2023學(xué)年廣東省五校高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b3．一個(gè)超級(jí)斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面所有項(xiàng)之和(例如:1，3，4，8，16…).則首項(xiàng)為2，某一項(xiàng)為2020的超級(jí)斐波那契數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．64．如圖，平面與平面相交于，，，點(diǎn)，點(diǎn)，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．直線與異面B．過(guò)只有唯一平面與平行C．過(guò)點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D．過(guò)一定能作一平面與垂直5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．6．已知實(shí)數(shù)集，集合，集合，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)，則的圖象的對(duì)稱中心為（）A． B．C． D．8．不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，則（）A．， B．，C．， D．，9．以，為直徑的圓的方程是A． B．C． D．10．已知（），i為虛數(shù)單位，則（）A． B．3 C．1 D．511．某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計(jì)劃維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢，則該設(shè)備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年12．若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______．14．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4），則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_____．15．學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的，，，四件參賽作品，只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：“或作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”．若這四位同學(xué)中有且只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.16．驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號(hào)，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識(shí)別其中的驗(yàn)證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證，驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來(lái)防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0，1，2，…，9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個(gè)“鐘型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.18．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.19．（12分）某商場(chǎng)以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為：2340.4其中，（Ⅰ）求購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（Ⅱ）商場(chǎng)銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)l00元，若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)150元，若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元.商場(chǎng)銷售兩件該商品所獲的利潤(rùn)記為（單位：元）（?。┣蟮姆植剂校唬áⅲ┤?，求的數(shù)學(xué)期望的最大值.20．（12分）已知是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，________．是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．21．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，點(diǎn)A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACC1A1為矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．22．（10分）已知變換將平面上的點(diǎn)，分別變換為點(diǎn)，．設(shè)變換對(duì)應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】分析：作出函數(shù)的圖象，利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論.詳解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，且，則當(dāng)時(shí)，得，即，則滿足，則，即，則，設(shè)，則，當(dāng)，解得，當(dāng)，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.2、B【答案解析】

先利用冪函數(shù)的定義求出m的值，得到冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，再利用冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到a，b，c的大小關(guān)系.【題目詳解】由冪函數(shù)的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點(diǎn)（2，8）在冪函數(shù)f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.3、A【答案解析】

根據(jù)定義，表示出數(shù)列的通項(xiàng)并等于2020.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個(gè)數(shù).【題目詳解】由題意可知首項(xiàng)為2，設(shè)第二項(xiàng)為，則第三項(xiàng)為，第四項(xiàng)為，第五項(xiàng)為第n項(xiàng)為且，則，因?yàn)椋?dāng)?shù)闹悼梢詾?；即?個(gè)這種超級(jí)斐波那契數(shù)列，故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用，注意自變量的取值范圍，對(duì)題意理解要準(zhǔn)確，屬于中檔題.4、D【答案解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷.【題目詳解】A.假設(shè)直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過(guò)只有唯一平面與平行，故正確.C.根據(jù)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過(guò)不一定能作一平面與垂直，故錯(cuò)誤.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.5、D【答案解析】

本題首先可以通過(guò)題意畫出圖像并過(guò)點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，然后通過(guò)圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度即點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，最后將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】根據(jù)題意可畫出以上圖像，過(guò)點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn)，因?yàn)?，在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，，即，，因?yàn)閳A的半徑為，是圓的半徑，所以，因?yàn)?，，，，所以，三角形是直角三角形，因?yàn)?，所以，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得，解得，，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得，化簡(jiǎn)得，，，，故選D。【答案點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學(xué)生的邏輯思維能力，是難題。6、A【答案解析】

可得集合,求出補(bǔ)集,再求出即可.【題目詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【答案點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【答案解析】

由值域?yàn)榇_定的值，得，利用對(duì)稱中心列方程求解即可【題目詳解】因?yàn)椋忠李}意知的值域?yàn)?，所以得，，所以，令，得，則的圖象的對(duì)稱中心為.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對(duì)稱中心，重點(diǎn)考查值域的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫為08、D【答案解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設(shè)，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，即，當(dāng)過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯(cuò)誤；

設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可得最大可到無(wú)窮大，最小可到無(wú)窮小，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.9、A【答案解析】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法一一求出，從而求出圓的方程.【題目詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得圓心為，的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，又，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，化簡(jiǎn)整理得，所以本題答案為A.【答案點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程組，屬于基礎(chǔ)題.10、C【答案解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【題目詳解】由，得，解得.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.11、D【答案解析】

根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【題目詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計(jì)第年維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、B【答案解析】

根據(jù)題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將代入計(jì)算即可求出值．【題目詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B【答案點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

求導(dǎo)，x=0代入求k，點(diǎn)斜式求切線方程即可【題目詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【答案點(diǎn)睛】本題考查切線方程，求導(dǎo)法則及運(yùn)算，考查直線方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題14、【答案解析】

代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【題目詳解】解：雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,解得,即．又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為：．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.15、B【答案解析】

首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”，故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng)，然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說(shuō)法的正確性，即可得出結(jié)果．【題目詳解】若A為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿足題意；若B為一等獎(jiǎng)，則乙、丙的說(shuō)法正確，甲、丁的說(shuō)法錯(cuò)誤，滿足題意；若C為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均正確，不滿足題意；若D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿足題意；綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng)．【答案點(diǎn)睛】本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來(lái)找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時(shí)候，可以采用依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過(guò)是否滿足題目條件來(lái)判斷其是否正確．16、【答案解析】

首先判斷出中間號(hào)碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.【題目詳解】根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時(shí)，其它個(gè)數(shù)字可以是，選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【答案解析】試題分析：(Ⅰ)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為；(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為，求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為試題解析：（I）當(dāng)時(shí)，化為，當(dāng)時(shí)，不等式化為，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設(shè)可得，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，的面積為．由題設(shè)得，故．所以a的取值范圍為18、(1)；(2)【答案解析】

（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得，進(jìn)而求得和，代入求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由正弦定理可得：即（2）由（1）知：，，即的取值范圍為【答案點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問(wèn)題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題，進(jìn)而利用正弦型函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.19、（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（?。┮?jiàn)解析（ⅱ）數(shù)學(xué)期望的最大值為280【答案解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)購(gòu)買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，由獨(dú)立重復(fù)事件的特點(diǎn)得出，利用二項(xiàng)分布的概率公式，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）（?。┮李}意，的取值為200，250，300，350，400，根據(jù)離散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由題意知，，解得，根據(jù)的分布列，得出的數(shù)學(xué)期望，結(jié)合，即可算出的最大值.【題目詳解】解：（Ⅰ）設(shè)購(gòu)買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，則，則，故購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.（Ⅱ）（?。┮李}意，的取值為200，250，300，350，400，，，，，的分布列為：2002503003504000.16（ⅱ），由題意知，，，，，又，即，解得，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為280，所以的數(shù)學(xué)期望的最大值為280.【答案點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件和二項(xiàng)分布的應(yīng)用，以及離散型分布列和數(shù)學(xué)期望，考查計(jì)算能力.20、見(jiàn)解析