等比數(shù)列前n項(xiàng)和課件

開(kāi)始等比數(shù)列前n項(xiàng)和開(kāi)始等比數(shù)列前n項(xiàng)和學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

或；當(dāng)q=1時(shí)，Sn=

.2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：設(shè)Sn=a1+a2+…+an,則qSn=a1q+a2q+a3q+…+an-1q+anq=a2+a3+…+an+anq,

兩式相減得(1-q)Sn=a1-anq,當(dāng)q≠1時(shí)，

,這一方法通常稱為

.乘公比錯(cuò)位相減法返回1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=返回返回（1）求等比數(shù)列1,2,4,…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；（2）在等比數(shù)列{an}中，已知a3=,S3=，求a1與q.

【解析】

（1）解法一：∵a1=1,q=2,∴a5=a·q4=1×24=16，a10=a1·q9=1×29=512.∴a5+a6+…+a10==1008.解法二：由a1=1,q=2,可求得a5=16,a10=512.∴a5+a6+…+a10=S10-S5+a5=

=1008.學(xué)點(diǎn)一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

【分析】利用前n項(xiàng)和公式.返回（1）求等比數(shù)列1,2,4,…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；【解解法三：由題意知a1=1,q=2,a5+a6+…+a10=S10-S4==1023-15=1008.（2）∵a3=,S3=,當(dāng)q=1時(shí)，a1=a3=,S3=3a1=3×=,∴符合題意;當(dāng)q≠1時(shí)，由通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式得返回解法三：由題意知a1=1,q=2,返回綜上知：a1=，q=1或a1=6,q=-.

【評(píng)析】在等比數(shù)列{an}中，若已知五個(gè)量a1,an,q,n,Sn中的三個(gè)量，則應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式可以求出其他兩個(gè)量.返回綜上知：a1=，q=1或a1=6,q=-.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S1，S3,S2成等差數(shù)列.（1）求｛an｝的公比q;（2）若a1-a3=3,求Sn.解返回等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S1，S3,S2成等差學(xué)點(diǎn)二用乘公比錯(cuò)位相減法求和求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n項(xiàng)和.

【分析】討論a是否為1.當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，當(dāng)a≠1時(shí)，數(shù)列較復(fù)雜，利用乘公比錯(cuò)位相減法求Sn.

【解析當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7,…,(2n-1),

則

當(dāng)a≠1時(shí)，有

Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①

aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②返回學(xué)點(diǎn)二用乘公比錯(cuò)位相減法求和求數(shù)列1,3a,5a2,7a3

①-②得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,

(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)

=1-(2n-1)an+2·

=1-(2n-1)an+

又∵1-a≠0,

∴

.返回①-②得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2a

【評(píng)析】（1）一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用本題解法——乘公比錯(cuò)位相減法.要善于識(shí)別題目類型，特別是當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形更值得注意.

（2）在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.

（3）應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，必須注意公比q≠1這一前提條件.如果不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況討論，這在以前高考中經(jīng)?？疾?返回【評(píng)析】（1）一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.（1）求{an},{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列

的前n項(xiàng)和Sn.解:返回設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a返回返回返回返回

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的兩種形式有何特點(diǎn)？

或這兩種形式的公式本質(zhì)是相同的，只不過(guò)第一種形式中所含的四個(gè)量為Sn,n,a1,q，第二種形式中所含的五個(gè)量為Sn,n,q,a1,an.

無(wú)論等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以哪種表現(xiàn)形式出現(xiàn)，在Sn,n,a1,an,q這五個(gè)量中，只要給出其中的三個(gè)量便可以求出另外的兩個(gè)量.

無(wú)論這兩種表現(xiàn)形式中的哪一個(gè)，當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和都是一種形式Sn=na1.因?yàn)楫?dāng)q=1時(shí)，這個(gè)等比數(shù)列是各項(xiàng)均為a1的常數(shù)列.返回等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的兩種形式有何特點(diǎn)？返回

在弄不清一個(gè)等比數(shù)列的公比q是不是等于1時(shí)，要分兩種情況分別討論，這種情況經(jīng)常發(fā)生在公比q用字母表示時(shí).

q=1時(shí)，不能用公式Sn=

及Sn=

求和;q≠1時(shí),也不能用公式Sn=na1求和.返回在弄不清一個(gè)等比數(shù)列的公比q是不是等于1時(shí)，要分兩種1.在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：

a1,an,n,q,Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”.2.前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，要注意前n項(xiàng)和公式需分類討論，即當(dāng)q≠1和q=1時(shí)不同的公式形式，不可忽略q=1的情況.返回1.在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：返回

必須準(zhǔn)確的理解和掌握等比數(shù)列的概念，掌握通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式an=a1qn-1的四個(gè)基本量a1,n,q,an以及各個(gè)量的作用，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠熟練地找到基本量，用它們表示出an，或者用an含基本量a1,q構(gòu)造方程、方程組，最后求得a1及q，也正是高考中要考查的函數(shù)思想、方程思想和公式的靈活運(yùn)用.

必須準(zhǔn)確的理解和掌握等比數(shù)列的概念，掌握通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步！祝同學(xué)們學(xué)習(xí)上天天有進(jìn)步！開(kāi)始等比數(shù)列前n項(xiàng)和開(kāi)始等比數(shù)列前n項(xiàng)和學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

或；當(dāng)q=1時(shí)，Sn=

.2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：設(shè)Sn=a1+a2+…+an,則qSn=a1q+a2q+a3q+…+an-1q+anq=a2+a3+…+an+anq,

兩式相減得(1-q)Sn=a1-anq,當(dāng)q≠1時(shí)，

,這一方法通常稱為

.乘公比錯(cuò)位相減法返回1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=返回返回（1）求等比數(shù)列1,2,4,…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；（2）在等比數(shù)列{an}中，已知a3=,S3=，求a1與q.

【解析】

（1）解法一：∵a1=1,q=2,∴a5=a·q4=1×24=16，a10=a1·q9=1×29=512.∴a5+a6+…+a10==1008.解法二：由a1=1,q=2,可求得a5=16,a10=512.∴a5+a6+…+a10=S10-S5+a5=

=1008.學(xué)點(diǎn)一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

【分析】利用前n項(xiàng)和公式.返回（1）求等比數(shù)列1,2,4,…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和；【解解法三：由題意知a1=1,q=2,a5+a6+…+a10=S10-S4==1023-15=1008.（2）∵a3=,S3=,當(dāng)q=1時(shí)，a1=a3=,S3=3a1=3×=,∴符合題意;當(dāng)q≠1時(shí)，由通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式得返回解法三：由題意知a1=1,q=2,返回綜上知：a1=，q=1或a1=6,q=-.

【評(píng)析】在等比數(shù)列{an}中，若已知五個(gè)量a1,an,q,n,Sn中的三個(gè)量，則應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式可以求出其他兩個(gè)量.返回綜上知：a1=，q=1或a1=6,q=-.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S1，S3,S2成等差數(shù)列.（1）求｛an｝的公比q;（2）若a1-a3=3,求Sn.解返回等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S1，S3,S2成等差學(xué)點(diǎn)二用乘公比錯(cuò)位相減法求和求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n項(xiàng)和.

【分析】討論a是否為1.當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，當(dāng)a≠1時(shí)，數(shù)列較復(fù)雜，利用乘公比錯(cuò)位相減法求Sn.

【解析當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7,…,(2n-1),

則

當(dāng)a≠1時(shí)，有

Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①

aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②返回學(xué)點(diǎn)二用乘公比錯(cuò)位相減法求和求數(shù)列1,3a,5a2,7a3

①-②得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,

(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)

=1-(2n-1)an+2·

=1-(2n-1)an+

又∵1-a≠0,

∴

.返回①-②得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2a

【評(píng)析】（1）一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用本題解法——乘公比錯(cuò)位相減法.要善于識(shí)別題目類型，特別是當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形更值得注意.

（2）在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.

（3）應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，必須注意公比q≠1這一前提條件.如果不能確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況討論，這在以前高考中經(jīng)?？疾?返回【評(píng)析】（1）一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.（1）求{an},{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列

的前n項(xiàng)和Sn.解:返回設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a返回返回返回返回

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的兩種形式有何特點(diǎn)？

或這兩種形式的公式本質(zhì)是相同的，只不過(guò)第一種形式中所含的四個(gè)量為Sn,n,a1,q，第二種形式中所含的五個(gè)量為Sn,n,q,a1,an.

無(wú)論等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以哪種表現(xiàn)形式出現(xiàn)，在Sn,n,a1,an,q這五個(gè)量中，只要給出其中的三個(gè)量便可以求出另外的兩個(gè)量.

無(wú)論這兩種表現(xiàn)形式中的哪一個(gè)，當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和都是一種形式Sn=na1.因?yàn)楫?dāng)q=1時(shí)，這個(gè)等比數(shù)列是各項(xiàng)均為a1的常數(shù)列.返回等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的兩種形式有何特點(diǎn)？返回

在弄不清一個(gè)等比數(shù)列的公比q是不是等于1時(shí)，要分兩種情況分別討論，這種情況經(jīng)常發(fā)生在公比q用字母表示時(shí).

q=1時(shí)，