微積分學(xué)課件：6-5 冪級(jí)數(shù)及其和函數(shù)

第五節(jié)冪級(jí)數(shù)第六章級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算四、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1.定義:2.收斂點(diǎn)與收斂域:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.3.和函數(shù):例解解由達(dá)朗貝爾判別法原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:證明由(1)結(jié)論幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論定義:

正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?證明由比值審斂法,定理證畢.證明與定理２類(lèi)似。例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].例解：由級(jí)數(shù)收斂的必要條件,可知綜上所述,

解缺少偶次冪的項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為注又解１.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算(收斂半徑不變)(收斂半徑不變)此推論表明：冪級(jí)數(shù)由(-R,R)上的和函數(shù)S(x)在x=0的各階導(dǎo)數(shù)所唯一確定。２.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):性質(zhì)１(1)加減法(其中性質(zhì)２(2)乘法(其中柯西乘積(3)除法解兩邊積分得

注

例

求冪級(jí)數(shù)11-￥=?nnnx的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求

當(dāng)x(-1,1)時(shí)，

冪級(jí)數(shù)11-￥=?nnnx的收斂區(qū)間為(-1,1)。

例解求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法：(1)利用冪級(jí)數(shù)的線(xiàn)性運(yùn)算法則。(2)利用變量代換。解常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)例