北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè) 14 角平分線 教學(xué)課件

1.4角平分線第1課時(shí)1.4角平分線第1課時(shí)1定理:角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.AOBPEDC證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠ODP=∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中

∠ODP=∠OEP,∠DOP＝∠EOP,OP=OP∴Rt△ODP≌Rt△OEP(AAS)∴PD=PE定理:角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB2角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.C角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)3例.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上,BD=DF.求證：CF=EB.證明：∵AD平分∠CAB,

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴CD＝DE(角平分線的性質(zhì)).在Rt△CDF和Rt△EDB中,

CD=ED（已證）,

DF=DB

（已知）,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.CFAEDB例.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的4′思考分析

你能寫出角平分線的性質(zhì)定理的逆命題嗎?逆命題：

在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.請(qǐng)你證明它是不是真命題?′思考分析你能寫出角平分線的性質(zhì)逆命題：請(qǐng)你證明它是不是5已知:如圖,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.OBAPDE逆命題：在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠ODP=∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中

DP=EP,OP＝OP∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)∴∠AOP=∠BOP，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.角平分線的判定已知:如圖,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足6OBAPDE逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部,

到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.幾何語(yǔ)言：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn))的根據(jù)之一.也叫平分線的判定定理OBAPDE逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)7例1已知:如圖,在△ABC中,∠BAC=60度，點(diǎn)D在BC上，AD=10，且DE=DF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求DE的長(zhǎng).ABCDEF證明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.DE=DF,∴AD是∠BAC的平分線又∵2BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°,AD=10,DE=AD=x10=5例1已知:如圖,在△ABC中,∠BAC=60度，點(diǎn)D在BC8例2

如圖,BD=CD,CE⊥AB,BF⊥AC.求證:∠BAD=∠CAD.分析:要證明點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,只需證明點(diǎn)D到∠BAC兩邊的距離相等,可以由△BDE≌△CDF得到.證明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.∴△EBD≌△FCD(AAS).∴DE=DF.∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上).∴∠BAD=∠CAD.例2如圖,BD=CD,CE⊥AB,BF⊥AC.∴△EBD≌9練習(xí)．如圖，在四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且AO平分∠BAC.求證：OC平分∠ACD.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC.∵AO平分∠BAC，∠ABD＝90°，∴OE＝OB.又∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD.練習(xí)．如圖，在四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點(diǎn)O10

到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE本課小結(jié)角平分線的性質(zhì)定理角平分線的判定定理到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言111.如圖,在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上,BD=DF.求證:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.證明:(1)∵AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB.課外作業(yè)1.如圖,在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分線122．如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D.求證：(1)∠ECD＝∠EDC；(2)OC＝OD；(3)OE是線段CD的垂直平分線．證明：(1)∵點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC.(2)∵在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE＝OE，ED＝EC∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，∴OC＝OD.(3)∵ED＝EC，OD＝OC，∴OE是線段CD的垂直平分線．2．如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥O133．如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到△ABC三邊AB，BC，CA的距離OF＝OD＝OE，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，求∠BOC的度數(shù)．解：∵O到三邊AB，BC，CA的距離OF＝OD＝OE，∴點(diǎn)O是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝25°，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－30°－25°＝125°.3．如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到△ABC三邊AB，BC，144.如圖，在四邊形OACB中,CM⊥OA于點(diǎn)M,若∠1=∠2,∠3+∠4=180°求證:CA=CB.4.如圖，在四邊形OACB中,CM⊥OA于點(diǎn)M,若∠1=∠15習(xí)題1.9答案1.解如圖,結(jié)論:三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn),并且這個(gè)點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等.2.證明∵AD平分∠BAC且DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.又BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE=CF.習(xí)題1.9答案163.證明證法1:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵DE垂直平分AB,∴EA=EB.∴∠ABE=∠A=30°.∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°=∠ABE.∴BE平分∠ABC.證法2:∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB∵DE垂直平分AB,∴BD=AB,∠BDE=90°.∴BC=BD.又∵∠C=90°,BE=BE,∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).∴∠DBE=∠CBE∴BE平分∠ABC.3.證明證法1:∵∠C=90°,∠A=30°,又∵∠C=90174.解作法:如圖,(1)作∠AOB的平分線OM;(2)連接CD;(3)作CD的垂直平分線交OM于點(diǎn)P,則P點(diǎn)即為所求.4.解作法:如圖,(1)作∠AOB的平分線OM;181.4角平分線第2課時(shí)三角形的內(nèi)角平分線1.4角平分線第2課時(shí)三角形的內(nèi)角平分線19活動(dòng)1

分別畫出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的內(nèi)角平分線發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).活動(dòng)1分別畫出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三20活動(dòng)2

分別過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等.活動(dòng)2分別過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂21已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作三邊的垂線，垂足分別是點(diǎn)D,E,F.求證：求證角A的平分線過(guò)點(diǎn)P,且PD=PE=PF證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點(diǎn)P在角A的平分線上,即三條角平分線相交于一點(diǎn)即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

求證:三條角平分線相交于一點(diǎn),且這點(diǎn)三條邊的距離相等已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作22P1P2P3P4l1l2l3練習(xí).如圖,直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,可選擇的地址有幾處?畫出它的位置.P1P2P3P4l1l2l3練習(xí).如圖,直線l1、l2、l23例1.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)如果CD=4cm,AC的長(zhǎng);EDABC（1）解：∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，例1.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,24(2)求證:AB=AC+CD.EDABC（2）證明：由（1）的求解過(guò)程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.例1.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(2)求證:AB=AC+CD.EDABC（2）證明：由（1）25解：連接OCMENABCPOD例2：如圖，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4,若△ABC的周長(zhǎng)為32，求△ABC的面積.解：連接OCMENABCPOD例2：如圖，在直角△ABC中，26解:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.理由如下:過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E.∵S四邊形OMPG=S四邊形OFPN,∴S四邊形OMPG-S四邊形OMPF=S四邊形OFPN-S四邊形OMPF,即S△FPG=S△MPN.∵FG=MN,∴PD=PE.又PD⊥OA,PE⊥OB,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.例3

如圖,點(diǎn)F,G是OA上的兩點(diǎn),點(diǎn)M,N是OB上的兩點(diǎn),且FG=MN,四邊形OMPG的面積與四邊形OFPN的面積相等.那么點(diǎn)P是否在∠AOB的平分線上?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.∵FG=MN,∴PD=PE.例27習(xí)題1.101.證明∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAD=30°.∵∠B=30°,∴∠BAD=∠B=30°.∴BD=AD.∵∠C=90°,∠DAC=30°,∴AD=2CD.∴BD=2CD.習(xí)題1.10282.證明如圖所示,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD,FH⊥AE,FI⊥BC.∵BF是∠DBC的平分線,∴FG=FI.同理,FH=FI.∴FG=FH.∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.3.證明(1)∵P是∠AOB平分線上的一點(diǎn),PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.∴OC=OD.(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,∴OP是CD的垂直平分線.2.證明如圖所示,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD,FH⊥AE,FI⊥BC294.解(1)如圖,作∠BAC的角平分線AF或作∠BAC的外角∠CAE的外角平分線AN,則直線AF或直線AN上任意一點(diǎn)(A除外)都滿足到AB,AC的距離相等,可以修建油庫(kù).(2)如圖,作∠BAC的角平分線,作∠BCA的角平分線,兩角平分線交于一點(diǎn)P,P點(diǎn)是修建油庫(kù)的位置.4.解(1)如圖,作∠BAC的角平分線AF或作∠BAC的外角301.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

2.三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)只有一個(gè),實(shí)際作圖時(shí),只需作出兩個(gè)角的平分線,第三個(gè)角的平分線必過(guò)這兩條角平分線的交點(diǎn).3.利用面積法求距離的方法:三角形角平分線交點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)的連線,把原三角形分割成了三個(gè)小三角形,利用小三角形的面積之和等于原三角形的面積,是求角平分線交點(diǎn)到三邊距離的常用方法.

歸納總結(jié)1.三角形三條角平分線的性質(zhì)定理:三角形的三條角平分線相交于311.如圖,在△ABC中,∠B的平分線與∠C的外角的平分線交于點(diǎn)P,PD⊥AC于點(diǎn)D,PH⊥BA于點(diǎn)H.(1)若點(diǎn)P到直線BA的距離是5cm,求點(diǎn)P到直線BC的距離;(2)求證:點(diǎn)P在∠HAC的平分線上.課外作業(yè)1.如圖,在△ABC中,∠B的平分線與∠C的外角的平分線交于322.如圖,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為點(diǎn)D,E,BE,CD相交于點(diǎn)O,連接AO.求證:(1)當(dāng)∠l=∠2時(shí),OB=OC;(2)當(dāng)OB=OC時(shí),∠1=∠2.2.如圖,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為點(diǎn)D,E,B332.如圖,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為點(diǎn)D,E,BE,CD相交于點(diǎn)O,連接AO.求證:(1)當(dāng)∠l=∠2時(shí),OB=OC;(2)當(dāng)OB=OC時(shí),∠1=∠2.2.如圖,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為點(diǎn)D,E,B343.已知∠MAN=I20°,AC平分∠MAN,點(diǎn)B,D分別在AN,AM上，(1)如圖①,若∠ABC=∠ADC=90°，請(qǐng)你探究線段AD,AB,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(2)如圖②,若∠ABC+∠ADC=180°,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.3.已知∠MAN=I20°,AC平分∠MAN,點(diǎn)B,D分別353.已知∠MAN=I20°,AC平分∠MAN,點(diǎn)B,D分別在AN,AM上，(2)如圖②,若∠ABC+∠ADC=180°,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.3.已知∠MAN=I20°,AC平分∠MAN,點(diǎn)B,D分別361.4角平分線第1課時(shí)1.4角平分線第1課時(shí)37定理:角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.AOBPEDC證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠ODP=∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中

∠ODP=∠OEP,∠DOP＝∠EOP,OP=OP∴Rt△ODP≌Rt△OEP(AAS)∴PD=PE定理:角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB38角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等的根據(jù)之一.C角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)39例.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上,BD=DF.求證：CF=EB.證明：∵AD平分∠CAB,

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴CD＝DE(角平分線的性質(zhì)).在Rt△CDF和Rt△EDB中,

CD=ED（已證）,

DF=DB

（已知）,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.CFAEDB例.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的40′思考分析

你能寫出角平分線的性質(zhì)定理的逆命題嗎?逆命題：

在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.請(qǐng)你證明它是不是真命題?′思考分析你能寫出角平分線的性質(zhì)逆命題：請(qǐng)你證明它是不是41已知:如圖,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.OBAPDE逆命題：在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠ODP=∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt△OEP中

DP=EP,OP＝OP∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)∴∠AOP=∠BOP，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.角平分線的判定已知:如圖,PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足42OBAPDE逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部,

到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.幾何語(yǔ)言：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn))的根據(jù)之一.也叫平分線的判定定理OBAPDE逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)43例1已知:如圖,在△ABC中,∠BAC=60度，點(diǎn)D在BC上，AD=10，且DE=DF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求DE的長(zhǎng).ABCDEF證明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.DE=DF,∴AD是∠BAC的平分線又∵2BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°,AD=10,DE=AD=x10=5例1已知:如圖,在△ABC中,∠BAC=60度，點(diǎn)D在BC44例2

如圖,BD=CD,CE⊥AB,BF⊥AC.求證:∠BAD=∠CAD.分析:要證明點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,只需證明點(diǎn)D到∠BAC兩邊的距離相等,可以由△BDE≌△CDF得到.證明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.∴△EBD≌△FCD(AAS).∴DE=DF.∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上).∴∠BAD=∠CAD.例2如圖,BD=CD,CE⊥AB,BF⊥AC.∴△EBD≌45練習(xí)．如圖，在四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且AO平分∠BAC.求證：OC平分∠ACD.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC.∵AO平分∠BAC，∠ABD＝90°，∴OE＝OB.又∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD.練習(xí)．如圖，在四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點(diǎn)O46

到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE本課小結(jié)角平分線的性質(zhì)定理角平分線的判定定理到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言471.如圖,在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上,BD=DF.求證:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.證明:(1)∵AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC.∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB.課外作業(yè)1.如圖,在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分線482．如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D.求證：(1)∠ECD＝∠EDC；(2)OC＝OD；(3)OE是線段CD的垂直平分線．證明：(1)∵點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC.(2)∵在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE＝OE，ED＝EC∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，∴OC＝OD.(3)∵ED＝EC，OD＝OC，∴OE是線段CD的垂直平分線．2．如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥O493．如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到△ABC三邊AB，BC，CA的距離OF＝OD＝OE，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，求∠BOC的度數(shù)．解：∵O到三邊AB，BC，CA的距離OF＝OD＝OE，∴點(diǎn)O是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝25°，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－30°－25°＝125°.3．如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到△ABC三邊AB，BC，504.如圖，在四邊形OACB中,CM⊥OA于點(diǎn)M,若∠1=∠2,∠3+∠4=180°求證:CA=CB.4.如圖，在四邊形OACB中,CM⊥OA于點(diǎn)M,若∠1=∠51習(xí)題1.9答案1.解如圖,結(jié)論:三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn),并且這個(gè)點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等.2.證明∵AD平分∠BAC且DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.又BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE=CF.習(xí)題1.9答案523.證明證法1:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵DE垂直平分AB,∴EA=EB.∴∠ABE=∠A=30°.∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°=∠ABE.∴BE平分∠ABC.證法2:∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB∵DE垂直平分AB,∴BD=AB,∠BDE=90°.∴BC=BD.又∵∠C=90°,BE=BE,∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).∴∠DBE=∠CBE∴BE平分∠ABC.3.證明證法1:∵∠C=90°,∠A=30°,又∵∠C=90534.解作法:如圖,(1)作∠AOB的平分線OM;(2)連接CD;(3)作CD的垂直平分線交OM于點(diǎn)P,則P點(diǎn)即為所求.4.解作法:如圖,(1)作∠AOB的平分線OM;541.4角平分線第2課時(shí)三角形的內(nèi)角平分線1.4角平分線第2課時(shí)三角形的內(nèi)角平分線55活動(dòng)1

分別畫出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的內(nèi)角平分線發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).活動(dòng)1分別畫出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三56活動(dòng)2

分別過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等.活動(dòng)2分別過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂57已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作三邊的垂線，垂足分別是點(diǎn)D,E,F.求證：求證角A的平分線過(guò)點(diǎn)P,且PD=PE=PF證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.∴點(diǎn)P在角A的平分線上,即三條角平分線相交于一點(diǎn)即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

求證:三條角平分線相交于一點(diǎn),且這點(diǎn)三條邊的距離相等已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作58P1P2P3P4l1l2l3練習(xí).如圖,直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,可選擇的地址有幾處?畫出它的位置.P1P2P3P4l1l2l3練習(xí).如圖,直線l1、l2、l59例1.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(1)如果CD=4cm,AC的長(zhǎng);EDABC（1）解：∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，例1.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,60(2)求證:AB=AC+CD.EDABC（2）證明：由（1）的求解過(guò)程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.例1.如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.(2)求證:AB=AC+CD.EDABC（2）證明：由（1）61解：連接OCMENABCPOD例2：如圖，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4,若△ABC的周長(zhǎng)為32，求△ABC的面積.解：連接OCMENABCPOD例2：如圖，在直角△ABC中，62解:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.理由如下:過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E.∵S四邊形OMPG=S四邊形OFPN,∴S四邊形OMPG-S四邊形OMPF=S四邊形OFPN-S四邊形OMPF,即S△FPG=S△MPN.∵FG=MN,∴PD=PE.又PD⊥OA,PE⊥OB,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.例3

如圖,點(diǎn)F,G是OA上的兩點(diǎn),點(diǎn)M,N是OB上的兩點(diǎn),且FG=MN,四邊形OMPG的面積與四邊形OFPN的面積相等.那么點(diǎn)P是否在∠AOB的平分線上?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.∵FG=MN,∴PD=PE.例63習(xí)題1.101.證明∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAD=30°.∵∠B=30°,∴∠BAD=∠B=30°.