力學(xué)本學(xué)期所有課件-3.4牛頓運(yùn)動(dòng)定律應(yīng)用

§3.4

運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用應(yīng)用

定律應(yīng)注意:圖.是瞬時(shí)關(guān)系.①研究對(duì)象——質(zhì)點(diǎn).②將其它物體對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的作用歸結(jié)為力.畫③加速度是相對(duì)于慣性系的.④

F

ma是矢量式.解題中選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，⑤

F

ma寫成分量式.⑥正確寫出約束方程.§3.4.1質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)在直角坐標(biāo)系中，

第二定律分量式為

Fix

max

Fiy

may

Fiz

maz第三定律分量式Fx

FxFy

Fy典型例子之一是“直線Fz

Fz”,下圖是示意圖.+_+_[例題1]

英國

大學(xué)物理教師阿特伍德(Ge

eAtwood,1746—1807)， 設(shè)計(jì)機(jī)巧的演示實(shí)驗(yàn)，他為驗(yàn)證 第二定律而設(shè)計(jì)的滑輪裝置，稱作“阿特伍德機(jī)”，該機(jī)是最早出現(xiàn)驗(yàn)證

定律的最好設(shè)備，于1784年頁于“關(guān)于物體的直線運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)”一文中(下）.物理學(xué)進(jìn)行研究需要建立理想模型.在理論模型中，重物和m1和m2可視作質(zhì)點(diǎn)；滑輪是“理想的”，即繩和滑輪的質(zhì)量不計(jì)，軸承摩擦不計(jì)，繩不伸長(zhǎng).求重物后物體加速度及物體對(duì)繩的拉力.m12mx1mWFT2mWFT[解]選地球?yàn)閼T性參考系.取質(zhì)點(diǎn)m1和m2為體，受力如圖由W2

FT2

m2a2不計(jì)繩和滑輪質(zhì)量，有1

T1第二定律,有

m1a1W

FFT1

FT2

FT建立坐標(biāo)系Ox，約束關(guān)系x1

x2

πR

l

常量對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo)數(shù)，得d2

x1

d2

x2a1

x

2

2

a2

xdt

dt第二定律分量式m1

g

FT

m1a1xm2

g

FT

m2a2

x

m2a1x1

2

(m1

m2

)g2

xm

ma

a求解，得

1

xg

2m1m2F1

2m

mT[ ]若

m1>

m2

，a1x

為正，

a2x為負(fù)，表明

m1的加速度與x

軸正向相同；若m1<m2

，則a1x為負(fù)，表明m1的加速度與

x軸的正向相反；若

m1=

m2

，加速度為零，即加速度的方向大小均取決于

m1和m2

.更深一層的

（

）1

2

(m1

m2

)g1

x2

xm

ma

ag

2m1m2F1

2m

mT[例題2

抽象得] 斜面質(zhì)量為m1

，滑塊質(zhì)量為

m2

，m1與

m2

之間、

m1與平面之間均無摩擦，用水平力

F推斜面.問斜面傾角

應(yīng)多大，

m1和

m2相對(duì)

.m1m2FOxym1FFNFN1W1m2FN

2W2，因而有[解]受力分析如右上圖,m1和m2相對(duì)共同的加速度a.根據(jù)第二、三定律，得N

1

N1F

F

W

F

m1a2

N2W

F

m2aFN1

FN

2直角坐標(biāo)中分量式F

FN1

sin

m1aFN2

sin

m2am2

g

FN2

cos

0解方程得

arctan[F

(m1

m2

)

g]§3.4.2

變力作用下的直線運(yùn)動(dòng)若已知力求運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，需作積分計(jì)算.動(dòng)力學(xué)方程為d2

x

dxm

F

(t,

x,

)dt

2

x

dt)dtdxd2

xmdt

2x

F

(t,

x,或若已知力、坐標(biāo)和速度的初始條件，可通過積分求解方程.（設(shè)方程為線性的.）[例題3]

已知一質(zhì)點(diǎn)從

自高空下落，設(shè)重力加速度始終保持一常量，質(zhì)點(diǎn)所受空氣阻力與其速率成正比.求質(zhì)點(diǎn)速度并與 下落相比.[解]

建立以開始下落處為坐標(biāo)原點(diǎn)且鉛直向下的坐標(biāo)系Oy.又選開始下落時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn).W

mgF

vfv

—質(zhì)點(diǎn)速度為常量動(dòng)力學(xué)方程為重力阻力dtm

dv

W

(v

)它在Oy

軸的投影為ydvy

g

vdt

m該式可寫作

g)

dtmmyy(

v

m

d(

v

g)m

t作不定積分，得mg

vy

Ce因

t

＝0，v

y

0

故

C

mg

，于是mmg

tv

y

(1

e

)Otvyvy

max紅色直線表示

下落藍(lán)色曲線表示有阻力時(shí)，最后可達(dá)一極限——終極速度vy

max

mg

/

終極速度與高度無關(guān)落體2ghvy

max

與高度有關(guān)mmg

tv

y

(1

e

)

Fit

matv2

Fin

m

§3.4.3質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)在自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)學(xué)方程分量式

Fin

——法向力(各力在法線方向投影的代數(shù)和)

Fit

——切向力(各力在切線方向投影的代數(shù)和)

——曲率半徑應(yīng)用：[例題4]

紫竹院公園有一旋風(fēng) 機(jī)，大意如圖所

示.設(shè)大圓盤轉(zhuǎn)軸OO′

與鉛直方向成

=18°，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為0=

0.84

rad/s.

離該軸

R

＝2.0

m

處又有與

OO′平行的PP′，繞

PP′

轉(zhuǎn)動(dòng)的座椅與

PP′

軸距離為

r=1.6m.為簡(jiǎn)單起見，設(shè)轉(zhuǎn)椅于大圓盤.設(shè)椅座光滑，側(cè)向力全來自扶手.又設(shè)兩游客質(zhì)量均為m=60

kg.求游客處于最高點(diǎn)B和較低點(diǎn)A處時(shí)受座椅的力.FPAFNAWFPBFNBWBenAetP

ANAF

F

W

maAF

F

W

maBP

BNB[解]游客作圓周運(yùn)動(dòng).A、B二人受力分析如上右圖根據(jù)

第二、三定律，得分量式FNBt

W

cos

0PAn

0F

W

sin

m

2

(R

r

)0FNAt

W

cos

0FPBn

W

sin

m

2

(R

r

)解之得FNBt

m0FPAn

m[

2

(R

r

)

g

sin

a]FNAt

m0FPBn

m[

2

(R

r

)

g

sin

a]FA3°etAAenBFB16.3°BFNAt

559NFNBt

559NFPAn

164NFPBn

29.3NPAn

NAt

F

2

58.310NF

2FA

NBtPBn

F

2

56.010

NF

2FB

與et

約成16.3°與en

約成3°§3.4.4

質(zhì)點(diǎn)的平衡質(zhì)點(diǎn)平衡條件——質(zhì)點(diǎn)處于平衡時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力等于零.

Fi

0質(zhì)點(diǎn)平衡方程直角坐標(biāo)系中的分量式

Fix

0

Fiy

0

Fiz

0[例題5]

將繩索在木樁上繞幾圈，能使繩的一端受到極大拉力，例如拴著一頭牛，只要用很小的力拽住繩的另一端，即可將繩索固定，原因在哪里？如圖表示繩與圓柱體在AB弧段上接觸且無相對(duì)滑動(dòng)，弧AB對(duì)應(yīng)的和FT

分別表示A點(diǎn)和B點(diǎn)圓心角

稱為“包角”FT0繩的張力.設(shè)繩與圓柱間的靜摩擦系數(shù)為0，不計(jì)繩的質(zhì)量.求在FT0

一定的條件下，F(xiàn)T

的最大值FT

max

.ABT0FFTABFT0FT[解]在繩AB段上受力如右上圖所示.截取小弧段對(duì)應(yīng)于圓心角d

，F(xiàn)T

FT

dFTNFFTdTF

0Fenet靜摩擦力F0圓柱體給繩的支撐力

FN根據(jù)質(zhì)點(diǎn)平衡方程，得FT

FT

FN

F0

0設(shè)張力建自然坐標(biāo)系，將上式投影，并考慮到F0

F0max

0FN得22TT

(F

dF

)

cos

d

0T

0

N

F

cos

d

Fd很小sin

d

d

,

cos

d

1,2

2

2略去二級(jí)無窮小量，得dFT

0FNd

d