四川省重點中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．閱讀下面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，程序運行輸出的結(jié)果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．82．已知定點，，是圓上的任意一點，點關(guān)于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓3．的展開式中的系數(shù)是-10，則實數(shù)()A．2 B．1 C．-1 D．-24．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i5．已知雙曲線的一個焦點為，點是的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點，以為直徑的圓過且交的左支于兩點，若，的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．6．展開式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12807．設(shè)分別是雙線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側(cè)），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．8．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．10．已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（）A． B． C． D．011．2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）.若甲隊得分的中位數(shù)是86，乙隊得分的平均數(shù)是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．1212．已知直線：與圓：交于，兩點，與平行的直線與圓交于，兩點，且與的面積相等，給出下列直線：①，②，③，④.其中滿足條件的所有直線的編號有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為__________．14．函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為________.15．在中，，，則_________.16．已知向量，，若滿足，且方向相同，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，統(tǒng)計其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在的為劣質(zhì)品，在的為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷售時劣質(zhì)品每件虧損元，優(yōu)等品每件盈利元，特優(yōu)品每件盈利元，以這件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率．（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近年的年營銷費用和年銷售量，數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值．表中，，，．根據(jù)散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關(guān)于年營銷費用（萬元）的回歸方程．①求關(guān)于的回歸方程；②用所求的回歸方程估計該企業(yè)每年應(yīng)投入多少營銷費，才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報值達(dá)到最大？（收益銷售利潤營銷費用，?。└剑簩τ谝唤M數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．18．（12分）已知函數(shù).若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.（1）若a，且a≠0，證明：函數(shù)有局部對稱點；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)c的取值范圍；（3）若函數(shù)在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）設(shè)（1）證明:當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）20．（12分）如圖，D是在△ABC邊AC上的一點，△BCD面積是△ABD面積的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=，求的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求邊AC的長．21．（12分）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，并且.（1）已知_______________，計算的面積；請①，②，③這三個條件中任選兩個，將問題（1）補充完整，并作答.注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇多種情況作答，以第一種情況的解答計分.（2）求的最大值.22．（10分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數(shù)a，b，c滿足.求證.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程，寫出每執(zhí)行一次的運行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值，第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，；第四次循環(huán)：，；第五次循環(huán)：，；第六次循環(huán)：，；第七次循環(huán)：，；第九次循環(huán)：，；第十次循環(huán)：，；所以輸出.故選：C【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.2．B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當(dāng)在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學(xué)運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.3．C【解析】

利用通項公式找到的系數(shù)，令其等于-10即可.【詳解】二項式展開式的通項為，令，得，則，所以，解得.故選：C【點睛】本題考查求二項展開式中特定項的系數(shù)，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道容易題.4．B【解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

由雙曲線的對稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點為，由雙曲線的對稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力，屬于中檔題.6．A【解析】

根據(jù)二項式展開式的公式得到具體為：化簡求值即可.【詳解】根據(jù)二項式的展開式得到可以第一個括號里出項，第二個括號里出項，或者第一個括號里出，第二個括號里出，具體為：化簡得到-1280x2故得到答案為：A.【點睛】求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).7．B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率.故選：C.【點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.9．B【解析】

由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的符號，然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.時，，時，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.故選：【點睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值，判斷導(dǎo)函數(shù)在極值點附近左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，由正負(fù)情況討論圖像可能成立的選項，是判斷圖像問題常見方法，有一定難度.10．B【解析】

根據(jù)題意可得，利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因為即而所以夾角為故選：B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從小（大）到大（?。┡帕泻?，處在最中間的那個數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識，是一道容易題.12．D【解析】

求出圓心到直線的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線的距離或時滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線的距離或時滿足條件，根據(jù)點到直線距離可知，①②④滿足條件.故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點到直線的距離公式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．16.【解析】由題意可知拋物線的焦點，準(zhǔn)線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立，消去得設(shè)點由跟與系數(shù)的關(guān)系得，同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離∴，同理∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為16點睛：（1）與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，可以使運算化繁為簡．“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑；（2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件．14．【解析】

直接計算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，故，當(dāng)時，，故，解得.故答案為：；.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.15．【解析】

先由題意得：，再利用向量數(shù)量積的幾何意義得，可得結(jié)果.【詳解】由知：，則在方向的投影為，由向量數(shù)量積的幾何意義得：，∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應(yīng)用，考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

由向量平行坐標(biāo)表示計算．注意驗證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時，滿足題意，時，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)運算，解題時要注意驗證方向相同這個條件，否則會出錯．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）元．（2）①②萬元【解析】

（1）每件產(chǎn)品的銷售利潤為，由已知可得的取值，由頻率分布直方圖可得劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率，從而可得的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；（2）①對取自然對數(shù)，得，令，，，則，這就是線性回歸方程，由所給公式數(shù)據(jù)計算出系數(shù)，得線性回歸方程，從而可求得；②求出收益，可設(shè)換元后用導(dǎo)數(shù)求出最大值．【詳解】解：（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤為，則的可能取值為，，．由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品為劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率分別為、、．所以；；．所以的分布列為所以（元）．即每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為元．（2）①由，得，令，，，則，由表中數(shù)據(jù)可得，則，所以，即，因為取，所以，故所求的回歸方程為．②設(shè)年收益為萬元，則令，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，有最大值．即該企業(yè)每年應(yīng)該投入萬元營銷費，能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報值達(dá)到最大，最大收益為萬元．【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查隨機(jī)變量概率分布列與期望，考查求線性回歸直線方程，及回歸方程的應(yīng)用．在求指數(shù)型回歸方程時，可通過取對數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為求線性回歸直線方程，然后再求出指數(shù)型回歸方程．18．（1）見解析（2）（3）【解析】

（1）若函數(shù)有局部對稱點,則,即有解,即可求證；（2）由題可得在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍；（3）由題可得在上有解,即在上有解,設(shè),則可變形為方程在區(qū)間內(nèi)有解,進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）證明:由得,代入得,則得到關(guān)于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對稱點（2）解:由題,因為函數(shù)在定義域內(nèi)有局部對稱點所以在內(nèi)有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設(shè),則,所以令,則,當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因為,,所以,所以,所以（3）解:由題,,由于,所以,所以（*）在R上有解,令,則,所以方程（*）變?yōu)樵趨^(qū)間內(nèi)有解,需滿足條件：,即,得【點睛】本題考查函數(shù)的局部對稱點的理解,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題,考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力.19．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式可得，構(gòu)造函數(shù)，求得并令，由導(dǎo)函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，變形后討論當(dāng)時的函數(shù)單調(diào)情況：當(dāng)時，可知滿足題意；將不等式化簡后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗的符號，即可確定整數(shù)的最大值；當(dāng)時不滿足題意，因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論.【詳解】（1）證明：當(dāng)時代入可得，令，，則，令解得，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，所以，則，即成立.（2）函數(shù)則，若時，當(dāng)時，，則在時單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時成立；所以此時需滿足的整數(shù)解即可，將不等式化簡可得，令則令解得，當(dāng)時，即在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取得最小值，則，，，所以此時滿足的整數(shù)的最大值為；當(dāng)時，在時，此時，與題意矛盾，所以不成立.因為求整數(shù)的最大值，所以時無需再討論，綜上所述，當(dāng)時，整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系和應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法求最值，并判斷函數(shù)值法符號，綜合性強，屬于難題.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角形面積公式以及并結(jié)合正弦定理，可得結(jié)果.（Ⅱ）根據(jù)，可得，然后使用余弦定理，可得結(jié)果.【詳解】（