2023屆上海市同洲模范學(xué)校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.2.如圖,中,點(diǎn)D在BC上,,將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐,分別記,與平面ADC所成角為,,則,的大小關(guān)系是()A. B.C.,兩種情況都存在 D.存在某一位置使得3.已知函數(shù)(,且)在區(qū)間上的值域?yàn)?,則()A. B. C.或 D.或44.已知平面向量,滿足且,若對(duì)每一個(gè)確定的向量,記的最小值為,則當(dāng)變化時(shí),的最大值為()A. B. C. D.15.已知,則()A. B. C. D.6.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件7.過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率為()A. B.C.或 D.或8.若雙曲線的離心率,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為()A. B.2 C. D.19.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則()A. B. C. D.10.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.11.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點(diǎn)都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.12.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的()A.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè),從中任意摸取3個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性相等,則取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率是__.14.已知變量(m>0),且,若恒成立,則m的最大值________.15.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽,則田忌的馬獲勝的概率為__________.16.關(guān)于函數(shù)有下列四個(gè)命題:①函數(shù)在上是增函數(shù);②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱;③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線;④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.(寫出所有正確命題的序號(hào))三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當(dāng)時(shí),.18.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為,與軸正半軸交點(diǎn)為,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)作斜率為、的兩條直線分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明:當(dāng)時(shí),直線過定點(diǎn).20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的方程為.以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程,并求出直線l與曲線C的交點(diǎn)M,N的極坐標(biāo);(2)設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求面積的最大值.21.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M在橢圓C上,求直線l的方程.22.(10分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間(單位:小時(shí)).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布表:時(shí)間(小時(shí))[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”?男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過2小時(shí)每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)總計(jì)附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;【詳解】解:當(dāng)時(shí),,無意義,故排除A;又,則,故排除D;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以不單調(diào),故排除C;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段,表示出所要求得、角,分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小,從而判斷出角的大小,即可得答案.【詳解】由題可得過點(diǎn)作交于點(diǎn),過作的垂線,垂足為,則易得,.設(shè),則有,,,可得,.,,;,;,,,.綜上可得,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3、C【解析】

對(duì)a進(jìn)行分類討論,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知,.討論:當(dāng)時(shí),,所以,,所以;當(dāng)時(shí),,所以,,所以.綜上,或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題,指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).4、B【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點(diǎn).由即可求得點(diǎn)的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點(diǎn)的軌跡方程為又因?yàn)?變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值設(shè)切線的方程為,化簡(jiǎn)可得由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可得,化簡(jiǎn)可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時(shí),到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.5、B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.6、A【解析】

首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

利用切割線定理求得,利用勾股定理求得圓心到弦的距離,從而求得,結(jié)合,求得直線的傾斜角為,進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分,圓心為,半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn),則所以到弦的距離為,,所以,由于,所以直線的傾斜角為,斜率為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.8、C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率,可求得的值;得漸近線方程后,由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率,則,,解得,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,則雙曲線漸近線方程為,即,不妨取右焦點(diǎn),則由點(diǎn)到直線距離公式可得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用,漸近線方程的求法,點(diǎn)到直線距離公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡(jiǎn),即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過點(diǎn)作平面的垂線與過點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),在中計(jì)算出,再利用勾股定理計(jì)算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點(diǎn),,,且、分別為、的中點(diǎn),所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點(diǎn),同理可知,的外心為點(diǎn),分別過點(diǎn)作平面的垂線與過點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),則點(diǎn)在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中等題.12、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系,即可容易求得.【詳解】為得到,將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),故可得;再將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,故可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移,涉及誘導(dǎo)公式的使用,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題,得滿足題目要求的情況有,①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選和②有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類:①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況;②有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況,又從中任意摸取3個(gè)小球,有種情況,所以取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.14、【解析】

在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,設(shè)f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,m)上為增函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函數(shù)f(x)的最大增區(qū)間為(0,e),則m的最大值為e故答案為:e【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用,根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù),是解決本題的關(guān)鍵15、.【解析】分析:由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解:由題意可知了,比賽可能的方法有種,其中田忌可獲勝的比賽方法有三種:田忌的中等馬對(duì)齊王的下等馬,田忌的上等馬對(duì)齊王的下等馬,田忌的上等馬對(duì)齊王的中等馬,結(jié)合古典概型公式可得,田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛:有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時(shí),用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí),要做到不重復(fù)、不遺漏,可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.16、①②③【解析】

由單調(diào)性、對(duì)稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】函數(shù)的定義域是,由于,在上遞增,∴函數(shù)在上是遞增,①正確;,∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱,②正確;,時(shí)取等號(hào),∴③正確;,設(shè),則,顯然是即的極小值點(diǎn),④錯(cuò)誤.故答案為:①②③.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值,解題時(shí)按照相關(guān)概念判斷即可,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解析】

(1)取,則;取,則,∴;(2)要證,只需證,當(dāng)時(shí),;假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即,兩邊同乘以3得:而∴,即時(shí)結(jié)論也成立,∴當(dāng)時(shí),成立.綜上原不等式獲證.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)要證明,只需證明即可;(2)有3個(gè)根,可轉(zhuǎn)化為有3個(gè)根,即與有3個(gè)不同交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可.【詳解】(1)令,則,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,即,所以.(2)由已知,,依題意,有3個(gè)零點(diǎn),即有3個(gè)根,顯然0不是其根,所以有3個(gè)根,令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,作出的圖象,易得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.19、(1);(2)見解析.【解析】

(1)在中,計(jì)算出的值,可得出的值,進(jìn)而可得出的值,由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,根據(jù)已知條件得出,利用韋達(dá)定理和斜率公式化簡(jiǎn)得出與所滿足的關(guān)系式,代入直線的方程,即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)在中,,,,,,,,因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題不妨設(shè),設(shè)點(diǎn),聯(lián)立,消去化簡(jiǎn)得,且,,,,,∴代入,化簡(jiǎn)得,化簡(jiǎn)得,,,,直線,因此,直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了橢圓中直線過定點(diǎn)的問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1),,;(2).【解析】

(1)利用公式即可求得曲線的極坐標(biāo)方程;聯(lián)立直線和曲線的極坐標(biāo)方程,即可求得交點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)形式,將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題即可求得.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程:聯(lián)立,得,又因?yàn)槎紳M足兩方程,故兩曲線的交點(diǎn)為,.(2)易知,直線.設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離(其中).面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化,涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問題,屬綜合中檔題.21、/

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