新高考版數(shù)學(xué)高中總復(fù)習(xí)專題11.1隨機(jī)事件、古典概型與幾何概型（試題練）教學(xué)講練

數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)PAGEPAGE10學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕專題十一概率與統(tǒng)計(jì)【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、隨機(jī)事件的概率、古典概型與幾何概型1.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.2.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.3.理解幾何概型及其概率計(jì)算公式.1.從近幾年高考情況來看,概率與估計(jì)問題常以應(yīng)用題為載體,注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)及閱讀理解能力.2.概率問題的核心是概率計(jì)算.其中事件的互斥、對(duì)立、獨(dú)立是概率計(jì)算的核心,排列、組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具;統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析,重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征.3.離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查是高考的重點(diǎn),近兩年在高考試題中位于后面兩題位置,屬于難度較高的題目,特別是與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的結(jié)合,其背景新穎,充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯性.1.古典概型、相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率是高考考查的熱點(diǎn),古典概型主要以客觀題考查,求基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)常涉及排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算,計(jì)算時(shí)要首先判斷事件是否與順序有關(guān),以確定是排列、還是組合問題.2.相互獨(dú)立事件,互斥事件常作為解答題的第一問考查,是進(jìn)一步求分布列、期望與方差的基礎(chǔ),求解該類問題要正確理解題意,準(zhǔn)確判定概率模型,恰當(dāng)選擇概率公式.3.離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn),求解離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,關(guān)鍵要過好“三關(guān)”:一是“判斷關(guān)”,即依題意判斷隨機(jī)變量的所有可能的取值;二是“求概率關(guān)”,即利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合內(nèi)容,以及古典概型的概率公式求隨機(jī)變量取各個(gè)值時(shí)的概率;三是“應(yīng)用定義關(guān)”,即列出隨機(jī)變量的分布列,并利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計(jì)算,若能判定隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,可利用E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解避免繁雜的運(yùn)算,提高解題的準(zhǔn)確度.二、離散型隨機(jī)變量及其分布列1.理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解超幾何分布.3.理解取值有限的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念,并會(huì)計(jì)算均值、方差.三、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布,能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義,并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.四、抽樣方法、用樣本估計(jì)總體1.會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取樣本.2.能從樣本數(shù)據(jù)中提取數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差).3.會(huì)用樣本的頻率分布(數(shù)字特征)估計(jì)總體分布(數(shù)字特征).五、變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例1.會(huì)作散點(diǎn)圖,并會(huì)用其認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想,能根據(jù)所給公式求線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶).3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的方法,并能解決一些簡(jiǎn)單問題.4.了解回歸分析的基本方法,并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.【真題探秘】§11.1隨機(jī)事件、古典概型與幾何概型基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一事件與概率1.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“《論語(yǔ)》知識(shí)大賽”,決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績(jī),回答者對(duì)甲說“雖然你的成績(jī)比乙好,但是你倆都沒得到第一名”;對(duì)乙說“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”.從上述回答分析,丙是第一名的概率是()A.15B.13C.14答案B2.甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左邊的概率是()A.1B.16C.12答案D3.如圖,已知電路中4個(gè)開關(guān)閉合的概率都是12,且是相互獨(dú)立的,則燈亮的概率為(A.316B.34C.1316答案C4.一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次,設(shè)事件A表示向上的一面標(biāo)有奇數(shù),事件B表示向上的一面上的數(shù)不超過3,事件C表示向上的一面上的數(shù)不小于4,則()A.A與B是互斥而非對(duì)立事件B.A與B是對(duì)立事件C.B與C是互斥而非對(duì)立事件D.B與C是對(duì)立事件答案D5.男隊(duì)有號(hào)碼分別為1,2,3的三名乒乓球運(yùn)動(dòng)員,女隊(duì)有號(hào)碼為1,2,3,4的四名乒乓球運(yùn)動(dòng)員,現(xiàn)兩隊(duì)各出一名運(yùn)動(dòng)員比賽一場(chǎng),則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼不同的概率為.

答案3考點(diǎn)二古典概型6.“微信搶紅包”自2015年以來異常火爆,在某個(gè)微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中,若所發(fā)紅包的總金額為8元,被隨機(jī)分配為1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元共5份供甲、乙等5人搶,每人只能搶一次,則甲、乙二人搶到的紅包金額之和不低于3元的概率是()A.310B.25C.12答案D7.每年三月為學(xué)雷鋒活動(dòng)月,某班有青年志愿者男生3人,女生2人,現(xiàn)需選出2名青年志愿者到社區(qū)做公益宣傳活動(dòng),則選出的2名志愿者性別相同的概率為()A.35B.25C.15答案B8.有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()A.13B.12C.23答案A9.某車間共有6名工人,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù),日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本平均數(shù)的工人為優(yōu)秀工人,從該車間的6名工人中任取2名,則恰有1名優(yōu)秀工人的概率為()A.19B.13C.815答案C10.從左至右依次站著甲、乙、丙3個(gè)人,從中隨機(jī)抽取2個(gè)人進(jìn)行位置調(diào)換,則經(jīng)過兩次這樣的調(diào)換后,甲在乙左邊的概率是.

答案2考點(diǎn)三幾何概型11.(2020屆貴州貴陽(yáng)8月月考,7)某學(xué)校星期一至星期五每天上午共安排五節(jié)課,每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘,第一節(jié)課上課的時(shí)間為7:50~8:30,課間休息10分鐘.某同學(xué)請(qǐng)假后返校,若他在8:50~9:30之間隨機(jī)到達(dá)教室,則他聽第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率為()A.15B.14C.13答案B12.(2018湖南三湘名校教育聯(lián)盟第三次聯(lián)考,3)已知以原點(diǎn)O為圓心,1為半徑的圓以及函數(shù)y=x3的圖象如圖所示,則向圓內(nèi)任意投擲一粒小米(視為質(zhì)點(diǎn)),則該小米落入陰影部分的概率為()A.12B.14C.16答案B綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一古典概型概率的求法1.(2018江西宜春昌黎實(shí)驗(yàn)學(xué)校第二次段考,7)五個(gè)人圍坐在一張圓桌旁,每個(gè)人面前放著完全相同的硬幣,所有人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個(gè)人站起來;若硬幣正面朝下,則這個(gè)人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個(gè)人站起來的概率為()A.12B.1532C.1132答案C2.(2020屆廣西南寧10月摸底)某校從高一(1)班和(2)班的某次數(shù)學(xué)考試(試卷滿分為100分)的成績(jī)中各隨機(jī)抽取了3份數(shù)學(xué)成績(jī)組成一個(gè)樣本,如莖葉圖所示.若分別從(1)班,(2)班的樣本中各隨機(jī)抽取一份,則(2)班成績(jī)更好的概率為()A.29B.13C.12答案B3.(2018河南信陽(yáng)二模,5)某同學(xué)先后投擲一枚正方體骰子兩次,第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x,第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線2x-y=1上的概率為()A.112B.19C.536答案A4.(2018山西太原一模,15)某人在微信群中發(fā)了一個(gè)7元“拼手氣”紅包,被甲、乙、丙三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是.

答案25.(2018上海復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)月考,10)從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取兩個(gè)數(shù),要使取到的一個(gè)數(shù)大于k,另一個(gè)數(shù)小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是25,則k=答案7考法二幾何概型概率的求法6.(2020屆河南安陽(yáng)第一次調(diào)研月考,10)從[-2,3]中任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則a的值能使函數(shù)f(x)=x+asinx在R上單調(diào)遞增的概率為()A.45B.35C.25答案C7.如圖,在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無底圓錐形容器,圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切,圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上,現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚食,則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是()A.1-π4B.π12C.π4答案A【五年高考】1.(2019課標(biāo)Ⅰ,6,5分)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”,如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是()A.516B.1132C.2132答案A2.(2019課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,4,5分)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子,其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo).若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只,則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為()A.23B.35C.25答案B3.(2017山東,8,5分)從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59答案C4.(2019江蘇,6,5分)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù),則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.

答案75.(2018江蘇,6,5分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng),則恰好選中2名女生的概率為.

答案36.(2017江蘇,7,5分)記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈答案57.(2015福建,13,4分)如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于.

答案58.(2019天津,15,13分)2019年,我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;(ii)設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”,求事件M發(fā)生的概率.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○解析本題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).(1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)(i)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.(ii)由表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=1115思路分析(1)首先得出抽樣比,從而按比例抽取各層的人數(shù);(2)(i)利用列舉法列出滿足題意的基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.教師專用題組1.(2014課標(biāo)Ⅰ,5,5分)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為()A.18B.38C.58答案D2.(2015湖北,7,5分)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≥12”的概率,p2為事件“|x-y|≤12”的概率,p3為事件“xy≤12”的概率,則A.p1<p2<p3B.p2<p3<p1C.p3<p1<p2D.p3<p2<p1答案B3.(2016山東,14,5分)在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.

答案34.(2016江蘇,7,5分)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是.

答案55.(2015江蘇,5,5分)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為.

答案56.(2016天津,16,13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【三年模擬】一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共40分)1.(2018重慶九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考,4)已知隨機(jī)事件A,B發(fā)生的概率滿足P(A∪B)=34,某人猜測(cè)事件A∩B發(fā)生,則此人猜測(cè)正確的概率為(A.1B.12C.14答案C2.(2019福建廈門一模,5)《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“”表示一根陽(yáng)線,“”表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有三根陽(yáng)線和三根陰線的概率為()A.114B.17C.528答案D3.(2019山西太原模擬,2)已知隨機(jī)事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,則P(A)=()A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8答案A4.(2020屆廣東湛江9月調(diào)研,5)某學(xué)校組織高一和高二兩個(gè)年級(jí)的同學(xué),開展“學(xué)雷鋒敬老愛老”志愿服務(wù)活動(dòng),利用暑期到敬老院進(jìn)行打掃衛(wèi)生、表演文藝節(jié)目、傾聽老人的囑咐和教誨等一系列活動(dòng).現(xiàn)有來自高一年級(jí)的4名同學(xué),其中男生2名、女生2名;高二年級(jí)的5名同學(xué),其中男生3名、女生2名,現(xiàn)從這9名同學(xué)中隨機(jī)選擇4名打掃衛(wèi)生,則選出的4名同學(xué)中恰有2名男生,且這2名男生來自同一個(gè)年級(jí)的概率是()A.1126B.521C.635答案D5.(2019湖南師大附中3月模擬,5)2019年1月1日,濟(jì)南軌道交通1號(hào)線試運(yùn)行,濟(jì)南軌道交通集團(tuán)面向廣大市民開展“參觀體驗(yàn),征求意見”活動(dòng),市民可以通過濟(jì)南地鐵APP搶票,小陳搶到了三張?bào)w驗(yàn)票,準(zhǔn)備從四位朋友小王,小張,小劉,小李中隨機(jī)選擇兩位與自己一起去參加體驗(yàn)活動(dòng),則小王和小李至多1人被選中的概率為()A.16B.13C.23答案D6.(2020屆福建南安僑光中學(xué)第一次階段考,6)已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},則函數(shù)f(x)=ax2-2bx在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)的概率是()A.512B.13C.14答案A7.(2019安徽蚌埠二模,4)從1,2,3,4中選取兩個(gè)不同數(shù)字組成兩位數(shù),則這個(gè)兩位數(shù)能被4整除的概率為()A.13B.14C.16答案B8.(2020屆四川宜賓四中開學(xué)考試,2)現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)一位射箭運(yùn)動(dòng)員三次射箭恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算機(jī)隨機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0表示未命中,再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次射箭的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):807966191925271932812458569683489257394027552488730113537741根據(jù)以上數(shù)據(jù),估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次射箭恰好有兩次命中的概率為()A.0.20B.0.25C.0.30D.0.50答案D二、多項(xiàng)選擇題(共5分)9.(改編題)不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張,一次任意取出2張卡片,則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而非對(duì)立的事件是()A.2張卡片都不是紅色B.2張卡片恰有一張是紅色C.2張卡片至少有一張是紅色D.2張卡片都為綠色答案ABD三、填空題(每題5分,共30分)10.(2019上海嘉定二模,8)學(xué)校從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2人參加志愿者服務(wù)活動(dòng),則選出的2人中至少有1名女同學(xué)的概率為.

答案711.(2020屆廣東百校聯(lián)考10月月考,16)十二生肖,又稱十二屬相,中國(guó)古人拿十二種動(dòng)物來配十二地支,組成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬十二屬相,現(xiàn)有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同學(xué)依次隨機(jī)抽取一件作為禮物,甲同學(xué)喜歡馬、牛,乙同學(xué)喜歡馬、龍、狗,丙同學(xué)除了鼠不喜歡外其他的都喜歡,則這三位同學(xué)抽取的禮物都喜歡的概率是.

答案312.(2020屆湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)第二次月考,14)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的