甘肅省天水市甘谷第一中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù)，指數(shù)值趨小，表明空氣質(zhì)量越好，下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數(shù)）的天數(shù)占C．該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好2．“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28，進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．3．直角坐標(biāo)系中，雙曲線（）與拋物線相交于、兩點，若△是等邊三角形，則該雙曲線的離心率（）A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出屬于（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．26．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．7．不等式組表示的平面區(qū)域為，則（）A．， B．，C．， D．，8．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（）cm3A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．若存在，且為函數(shù)的一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知定點，，是圓上的任意一點，點關(guān)于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓11．設(shè)，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項的系數(shù)為()A．60 B．80 C．90 D．12012．雙曲線：（），左焦點到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在定義域上有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是_______.14．若函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍為_________.15．在直角三角形中，為直角，，點在線段上，且，若，則的正切值為_____.16．如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動直線l交拋物線C：于點P，點F為C的焦點．圓心不在y軸上的圓M與直線l，PF，x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若直線與曲線E相切于點，過Q且垂直于的直線為，直線，分別與y軸相交于點A，當(dāng)線段AB的長度最小時，求s的值．18．（12分）已知函數(shù).（1）若，求證：.（2）討論函數(shù)的極值；（3）是否存在實數(shù)，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知點到拋物線C：y1=1px準(zhǔn)線的距離為1．（Ⅰ）求C的方程及焦點F的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于原點O的對稱點為點Q，過點Q作不經(jīng)過點O的直線與C交于兩點A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點，求的值．20．（12分）已知，點分別為橢圓的左、右頂點，直線交于另一點為等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點，總使得為銳角，求直線斜率的取值范圍.21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點T為圓心作圓，設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；（3）設(shè)點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標(biāo)原點，求證：為定值.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

結(jié)合題意，根據(jù)題目中的天的指數(shù)值，判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數(shù)值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數(shù)略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為，即占總天數(shù)的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來越好，從第天到第天空氣質(zhì)量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下，中旬大部分指數(shù)在以上，所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好，故正確.故選：【點睛】本題考查了對折線圖數(shù)據(jù)的分析，讀懂題意是解題關(guān)鍵，并能運用所學(xué)知識對命題進行判斷，本題較為基礎(chǔ).2、C【解析】

先求出五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.3、D【解析】

根據(jù)題干得到點A坐標(biāo)為，代入拋物線得到坐標(biāo)為，再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形，設(shè)直線OA為，設(shè)點A坐標(biāo)為，代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標(biāo)為，代入雙曲線得到故答案為：D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).4、B【解析】

由題意，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，求解即得解.【詳解】由題意可知，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，當(dāng)；當(dāng)綜上：.故選：B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.6、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設(shè)，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當(dāng)過點時，直線在軸上的截距最大，即，當(dāng)過點原點時，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯誤；

設(shè)，則的幾何意義為點與點連線的斜率，由圖可得最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確；故選：D.【點睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是對目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認識，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=（6+1.5π）cm1．故答案為6+1.5π．點睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算它的體積即可．9、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數(shù)的一個零點，所以在時有一個零點因為當(dāng)時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.10、B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當(dāng)在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學(xué)運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.11、B【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，即，故表示直線與截距的倍，根據(jù)圖像知：當(dāng)時，的最大值為，故.展開式的通項為：，取得到項的系數(shù)為：.故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.12、B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點為，一條漸近線的方程為，由左焦點到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【點睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點到直線的距離公式，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，運用參變分離和構(gòu)造函數(shù)，進而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個交點，聯(lián)立可得有兩個解，即可設(shè)，則，進而且不恒為零，可得在單調(diào)遞增.由可得時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，即在處取得極小值且為作出的圖象，可得時，有兩個解.故答案為：【點睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題，還考查了等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于難題.14、【解析】

分，兩種情況代入討論即可求解.【詳解】，當(dāng)時，，符合；當(dāng)時，，不滿足.故答案為：【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計算，考查了分類討論的思想.15、3【解析】

在直角三角形中設(shè)，，，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè)，，則，故.故答案為：3【點睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值，關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系，其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.16、【解析】

根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）．【解析】

根據(jù)題意設(shè)，可得PF的方程，根據(jù)距離即可求出；點Q處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式，求，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值．【詳解】因為拋物線C的方程為，所以F的坐標(biāo)為，設(shè)，因為圓M與x軸、直線l都相切，l平行于x軸，所以圓M的半徑為，點，則直線PF的方程為，即，所以，又m，，所以，即，所以E的方程為，，設(shè)，，，由知，點Q處的切線的斜率存在，由對稱性不妨設(shè)，由，所以，，所以，，所以，．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值也是最小值，即AB取得最小值此時．【點睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的關(guān)系，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．18、（1）證明見解析；（2）見解析；（3）存在，1.【解析】

（1），求出單調(diào)區(qū)間，進而求出，即可證明結(jié)論；（2）對（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點，若不恒成立，求出的解，即可求出結(jié)論；（3）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在都存在，不滿足，當(dāng)時，設(shè)，且，只需求出在單調(diào)遞增時的取值范圍即可.【詳解】（1），，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，故.（2）由題知，，，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，沒有極值；②當(dāng)時，，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故在處取得極小值，無極大值.（3）不妨令，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞增，，在恒成立，所以，當(dāng)時，，由（2）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能.當(dāng)時，，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意.當(dāng)時，設(shè)，因為，所以，，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時，恒成立，即恒成立，故存在，使得不等式在上恒成立，此時的最小值是1.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等式證明，考查分類討論思想，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.19、(Ⅰ)C的方程為,焦點F的坐標(biāo)為(1,0)；（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點F的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)點A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0)，與拋物線聯(lián)立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韋達定理以及弦長公式，轉(zhuǎn)化求解|MF|?|NF|的值．【詳解】(Ⅰ)由已知得，所以p=1.所以拋物線C的方程為,焦點F的坐標(biāo)為(1,0)；(II)設(shè)點A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1)，由題意直線AB斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0).由得，則,.因為點A,B在拋物線C上,所以,.因為PF⊥x軸，所以，所以|MF|?|NF|的值為1.【點睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線中的定值問題，常用韋達定理設(shè)而不求來求解，本題解題關(guān)鍵是找出弦長與斜率之間的關(guān)系進行求解，屬于中等題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由題意可知：由，求得點坐標(biāo)，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線，代入橢圓方程，由韋達定理，由，由為銳角，則，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求得直線斜率的取值范圍．【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意是等腰直角三角形，，設(shè)由得則代入橢圓方程得橢圓的方程為（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率存在，可設(shè)方程為設(shè)由得由直線與橢圓有兩個不同的交點則即得又為銳角則即②由①②得或故直線斜率可取值范圍是【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，韋達定理，考查計算能力，屬于中檔題．21、