)（觀測值減去總的平均值）的平方加起來，即用表示總的效應(yīng)，稱為總偏差平方和。在例1中，總偏差平方和為354。5943616454505748體重/k/p>

那么，在這個總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來自于解析變量（身高）？有多少來自于隨機誤差？

假設(shè)隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖中所有的點將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點并沒有完全落在回歸直線上。這些點散布在回歸直線附近，所以一定是隨機誤差把這些點從回歸直線上“推”開了。因此，數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異是隨機誤差的效應(yīng)，稱為殘差。那么，在這個總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來自38在例1中，殘差平方和約為128.361。例如，編號為6的女大學生，計算隨機誤差的效應(yīng)（殘差）為：對每名女大學生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學符號表示為：它代表了隨機誤差的效應(yīng)。稱為殘差平方和，在例1中，殘差平方和約為128.361。例如，編號為6的女大39

由于解析變量和隨機誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為354，而隨機誤差的效應(yīng)為128.361，所以解析變量的效應(yīng)為解析變量和隨機誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）=解析變量的效應(yīng)（回歸平方和）+隨機誤差的效應(yīng)（殘差平方和）354-128.361=225.639這個值稱為回歸平方和。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是由于解析變量和隨機誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為340顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預(yù)報變量變化的貢獻率。R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。總的來說：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報變量的能力。顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果411354總計0.36128.361殘差變量0.64225.6