2021課標版理數(shù)高考總復習專題11.3二項分布與正態(tài)分布試題練理科數(shù)學教學講練

理科數(shù)學專項復習PAGEPAGE24溫故而知新，下筆如有神！11.3二項分布與正態(tài)分布探考情悟真題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關聯(lián)考點1.條件概率、相互獨立事件及二項分布(1)了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布,并能解決一些簡單的實際問題.(2)利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義2019課標Ⅰ,15,5分獨立事件概率的求解互斥事件★★★2019課標Ⅱ,18,12分獨立事件概率的求解互斥事件2018課標Ⅰ,20,12分二項分布的均值應用利用期望進行決策、導數(shù)2018課標Ⅲ,8,5分二項分布2017課標Ⅰ,19,12分正態(tài)分布、二項分布的概念和性質(zhì)概率的計算以及數(shù)學期望2.正態(tài)分布2016課標Ⅱ,18,12分條件概率的計算離散型隨機變量的均值2015課標Ⅰ,4,5分相互獨立事件的概率分析解讀本節(jié)主要命題點:(1)相互獨立事件的概率,條件概率;(2)二項分布的概念、特征和相關計算;(3)正態(tài)分布的應用,一般以解答題的形式出現(xiàn).解題時注意對相關概念的理解和相關公式的應用.本節(jié)在高考中一般以選擇題、解答題形式出現(xiàn),難度在中等以下,分值約為5分或12分.主要考查學生的數(shù)據(jù)分析能力.破考點練考向【考點集訓】考點一條件概率、相互獨立事件及二項分布1.(2020屆遼寧沈陽鐵路實驗中學10月月考,7)已知箱中共有6個球,其中紅球、黃球、藍球各2個,每次從該箱中取1個球(每球取到的機會均等),取出后放回箱中,連續(xù)取三次.設事件A=“第一次取到的球和第二次取到的球顏色不相同”,事件B=“三次取到的球顏色都不相同”,則P(B|A)=()A.16 B.13 C.2答案B2.(2019廣東東莞模擬,5)假設東莞市市民使用移動支付的概率都為p,且每位市民使用支付方式都相互獨立,已知X是其中10位市民使用移動支付的人數(shù),且EX=6,則p的值為()A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8答案C3.(2020屆河南百校聯(lián)盟9月聯(lián)合檢測,15)《中國詩詞大會》是央視首檔全民參與的詩詞節(jié)目,節(jié)目以“賞中華詩詞,尋文化基因,品生活之美”為宗旨.每一期的比賽包含以下環(huán)節(jié):“個人追逐賽”“攻擂資格爭奪賽”和“擂主爭霸賽”,其中“擂主爭霸賽”由“攻擂資格爭奪賽”獲勝者與上一場擂主進行比拼.“擂主爭霸賽”共有九道搶答題,搶到并答對者得一分,答錯則對方得一分,率先獲得五分者即為該場擂主.在《中國詩詞大會》的某一期節(jié)目中,若進行“擂主爭霸賽”的甲乙兩位選手每道搶答題得到一分的概率都是0.5,則搶答完七道題后甲成為擂主的概率為.

答案15考點二正態(tài)分布1.(2018廣西柳州高級中學、南寧第二中學第二次聯(lián)考,3)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,則下列說法錯誤的是A.甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kgB.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)σ2=1.99答案D2.(2020屆百校聯(lián)盟TOP209月聯(lián)考,15)若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(9,16),則P(-3<ξ≤13)=.

參考數(shù)據(jù):若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9973.答案0.84煉技法提能力【方法集訓】方法1獨立重復試驗及二項分布問題的求解方法(2020屆四川內(nèi)江威遠中學第一次月考,7)設隨機變量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=59,則P(η≥2)的值為(A.1127 B.3281 C.6581答案A方法2正態(tài)分布及其應用方法1.(2020屆四川成都外國語學校10月階段性檢測,18)蘋果可按果徑M(最大橫切面直徑,單位:mm)分為五個等級:M≥80時為1級,75≤M<80時為2級,70≤M<75時為3級,65≤M<70時為4級,M<65時為5級.不同果徑的蘋果,按照不同外觀指標又分為特級果、一級果、二級果.某果園采摘蘋果10000個,果徑M均在[60,85]內(nèi),從中隨機抽取2000個蘋果進行統(tǒng)計分析,得到如圖1所示的頻率分布直方圖,圖2為抽取的樣本中果徑在80以上的蘋果的等級分布統(tǒng)計圖.(1)假設M服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ的近似值為果徑的樣本平均數(shù)x(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替),σ2=35.4,試估計采摘的10000個蘋果中,果徑M位于區(qū)間(59.85,77.7)的蘋果個數(shù);(2)已知該果園2019年共收獲果徑在80以上的蘋果800kg,且售價為特級果12元/kg,一級果10元/kg,二級果9元/kg.設該果園售出這800kg蘋果的收入為X,以頻率估計概率,求X的數(shù)學期望.附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9545,35.4解析(1)∵x=62.5×0.15+67.5×0.25+72.5×0.3+77.5×0.2+82.5×0.1=71.75,∴μ=71.75,σ=35.4∴P(59.85<M<77.7)=P(μ-2σ<M<μ+σ)=12=0.8186.故10000個蘋果中,果徑M在(59.85,77.7)中的蘋果個數(shù)約8186個.(2)由圖2知,M≥80的蘋果中,特級、一級、二級的概率分別為0.2,0.5,0.3,則X的分布列為X960080007200P0.20.50.3∴E(X)=9600×0.2+8000×0.5+7200×0.3=8080.2.(2020屆河南洛陽尖子生第一次聯(lián)考,19)“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的習俗.2019年春節(jié)前夕,A市某質(zhì)檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項質(zhì)量指標值,所得頻率分布直方圖如下:(1)求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值表示);(2)①由直方圖可以認為,速凍水餃的該項質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),利用該正態(tài)分布,求Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率;②將頻率視為概率,若某人從該市某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標值位于(10,30)內(nèi)的包數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.附:計算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標值的標準差σ=142.75若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9545.解析(1)所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標值的平均數(shù)x=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.(4分)(2)①∵Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,(6分)∴P(14.55<Z<38.45)=P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)=0.6827,∴Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率是0.6827.(8分)②根據(jù)題意得X~B4,12,P(X=0)=CP(X=1)=C41124=1P(X=3)=C43124=14;P(X=4)=

∴X的分布列為X01234P11311E(X)=4×12=2.(12分【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標卷題組考點一條件概率、相互獨立事件及二項分布1.(2018課標Ⅲ,8,5分)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=()A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3答案B2.(2019課標Ⅰ,15,5分)甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是.

答案0.183.(2017課標Ⅱ,13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.

答案1.96考點二正態(tài)分布(2017課標Ⅰ,19,12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi用樣本平均數(shù)x作為μ的估計值μ^,用樣本標準差s作為σ的估計值σ^,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的數(shù)據(jù),附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.0.997416≈0.9592,0.008解析(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的數(shù)學期望為EX=16×0.0026=0.0416.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估計值為μ^=9.97,σ的估計值為σ^=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^115因此μ的估計值為10.02.∑i=116xi2=16×0.2122剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈因此σ的估計值為0.008思路分析(1)利用正態(tài)分布、二項分布的性質(zhì)可求出P(X≥1)及X的數(shù)學期望;(2)(i)先說明出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率,再說明監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;(ii)利用給出的數(shù)據(jù)可計算出區(qū)間(μ^-3σ^,μ^+3σ^),從而剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^規(guī)律總結(jié)(1)正態(tài)分布:若變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則μ為樣本的均值,正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=μ;σ為樣本數(shù)據(jù)的標準差,體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.(2)二項分布:若變量X~B(n,p),則X的期望EX=np,方差DX=np(1-p).B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點一條件概率、相互獨立事件及二項分布1.(2015廣東,13,5分)已知隨機變量X服從二項分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,則p=.

答案12.(2019天津,16,13分)設甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響,且任一同學每天到校情況相互獨立(1)用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(2)設M為事件“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.解析本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望,互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力,重點考查數(shù)學建模、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).(1)因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為23,故X~B3,23,所以,隨機變量X的分布列為X0123P1248隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=3×23(2)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則Y~B3,23,且由題意知事件{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}與{Y=1},事件{X=2}與{Y=0}均相互獨立,從而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×1思路分析(1)觀察關鍵詞“均”“互不影響”“相互獨立”,判斷X~B(n,p),從而利用二項分布求出分布列與期望.(2)先將“天數(shù)恰好多2”用數(shù)學語言表示,即X=3,Y=1或考點二正態(tài)分布1.(2015湖北,4,5分)設X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對任意正數(shù)t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.對任意正數(shù)t,P(X≥t)≥P(Y≥t)答案C2.(2015山東,8,5分)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56% B.13.59%C.27.18% D.31.74%答案BC組教師專用題組考點一條件概率、相互獨立事件及二項分布1.(2015課標Ⅰ,4,5分)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案A2.(2014課標Ⅱ,5,5分)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45答案A3.(2018北京,17,12分)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設所有電影是否獲得好評相互獨立.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率;(3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關系.解析(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率是502(2)設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”,事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”.故所求概率為P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由題意知:P(A)估計為0.25,P(B)估計為0.2.故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.4.(2017天津,16,13分)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為12,13,(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.解析本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望,事件的相互獨立性,互斥事件的概率加法公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=1-12×1-1P(X=1)=12×1-13×1-14+1-12×13×1-14+1-12×1-13×P(X=2)=1-12×13×14+12×1-13×1P(X=3)=12×13×14所以,隨機變量X的分布列為X0123P11111隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0×14+1×1124+2×14+3×1(2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù),則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14×1124+1124×1所以,這2輛車共遇到1個紅燈的概率為1148技巧點撥解決隨機變量分布列問題的關鍵是正確求出隨機變量可以取哪些值以及取各個值時對應的概率,只有正確理解隨機變量取值的意義才能解決這個問題,理解隨機變量取值的意義是解決這類問題的必要前提.5.(2016課標Ⅱ,18,12分)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下:一年內(nèi)出險次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率;(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.解析(1)設A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(2)設B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)因此所求概率為311.(7分(3)記續(xù)保人本年度的保費為X元,則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.(12分)思路分析(1)將本年度保費高于基本保費a對應的所有事件的概率相加即可;(2)利用條件概率公式求解;(3)求出續(xù)保人本年度保費的期望與基本保費的比值即可.6.(2016北京,16,13分)A,B,C三個班共有100名學生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時):A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)試估計C班的學生人數(shù);(2)從A班和C班抽出的學生中,各隨機選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率;(3)再從A,B,C三個班中各隨機抽取一名學生,他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位:小時).這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小.(結(jié)論不要求證明)解析(1)由題意知,抽出的20名學生中,來自C班的學生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學生人數(shù)估計為100×820(2)設事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”,i=1,2,…,5,事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”,j=1,2,…,8.由題意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18,j=1,2,P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15×18=140,i=1,2,…,5,設事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”.由題意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×140=3(3)μ1<μ0.思路分析(1)利用分層抽樣的特征求出C班的學生人數(shù);(2)先找出甲、乙所有可能的搭配方式,再找出符合條件的搭配方式,其實質(zhì)是古典概型;(3)將從A,B,C三個班中抽取的樣本數(shù)據(jù)分別與該班的平均數(shù)比較,進而作判斷.本題考查抽樣方法,互斥事件、相互獨立事件的概率、平均數(shù).屬中檔題.7.(2016山東,19,12分)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語.在一輪活動中,如果兩人都猜對,則“星隊”得3分;如果只有一人猜對,則“星隊”得1分;如果兩人都沒猜對,則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是34,乙每輪猜對的概率是23;每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響,各輪結(jié)果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動,(1)“星隊”至少猜對3個成語的概率;(2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學期望EX.解析(1)記事件A:“甲第一輪猜對”,記事件B:“乙第一輪猜對”,記事件C:“甲第二輪猜對”,記事件D:“乙第二輪猜對”,記事件E:“‘星隊’至少猜對3個成語”.由題意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD,由事件的獨立性與互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)·P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)·P(D)=34×23×34×=23所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為23(2)由題意,隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性,得P(X=0)=14×13×14×1P(X=1)=2×34×13×P(X=2)=34×13×34×13+34×13×14×23+14×23×34×1P(X=3)=34×23×14×13+14×13×34P(X=4)=2×34×23×P(X=6)=34×23×34×23=可得隨機變量X的分布列為X012346P1525151所以數(shù)學期望EX=0×1144+1×572+2×25144+3×112+4×512本題考查了隨機事件發(fā)生的概率及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望,確定隨機變量可能的取值是解題的關鍵.屬于中檔題.8.(2015湖北,20,12分)某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品,生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設備1小時,獲利1000元;生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸,使用設備1.5小時,獲利1200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個隨機變量,其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是一個隨機變量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.解析(1)設每天A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x噸,y噸,相應的獲利為z元,則有2x+1目標函數(shù)為z=1000x+1200y.當W=12時,①表示的平面區(qū)域如圖1,三個頂點分別為A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).將z=1000x+1200y變形為y=-56x+z當x=2.4,y=4.8時,直線l:y=-56x+z1200在y軸上的截距最大,最大獲利Z=zmax=2.4×1000+4.8×1當W=15時,①表示的平面區(qū)域如圖2,三個頂點分別為A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).將z=1000x+1200y變形為y=-56x+z當x=3,y=6時,直線l:y=-56x+z1200最大獲利Z=zmax=3×1000+6×1200=10200.當W=18時,①表示的平面區(qū)域如圖3,四個頂點分別為A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).將z=1000x+1200y變形為y=-56x+z當x=6,y=4時,直線l:y=-56x+z1200最大獲利Z=zmax=6×1000+4×1200=10800.故最大獲利Z的分布列為Z81601020010800P0.30.50.2因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708.(2)由(1)知,一天最大獲利超過10000元的概率P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二項分布知,3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為1-(1-0.7)3=1-0.33=0.973.9.(2014大綱全國,20,12分)設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用設備相互獨立.(1)求同一工作日至少3人需使用設備的概率;(2)X表示同一工作日需使用設備的人數(shù),求X的數(shù)學期望.解析記Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設備,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用設備,C表示事件:丁需使用設備,D表示事件:同一工作日至少3人需使用設備.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2·B·C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C2i×0.52,i=0,1,2,(3所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=P(B·A0·C)=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·C+B·A0·C+B·A1·C)=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)數(shù)學期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)10.(2013課標Ⅰ,19,12分)一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗.假設這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為12,且各件產(chǎn)品是不是優(yōu)質(zhì)品相互獨立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率;(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗,對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學期望.解析(1)設第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2,這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A,依題意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1與A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=416×116+116×1(2)X可能的取值為400,500,800,并且P(X=400)=1-416-116=P(X=500)=116P(X=800)=14所以X的分布列為X400500800P1111EX=400×1116+500×116+800×思路分析(1)設第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2,第二次取出的4件全是優(yōu)質(zhì)品為事件B1,第二次取出的1件是優(yōu)質(zhì)品為事件B2,這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A,依題意有A=(A1B1)∪(A2B2)且A1B1與A2B2互斥,進而求解.(2)X可能的取值為400,500,800,分別求其對應的概率,進而可得分布列、期望.考點二正態(tài)分布(2014課標Ⅰ,18,12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結(jié)果,求EX.附:150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.解析(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),從而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.(ii)由(i)知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826,依題意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26.思路分析(1)根據(jù)直方圖求得樣本平均數(shù)x和樣本方差s2;(2)(i)由(1)知Z~N(200,150),從而得出概率.(ii)依題意知X~B(100,0.6826),從而求得EX.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2020屆吉林延邊二中高三開學考試,10)甲、乙兩人從1,2,3,…,15這15個數(shù)中,依次任取一個數(shù)(不放回),則在已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)的情況下,甲所取的數(shù)大于乙所取的數(shù)的概率是()A.12 B.715 C.914答案C2.(2020屆吉林延邊二中9月月考,7)某班有50名學生,一次數(shù)學考試的成績ξ服從正態(tài)分布N(105,102),已知P(95≤ξ≤105)=0.32,估計該班學生數(shù)學成績在115分以上的人數(shù)為()A.10 B.9 C.8 D.7答案B3.(2020屆重慶一中摸底考試,8)規(guī)定投擲飛鏢3次為一輪,3次中至少兩次投中8環(huán)以上的為優(yōu)秀.現(xiàn)采用隨機模擬試驗的方法估計某人投擲飛鏢的情況:先由計算器產(chǎn)生隨機數(shù)0或1,用0表示該次投鏢未在8環(huán)以上,用1表示該次投鏢在8環(huán)以上,再以每三個隨機數(shù)作為一組,代表一輪的結(jié)果.例如:“101”代表第一次投鏢在8環(huán)以上,第二次投鏢未在8環(huán)以上,第三次投鏢在8環(huán)以上,該結(jié)果代表這一輪投鏢為優(yōu)秀,“100”代表第一次投鏢在8環(huán)以上,第二次和第三次投鏢均未在8環(huán)以上,該結(jié)果代表這一輪投鏢為不優(yōu)秀.經(jīng)隨機模擬試驗產(chǎn)生了如下10組隨機數(shù),據(jù)此估計,該選手投擲飛鏢兩輪,至少有一輪可以拿到優(yōu)秀的概率是()101111011101010100100011111001A.625 B.2125 C.1225答案B4.(2020屆山東煙臺第一中學第一次聯(lián)考,4)首屆中國國際進口博覽會期間,甲、乙、丙三家中國企業(yè)都有意向購買同一種型號的機床設備,他們購買該機床設備的概率分別為12,13,14,且三家企業(yè)的購買結(jié)果相互之間沒有影響,則三家企業(yè)中恰有1家購買該機床設備的概率是A.2324 B.524 C.1124答案C5.(2019福建寧德二模,6)某校有1000人參加某次模擬考試,其中數(shù)學考試成績近似服從正態(tài)分布N(105,σ2)(σ>0),試卷滿分150分,統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學成績優(yōu)秀(高于120分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15,則此次數(shù)學考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為(A.150 B.200 C.300 D.400答案C6.(2019河南鄭州二模,7)在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(-2,4)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()(附:X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545)A.906 B.2718 C.340 D.3413答案C7.(2018山東濟南外國語學校12月月考,4)“石頭、剪刀、布”又稱“猜丁殼”,是一種流行多年的猜拳游戲,起源于中國,然后傳到日本、朝鮮等地,隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展,它傳到了歐洲,到了近代逐漸風靡世界.其游戲規(guī)則是:出拳之前雙方齊喊口令,然后在語音剛落時同時出拳,握緊的拳頭代表“石頭”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸開代表“布”.“石頭”勝“剪刀”,“剪刀”勝“布”,而“布”又勝“石頭”.若所出的拳相同,則為和局.小軍和大明兩位同學進行“五局三勝制”的“石頭、剪刀、布”游戲比賽,則小軍和大明比賽至第四局小軍勝出的概率是()A.127 B.227 C.281答案B二、填空題(每小題5分,共10分)8.(2020屆云南名校高考適應性月考,14)甲隊和乙隊進行乒乓球決賽,采取七局四勝制(當一隊贏得四局勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束),根據(jù)前期比賽成績,甲隊每局取勝的概率為0.8,且各局比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是.

答案19.(2020屆湖北宜昌部分示范高中教學協(xié)作體9月月考,16)在一段線路中有4個自動控制的常用開關A、B、C、D,如圖連接在一起,假定在2019年9月份開關A,D能夠閉合的概率都是0.7,開關B,C能夠閉合的概率都是0.8,則在9月份這段線路能正常工作的概率為.

答案0.9676三、解答題(共35分)10.(2020屆山西太原五中第二次診斷,20)十九大以來,某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求,帶領廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設取得巨大進步,農(nóng)民年收入也逐年增加.為了更好地制訂2019年關于加快提升農(nóng)民年收入力爭早日脫貧的工作計劃,該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖:(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計50位農(nóng)民的年平均收入x(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示);(2)由頻率分布直方圖,可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為年平均收入x,σ2近似為樣本方差s2,經(jīng)計算得s2=6.92.利用該正態(tài)分布,求:(i)在2019年脫貧攻堅工作中,若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準,則最低年收入大約為多少千元?(ii)為了調(diào)研“精準扶貧,不落一人”的政策要求落實情況,扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民.若每個農(nóng)民的年收入相互獨立,問:這1000位農(nóng)民中,年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少?附:參考數(shù)據(jù)與公式6.92≈2.63,若X~N(μ,σ則①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.解析(1)x=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40(千元).(2)由題意可知X~N(17.40,6.92).(i)∵P(X>μ-σ)=12+0.68272≈0.8414,∴當μ-σ=17.40-2.63=14.77時,(ii)由P(X≥12.14)=P(X≥μ-2σ)=0.5+0.95452≈0.9773,得每位農(nóng)民的年收入不少于記1000位農(nóng)民中,年收入不少于12.14千元的人數(shù)為ξ,則ξ~B(103,p),其中p=0.9773,于是恰好有k位農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的概率是P(ξ=k)=C103kpk(1-p)103-k,而1001p=978.2773,所以當0≤k≤978時,P(ξ=k-1)<P(ξ=k),當979≤k≤1000時,P(ξ=k-1)>P(ξ=k),由此可知,在所走訪的1000位農(nóng)民中,年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978.11.(2020屆百校聯(lián)盟TOP209月聯(lián)考,22)某游戲公司對今年新開發(fā)的一些游戲進行評測,為了了解玩家