大學(xué)物理：第五章機(jī)械振動(dòng)

本章教學(xué)內(nèi)容第五章機(jī)械振動(dòng)vibrationmechanicalchapter55.2

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量5.3

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成5.1

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及描述5.4

阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)簡(jiǎn)介二掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法，并會(huì)用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的討論和分析.一掌握描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系.本章教學(xué)基本要求三掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征，能建立一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義.四理解同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的特點(diǎn).五了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的發(fā)生條件及規(guī)律.§5機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)電磁振動(dòng)

……◆振動(dòng)的形式◆振動(dòng)的分類受迫振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由非諧振動(dòng)(簡(jiǎn)諧振動(dòng))無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由諧振動(dòng)物體或物體的某一部分在一定位置附近來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)

實(shí)例:

心臟的跳動(dòng)，鐘擺，樂器，地震等◆

機(jī)械振動(dòng):平衡位置§5.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)及描述（simpleharmonicvibration)最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解◆簡(jiǎn)諧振動(dòng):一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)◆諧振子:作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體彈簧振子的振動(dòng)平衡位置振動(dòng)的成因：回復(fù)力+慣性3彈簧振子的運(yùn)動(dòng)分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征：加速度與位移的大小x成正比，方向相反積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定。解得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體所受合外力----線性回復(fù)力或準(zhǔn)彈性力簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征1.振幅圖二、描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量2.周期、頻率

周期頻率圓頻率周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)。頻率為例如，心臟的跳動(dòng)80次/分周期為動(dòng)物、昆蟲的心跳頻率(參考值,單位:Hz)

大象0.4~0.5

馬0.7~0.8

豬1~1.3

兔1.7松鼠6.3

鯨0.13

雌性蚊子355~415

雄性蚊子455~600

蒼蠅330

黃蜂220振動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式※振動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式x=Acos(ωt+φ)=Acos(2πt/T+φ)=Acos(2πft+φ)相位的意義:

表征任意時(shí)刻（t）物體振動(dòng)狀態(tài).物體經(jīng)一周期的振動(dòng)，相位改變.相位初相位三、相位avxtoTT/4T/4由圖可見：※諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的相位關(guān)系例

試證明，若選取受力平衡點(diǎn)作為位置坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程和振動(dòng)方程相同。fxk()+rlrlmgXOf0平衡點(diǎn)mgxfmm在平衡點(diǎn)m小球f0mgkrl受彈性力解：選受力平衡點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，小球在位置坐標(biāo)處受彈性力xFmgxk()+rl+合力xcosA()wtj+kxkrl+krlkx即：xmddtx22k均與水平彈簧振子結(jié)果相同！解法提要2.小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動(dòng)mgO諧振動(dòng)◆分析判斷下列運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)？1.乒乓球在地面上的上下跳動(dòng)討論切向:例2.如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的定滑輪和一質(zhì)量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動(dòng)，試證物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期T.例題mm在平衡位置時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為l，則當(dāng)m有位移x時(shí)取位移軸ox，滑輪解：滑輪，m受力如圖xm>>>>>>>>物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)mm在平衡位置時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為l，則當(dāng)m有位移x時(shí)取位移軸ox，滑輪解：滑輪，m受力如圖

自O(shè)x軸的原點(diǎn)O作一矢量，使它的模等于振動(dòng)的振幅A，并使矢量在Oxy平面內(nèi)繞點(diǎn)O作逆時(shí)針方向的勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度與振動(dòng)頻率相等，這個(gè)矢量就叫做旋轉(zhuǎn)矢量.四、旋轉(zhuǎn)矢量

以

為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).諧振動(dòng)振幅A角頻率ω角速度ω位相ωt+φ角坐標(biāo)ωt+φ初位相φ初角坐標(biāo)φ旋轉(zhuǎn)矢量A的圓運(yùn)動(dòng)矢量A的模Ax=Acos(t+)已知初始條件t=0,x=x0，v=v0求初相位由速度確定v1<0v2>0v0<0,=1v0>0,=2vm1vm2oxx0·12如圖，在x=x0處可有兩個(gè)狀態(tài)分析◆討論1用旋轉(zhuǎn)矢量法確定初相

相位差：表示兩個(gè)相位之差

對(duì)同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間．討論2如圖示，例如已知彈簧振子x0

=0t=0時(shí)v0=0.4

m·s-1m=5×10-3kgk=2×10-4

N·m

-1完成下述簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程cos()x+twmk0.2

(rad·s–1)A+x02v02w22(m)v00x0

=0,已知OXwM(0(相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為cos()x+t20.2(SI)解法提要v00jp2p2令*（C點(diǎn)為質(zhì)心）CO轉(zhuǎn)動(dòng)正向------角諧振動(dòng)五、物理擺（單擺）單擺簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程和特征

（2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程（1）物體受線性回復(fù)力作用平衡位置（3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（4）加速度與位移成正比而方向相反小結(jié)11.解析法2.曲線法已知表達(dá)式A、ω、；簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述方法oA-AtxT

=/2復(fù)擺彈簧振子單擺小結(jié)2已知A、ω

、表達(dá)式已知曲線A、ω

、曲線已知A、ω

、（1）動(dòng)能(以彈簧振子為例)O

x

X§5.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量（2）勢(shì)能（3）機(jī)械能線性回復(fù)力是保守力，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量圖4T2T43T能量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量守恒，振幅不變.能量守恒簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程導(dǎo)出思考？簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法小結(jié)a.由分析受力出發(fā)(由牛頓定律列方程)b.由分析能量出發(fā)(將能量守恒式對(duì)t求導(dǎo))一.兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩獨(dú)立的同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：兩振動(dòng)的位相差=常數(shù)§5.3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)§6.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成解析法/旋轉(zhuǎn)矢量法：（3）一般情況加強(qiáng)減弱（1）相位差（2）相位差說明：

*二.多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

討論(2)(1)三.兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍.討論

,的情況◆

拍的現(xiàn)象

（測(cè)振動(dòng)頻率,樂器調(diào)音,制造拍振蕩器）合振動(dòng)頻率，隨t劇變振幅部分,隨t緩變

方法一振幅振動(dòng)頻率ttAx2π2cos)2π2cos2(12121nnnn+-=討論

,的情況合振動(dòng)頻率，隨t劇變振幅部分,隨t緩變ttAx2π2cos)2π2cos2(12121nnnn+-=◆拍拍頻（振幅變化的頻率）◆

方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法振幅振動(dòng)圓頻率拍頻17.6一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的諧振動(dòng),

其表達(dá)式為

x1=0.04cos(2t+π/6)(SI)；

x2=0.03cos(2t–π/6)(SI).試寫出合振動(dòng)表達(dá)式.解:討論題x=

x1+

x2=Acos(2t+φ0)合振動(dòng)其中A=[A12+A22+2A1A2cos(φ20–φ10)]1/2tanφ0=A1sinφ10+A2sinφ20A1cosφ10+A2cosφ20A=0.061m；代入數(shù)值tanφ0=0.08248因t=0時(shí),x0=x10+x20故φ0=0.0823radφ0=4.715°=0.0823rad或φ0=184.715°=3.224rad=0.04cos(π/6)+0.03cos(–π/6)=0.0606m>0（解析法）◆用旋矢法確定初相φ0Axox=0.061cos(2t+0.0823)(SI)合振動(dòng):

x1=0.04cos(2t+π/6)(SI)；

x2=0.03cos(2t–π/6)(SI).φ0=4.715°=0.0823rad或φ0=184.715°=3.224radA1π/6A2-π/6

一

阻尼振動(dòng)現(xiàn)象：振幅隨時(shí)間減小原因：阻尼動(dòng)力學(xué)分析：阻力系數(shù)阻尼力*§5.4阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振方程的解：固有角頻率阻尼系數(shù)(a)欠阻尼δ<ω0x=A0e–δtcos(ωt+φ0)其中ω=(ω02–δ2)1/2------減輻振動(dòng)(非諧振動(dòng))臨界阻尼

(c)臨界阻尼x=(c1+c2t)A0e–δt(b)過阻尼δ>ω0(a)欠阻尼δ<ω0x=A0e–δtcos(ωt+φ0)(應(yīng)用于天平調(diào)衡)受迫振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)受迫振動(dòng)共振受迫振動(dòng)共振

系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下所作的等幅振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。幅值角頻率pH周期性外力（強(qiáng)迫力）costHp彈性力fxkmmvvX平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)OO阻力阻力frfrvgvg示意建立動(dòng)力學(xué)方程ddtx22xxddtxkmgcosHtp+ddtx22即+kmgmddtx+xxmHcostp表成ddtx22+b2ddtx+w02xxhcostp此微分方程的解為A0exxbcos()wt+jtd+cosA(+tp)續(xù)上A0exxbcos()wt+tdj+cosA(+tp)21阻尼振動(dòng)等幅振動(dòng)受迫振動(dòng)進(jìn)入穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)后，其振動(dòng)角頻率為強(qiáng)迫力的角頻率，其振幅為pAh()4bpw02p22+22受迫振動(dòng)與強(qiáng)迫力有一定的相位差，用初相表示jarctanjbp2w02p2A和j都與阻尼系數(shù)b固有角頻率

的大小有關(guān)。w0強(qiáng)迫力角頻率

相對(duì)于系統(tǒng)的p12tXOXOt+受迫振動(dòng)開始振動(dòng)比較復(fù)雜經(jīng)過一段時(shí)間后，受