空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行人教A版高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件

1.4.1用空間向量研究直線、平面的

位置關(guān)系1.4.1用空間向量研究直線、平面的

位置關(guān)1第1課時空間中點、直線和平面的向量

表示及空間中直線、平面的平行第1課時空間中點、直線和平面的向量

表示2空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行人教A版高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件3激趣誘思知識點撥牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝.在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口.牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物,一般較高大.如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行.這是為什么呢?激趣誘思知識點撥牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于4激趣誘思知識點撥一、空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥一、空間中點、直線和平面的向量表示1.4.15激趣誘思知識點撥①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可6激趣誘思知識點撥微練習(xí)1下列說法中正確的是(

)A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的答案:B

解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥微練習(xí)1答案:B解析:由平面法向量的定義7激趣誘思知識點撥

3.空間平面的向量表示式

1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥3.空間平面的向量表示式1.4.1第18激趣誘思知識點撥4.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥4.平面的法向量1.4.1第1課時空間中9激趣誘思知識點撥名師點析1.空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥名師點析1.空間中,一個向量成為直線l的方向10激趣誘思知識點撥微練習(xí)2若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是(

)答案:D

1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥微練習(xí)2答案:D1.4.1第1課時空11激趣誘思知識點撥微練習(xí)3A.(-1,2,-1)

B.(1,2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)答案:A

令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1).1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥微練習(xí)3A.(-1,2,-1) B.12激趣誘思知識點撥

二、空間中直線、平面平行的向量表示

1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥二、空間中直線、平面平行的向量表示1.413激趣誘思知識點撥名師點析1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥名師點析1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根14激趣誘思知識點撥微練習(xí)1若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x=

,y=

.

微練習(xí)2若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是

.

答案:-12

15答案:平行

解析:因為u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥微練習(xí)1答案:-1215答案:平行1.15探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測平面法向量及其求法例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進行求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測平面法向量及其求法思16探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示建立空間17探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用待定系數(shù)18探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本例條件不變19探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1如圖所示,20探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:以點A為原點,A21探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線線平行例2在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.證明:(方法1)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線線22探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟要證明兩直線23探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2在正方體A24探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:以點D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:以點D為坐標(biāo)原25探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線面平行例3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線面26探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.4.1第1課時27探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長為1,則可求得1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法3)以D為原點28探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量29探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM∥平面BDE.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖,已知30探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的31探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明面面平行例4如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當(dāng)點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明面面32探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長為1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示,分別以33探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測故當(dāng)Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測故當(dāng)Q為CC1的中點34探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明;(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量35探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4在長方體A36探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,3,0),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的37探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多解——利用向量方法證明面面平行典例如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.解題提示證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行即可.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多解——利用向量38探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:(方法1)設(shè)正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一個法向量為n1=(-1,1,-1).設(shè)平面BDC'的法向量為n2=(x2,y2,z2).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:(方法1)設(shè)正39探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一個法向量為n2=(-1,1,-1).所以n1=n2,所以n1∥n2,故平面AB'D'∥平面BDC'.即AD'∥BC',AB'∥DC',所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測令y2=1,則x2=40探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測所以n1也是平面BDC'的一個法向量,所以平面AB'D'∥平面BDC'.點評建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點的線段,特別是有垂直關(guān)系的一些幾何體,如正方體,長方體,直棱柱,有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等,其中長方體(或正方體)是最簡單的模型.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測所以n1也是平面BD41探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則(

)A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定答案:A

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.若不重合的直線l42探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.已知線段AB的兩端點坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB(

)A.與坐標(biāo)平面xOy平行

B.與坐標(biāo)平面yOz平行C.與坐標(biāo)平面xOz平行

D.與坐標(biāo)平面yOz相交答案:B

解析:因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以

=(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標(biāo)平面yOz平行.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.已知線段AB的兩43探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案:D

解析:因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項符合.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.若平面α∥β,則44探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:-8探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:-845探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.已知正方體ABC46探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:如圖,建立空間47探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測481.4.1用空間向量研究直線、平面的

位置關(guān)系1.4.1用空間向量研究直線、平面的

位置關(guān)49第1課時空間中點、直線和平面的向量

表示及空間中直線、平面的平行第1課時空間中點、直線和平面的向量

表示50空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行人教A版高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件51激趣誘思知識點撥牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝.在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口.牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物,一般較高大.如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行.這是為什么呢?激趣誘思知識點撥牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于52激趣誘思知識點撥一、空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥一、空間中點、直線和平面的向量表示1.4.153激趣誘思知識點撥①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可54激趣誘思知識點撥微練習(xí)1下列說法中正確的是(

)A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的答案:B

解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥微練習(xí)1答案:B解析:由平面法向量的定義55激趣誘思知識點撥

3.空間平面的向量表示式

1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥3.空間平面的向量表示式1.4.1第156激趣誘思知識點撥4.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥4.平面的法向量1.4.1第1課時空間中57激趣誘思知識點撥名師點析1.空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥名師點析1.空間中,一個向量成為直線l的方向58激趣誘思知識點撥微練習(xí)2若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是(

)答案:D

1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥微練習(xí)2答案:D1.4.1第1課時空59激趣誘思知識點撥微練習(xí)3A.(-1,2,-1)

B.(1,2,1)C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)答案:A

令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1).1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥微練習(xí)3A.(-1,2,-1) B.60激趣誘思知識點撥

二、空間中直線、平面平行的向量表示

1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥二、空間中直線、平面平行的向量表示1.461激趣誘思知識點撥名師點析1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥名師點析1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根62激趣誘思知識點撥微練習(xí)1若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x=

,y=

.

微練習(xí)2若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是

.

答案:-12

15答案:平行

解析:因為u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)激趣誘思知識點撥微練習(xí)1答案:-1215答案:平行1.63探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測平面法向量及其求法例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進行求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測平面法向量及其求法思64探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示建立空間65探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用待定系數(shù)66探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本例條件不變67探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1如圖所示,68探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:以點A為原點,A69探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線線平行例2在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.證明:(方法1)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線線70探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟要證明兩直線71探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2在正方體A72探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:以點D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:以點D為坐標(biāo)原73探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線面平行例3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明線面74探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.4.1第1課時75探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)正方體的棱長為1,則可求得1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法3)以D為原點76探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量77探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM∥平面BDE.1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)1.4.1第1課時空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選修第一冊課件(共48張PPT)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖,已知78探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的79探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明面面平行例4如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當(dāng)點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測利用向量方法證明面面80探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長為1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:如圖所示,分別以81探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測故當(dāng)Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測故當(dāng)Q為CC1的中點82探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明;(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用空間向量83探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4在長方體A84探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,3,0),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:建立如圖所示的85探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多解——利用向量方法證明面面平行典例如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.解題提示證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉(zhuǎn)化為線面