2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九講函數(shù)模型及其應(yīng)用課件

第九講函數(shù)模型及其應(yīng)用課標(biāo)要求考情分析1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律.2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問(wèn)題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義.3.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問(wèn)題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義1.本講考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的能力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題.2.題型以選擇、填空題為主，中檔難度常見(jiàn)函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型y＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)1.常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型常見(jiàn)函數(shù)模型函數(shù)解析式指數(shù)函數(shù)模型y＝b·ax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，x＞0，a＞0，且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)對(duì)勾函數(shù)模型

(續(xù)表)函數(shù)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)

上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較【名師點(diǎn)睛】

(1)“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)速度緩慢. (2)易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大 B.“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻 C.冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快答案：ABCD

題組二走進(jìn)教材

2.(教材改編題)某家具的標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對(duì)進(jìn)貨價(jià))，則該家具)B.105元D.108元的進(jìn)貨價(jià)是( A.118元 C.106元

答案：Dx0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00

3.(教材改編題)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()B.y＝x2－1D.y＝log2xA.y＝2xC.y＝2x－2答案：D

題組三真題展現(xiàn)

4.(2020年全國(guó)Ⅲ)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln19≈3)()A.60B.63C.66D.69答案：C平地降雨量/mm0～1010～2525～5050～100降雨等級(jí)小雨中雨大雨暴雨

5.(2021年北京)對(duì)

24小時(shí)內(nèi)降雨量在平地上的積水厚度(mm)進(jìn)行如下定義：

如圖2-9-1所示，小明用一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，積水深度為150mm，那么這24小時(shí)降雨的等級(jí)是(平地降雨量等于圓錐形容器內(nèi)積水的體積除以容器口面積)()圖2-9-1B.中雨D.暴雨A.小雨C.大雨答案：B

考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫變化過(guò)程

1.(2020年新高考Ⅱ改編)我國(guó)新冠肺炎疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推動(dòng)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，圖2-9-2是某地連續(xù)11)天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說(shuō)法正確的是(

圖2-9-2

①這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加； ②這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量； ③第3天至第11天復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)80%； ④第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量.A.①③B.②③④C.③④D.①④

解析：由折線圖知這11天的復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)有增有減，①錯(cuò)誤；由第1天和第11天復(fù)工和復(fù)產(chǎn)指數(shù)位置可知，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量小于復(fù)工指數(shù)的增量，②錯(cuò)誤；由折線圖知，第3天至第11天復(fù)工、復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)80%，③正確；由折線圖知，第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量，④正確.故選C.答案：C

2.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，圖2-9-3描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度)下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是(

圖2-9-3A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C.甲車以80千米/時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/時(shí)，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

解析：根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，A錯(cuò)誤；以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，B錯(cuò)誤；甲車以80千米/時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，C錯(cuò)誤；最高限速80千米/時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，D正確.答案：D

3.如圖2-9-4，有一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，若P處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別是4m和am(0＜a＜12).不考慮樹(shù)的粗細(xì)，現(xiàn)用16m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹(shù)圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是()圖2-9-4ABCD

解析：設(shè)AD的長(zhǎng)為xm，則CD的長(zhǎng)為(16－x)m，則矩形ABCD的面積為x(16－x)m2.因?yàn)橐獙Ⅻc(diǎn)P圍在矩形ABCD內(nèi)，所以a≤x≤12.當(dāng)0＜a≤8時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8時(shí)，u＝64；當(dāng)8＜a＜12時(shí)，u＝a(16－a).作出函數(shù)圖象可得其形狀與B選項(xiàng)接近.故選B.答案：B【題后反思】判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇圖象.

(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

考點(diǎn)二構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題

考向1二次函數(shù)、分段函數(shù)模型

[例1]某企業(yè)生產(chǎn)

A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資x成正比，其關(guān)系如圖2-9-5；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2-9-6.(利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元)圖2-9-5圖2-9-6(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).

①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？ ②如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？此時(shí)x＝16,18－x＝2.∴當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元，16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為8.5萬(wàn)元.

考向2構(gòu)建指數(shù)(對(duì)數(shù))型函數(shù)模型

[例2]一片森林原來(lái)面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解：(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，

[例3]某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系如圖2-9-7所示(拋物線的一段)，則為使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大，每輛客車營(yíng)運(yùn)年數(shù)為_(kāi)_______.圖2-9-7解析：根據(jù)圖象求得y＝－(x－6)2＋11(x>0)，∴要使年平均利潤(rùn)最大，客車營(yíng)運(yùn)年數(shù)為5.答案：5【題后反思】

(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解題，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，求解時(shí)要準(zhǔn)確進(jìn)行指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算，靈活進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化.

(2)實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車計(jì)價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.但應(yīng)關(guān)注以下兩點(diǎn)：①分段要簡(jiǎn)潔合理，不重不漏；②分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.

【考法全練】

1.(考向1)(2021年新鄉(xiāng)期中)2021年9月10日，小王開(kāi)始讀小學(xué)一年級(jí)，小王父母決定給他開(kāi)一張銀行卡，每月的16號(hào)存錢至該銀行卡(假設(shè)當(dāng)天存錢當(dāng)天到賬).用于小王今后的教育開(kāi)支.2021年9月16日小王父母往卡上存入500元.以后每月存的錢數(shù)比上個(gè)月多100元，則他這張銀行卡賬上存錢總額(不含銀行利息)首次達(dá)到100000元的時(shí)間為()A.2024年11月16日C.2025年1月16日B.2024年12月16日D.2025年2月16日

解析：由題可知，小王父母從2021年9月開(kāi)始，每月所存錢數(shù)依次成首項(xiàng)為500，公差為100的等差數(shù)列， ∴第41個(gè)月的16號(hào)存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額(不含銀行利息)首次達(dá)到100000元，故2025年1月16日他這張銀行卡賬上存錢總額(不含銀行利息)首次達(dá)到100000元.故選C.令50n2＋450n≥100000，即n2＋9n≥2000，∵402＋9×40＜2000，412＋9×41＞2000，答案：C

2.(考向2)(2020年新高考Ⅰ)基本再生數(shù)R0

與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert

描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案：B

3.(考向3)某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖2-9-8)，考慮防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9

平方米，且高度不低于

米.記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米，外周長(zhǎng)(梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y米.要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長(zhǎng)最小)，則防洪堤的腰長(zhǎng)x＝________米.

圖2-9-8

⊙已知函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題

[例4]為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造成本與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最??？并求最小值.

此時(shí)x＝5，因此f(x)的最小值為70. ∴隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元.【反思感悟】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題.【高分訓(xùn)練】

1.擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過(guò)m的最大整數(shù)(