全國物理競賽復賽試題解答

33第十三屆全國物理競賽復賽試題解答一、在各段電路上，感應電流的大小和方向如圖復解13-1所示電流的分布，已考慮到電路的對稱性，根據(jù)法拉第電磁感應定律和歐姆定律，對半徑為a的圓電路，可得na2k=2rI+rI'I1圖復解13-I1圖復解13-13、；3a2k/4=2rI+2rI'2222對由弦AB和弧AB構成的回路，可得(na2-3石a2/4)k/3=rI-rI1122考慮到，流進B點的電流之和等于流出B點電流之和,有I+I=I'+I'1212由含源電路歐姆定律可得U-U=na2k/3-IrAB11由以上各式及題給出的r2=2r1/3可解得21U-U=-v'3a2k/32AB二、解法一：1、分析和等效處理根據(jù)棱鏡玻璃的折射率，棱鏡斜面上的全反射臨界角為a=arcsin(1/n)?42。c圖復解13-2-1注意到物長為4mm,由光路可估算，進入棱鏡的近軸光線在斜面上的入射角大多在45o左右，大于臨界角，發(fā)生全反射。所以對這些光線而言，棱鏡斜面可看成是反射鏡。本題光路可按反射鏡成像的考慮方法，把光路“拉直”如圖復解13圖復解13-2-1一塊垂直于光軸、厚度為6cm的平玻璃板及其后的會聚透鏡、發(fā)散透鏡成像的問題。2、求像的位置；厚平玻璃板將使物的近軸光線產(chǎn)生一個向右側(cè)移動一定距離的像，它成為光學系統(tǒng)后面部分光路的物，故可稱為側(cè)移的物。利用沿光軸的光線和與光軸成a角的光線來討論就可求出這個移動的距離。

設軸上的物點為B。由于厚平玻璃板的作用（即側(cè)移的物點）為B'（如圖復解13-2-2所示）。畫出厚平玻璃板對光線的折射，由圖可知Al=d（ctga）而所以當a為小角度時故得d=D(tga-tgB)Al=D(1-tga/tgB)tgB/tga~sinB/sina=1/nAl=D(1一1/n)=2cm這也就是物AB與它通過厚玻璃板所成的像之間的距離。這個像對透鏡L1來說就是物，而物距u=〔（6一2）+6+10〕cm=20cm1可見，物正好在L的左方焦平面上，像距即為v=-。11再考慮透鏡L，這是平行光線入射情形，u=-o22所以必須成像于這個發(fā)散透鏡L左側(cè)的焦平面上（虛像）v=f=-10cm222整個光路的最后成像位置就是在L的左側(cè)10cm處。23、求像的大小和虛、實、正、倒情況：可用作圖法求解，如圖復解13-2-3所示（為了圖示清楚圖中把物高加大了）連接A'O］并延長，便得到發(fā)自A'的光線經(jīng)L后的平行光線的方向。過L的光心O作A，O的平行線，221它與L］交于C點，則A'C即為從A'發(fā)出經(jīng)過L］折射后又通過L光心的光線。反向延長CO與L222左側(cè)焦平面的交點A就是A由L與L所成的像12點。令L左側(cè)焦面與光軸的交點為B〃。A〃B〃就2是A的像，這是一個正立的虛像。由圖可得A"B"=ftgY2AE'=ftgY1而A'B'與AB等高，所以像的大小為A"B"=（f|/f）A'B'=212mm解法二：關于物體AB經(jīng)棱鏡（折射，反射，折射）后，所成像的位置及大小可采用視深法處理。如圖復解13-2-4所示，AB發(fā)出的、與PQ面近乎垂直的小光束經(jīng)PQ面折射后成像于A”］這是視深問題。A］、B］與PQ面的距離均為A、B與PQ面的距離的n倍，即=nClAB=AB（像與物的大小相11111同）AB經(jīng)PR面的反射成像于AB，大小不變，且1122CB=CB=CC+CB=CP+nCB2221211111圖復解13-2-3A1*圖復解13-2-3A1*A*圖復解13-2-4a2b2QR面后折射成像于AB'，CB'(CB/n=(CC+CB)/n=(CQ+CP+nCB)/n=(PQ+CB'32322211111

=（6/1.5+6）cm=10cm由此即可求出這個像A?作為透鏡L］=（6/1.5+6）cm=10cm由此即可求出這個像A?作為透鏡L］的物的物距，其它部分的求解同解法（一）。三、由對稱性可知，C點的速度也必沿CA方向，設其大小為vCoD的速度可以分解為平行于v和垂直于v的分速度，其大小分別設為v和v。同樣，B的速度也類似地D1D2分解為平行和垂直于v的二個分速度，其大小設為v和v，如圖復解13-3所示，B1B2根據(jù)對稱性，必有v=vB1D1v=vB2D20（2）由于繩子不可伸長，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即vcosa=vcosa+vsinaD1D2vcosa=vcosa-vsinaCD1D2（3）（4）另一方面，設繩子AD給質(zhì)點D的沖量的大小為I,，繩子DC給質(zhì)點C沖量大小為I2o12注意到繩子DC給質(zhì)點D的沖量的大小同樣也是I（各沖量的方向均沿繩子方向）由對稱2性還可以判定，繩子AB給質(zhì)點B的沖量的大小也是*,繩子BC給質(zhì)點B和C的沖量的大小都是I，根據(jù)動量定理，可分別列出關于質(zhì)點D平行和垂直于v的方向以及質(zhì)點C平2行于v方向的關系式如下：mv=Icosa-IcosaD112mv=Isina+1sinaD212mv=2IcosaC2由（3）?（7）式可解出本題所需的v和v、D1D2（5）（6）（7）v=v/(1+2sin2a)D1v=vsin2a/(1+2sin2a)D2v=vcos2a/(1+2sin2a)C據(jù)此結果和(1)、(2)式，此系統(tǒng)的總動量為P=mv+2mv+mv=4mv/(1+2sin2a)，D1C此系統(tǒng)的總動能為方向沿CA方向。E=E+E+E+EABCDv2+2v2D1+2v2D2+v2C)=2mv2/(1+2sin2a四、1、見圖復解13-4。導體是一個等勢體，所以導體球接地（V球=0）時，對于球心點有99)99)V=V=0球心球（1）另一方面，可以直接計算球心點的電勢。因為所有感應電荷都分布在球面上，它們到球心的距離都是R,而圓環(huán)上電荷到球心的距離都是vr2+a2，所以V=V=0球心球（1）另一方面，可以直接計算球心點的電勢。因為所有感應電荷都分布在球面上，它們到球心的距離都是R,而圓環(huán)上電荷到球心的距離都是vr2+a2，所以圖復解13-4V=Kn/R+Kq/vr2+a2（2）球心感式中q*就是要求的感應電荷總量。由（1）、（2）兩式即得感=-Rq/“2+a23)2、導體球不接地時，其電勢可通過對球心的電勢計算而求得：V球心=Kq面/R+Kqg+a24)式中q面表示分布在球面上所有電荷的代數(shù)和，而導體球體內(nèi)是不會有電荷分布的。由于題給導體球為電中性，即q面=0,所以由⑷式得V』=Kq/W+a2球面3、導體球的電勢為V時，再以球心點考慮:0V=V=V

球心球05)(6)而另一方面，球心的電勢是球面上電荷和圓環(huán)上電荷分別產(chǎn)生的電勢的迭加：IV球心=Kq面/R+Kqw+a27)導體球的總電荷就是球面上的電荷總量，由（6）、（7）兩式解得q=q=RV/K-Rq\-'r2+a2（8）總面04、對比（8）式和（3）式可知，情況3比情況1只是在導體球上多了電荷RV/K，0而導體球的電勢相應地由零變?yōu)閂?？梢栽O想從情況1出發(fā)，把導體球與地斷開而維持原0來的a大小及分布不變，再把電荷RV/K均勻地加到球面上，正是它使球的電勢變?yōu)閂,感00即成為情況3。對于球外的圓環(huán)來說，這些加上的電荷對它的作用力相當于集中在球心處的等量點電荷對它的作用力，這也就是圓環(huán)受到的作用力。由于圓環(huán)上的電荷均勻發(fā)布，對圓環(huán)中心到球心的連線具有軸對稱性，把圓環(huán)上各線元電荷受到上述等效點電荷的作用力沿二心連線方向的分量相加，就是圓環(huán)多受到的作用力。所以，其方向是沿二心向外（圖中向右）。大小是(RV/K)qaRaqV0-=0r2+a2r2+a2(r2+a2)3/25、可直接應用情況4的結果，只是現(xiàn)在把（9）式中的V用情況2中的VhJ直，即將（5）0球式代入即可。所以，情況2比情況1圓環(huán)多受的力方向仍為沿二心連線向外（圖中向右），大小是Fr=KFr=KRaq(r2+a2)3/2Kq=KRaq2

r2+a2(r2+a2)2五、當氣球充滿氣體而球內(nèi)壓強大于球外時，布料即被繃緊，布料各部分之間產(chǎn)生張力，正是這種張力可能使布料被撕裂。設想把氣球分成上下兩個半球，它們的交線是一個直徑為d的圓周，周長為nd,所以要從這條交線處撕破氣球，至少需要的張力為f?閔，另一方m面，考慮上半球（包括半球內(nèi)的氣體）受力的情況，它受到三個力作用：1、下半球的球面布料所施加的張力F；2、上半球外空氣對它的壓力的合力，其大小為兀d2p/4，p是氣球所在高度處的大氣aa壓強；3、下半球內(nèi)氣體對它的壓力為兀d2p/4，式中p為氣球內(nèi)氣體的壓強。忽略浮力時，上述三力相互平衡，即nd2p/4=nd2p/4+Fa而當F>f?nd時，布料即被撕裂，所以，氣球破裂的條件是m1)nd2(p—p)/4>f?n1)am設氣球破裂發(fā)生在高度h處，則2)p=p+a2)p=p+ah

aa0p而該處溫度T=T+ah0T這個溫度也就是破裂時氣球內(nèi)氣體的溫度。又因為氣球在上升過程中球內(nèi)氣體是等容變化，所以有p/T=p/T00即p=pT/T00（2）、（4）和（3）式代入（1）式，得h>（4f/d）-（p-p）hm0a0~—2.1X1033)4)a0m0（p/T）a-a00Tp即所球上升到2.1x103m高度以上就將破裂。六?判斷所用電路如圖復解13七。a、b、c、d為四個電阻。P、Q間可接電流計,由電流計中電流I的方向可判斷出P、Q兩點中哪一點的電勢較高?？赡艹霈F(xiàn)下列三種情況:1、I=0,這表示四個電阻的阻值相等。圖復解13-62、I從P到Q,這表示P點電勢較高，a、b、c、d中有一電阻偏大或偏小。有下列四種可能：b偏大；c偏大;a偏??；d圖復解13-63、I從Q到P,這表示P點電勢較低，有四種可能；a偏大；d偏大；b偏??；c偏小。應采取的實驗步驟和判斷：設7個電阻為①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，阻值相同的稱為正常電阻，阻值不同的那個為特異電阻。第一次測量：將①、②、③、④分別接入a、b、c、d位置，這時可有以下三種情況：情況A：I向下，則有四種可能：②大；③大；①小；④小。情況B：I向上，則有四種可能：①大；④大；②??；③小。情況A和情況B中，其余三個電阻⑤、⑥、⑦均正常。情況E：I=0,這時，①、②、③、④正常，特異電阻在⑤、⑥、⑦中。第二次測量：若情況A或情況B成立