6.3　平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用

6.3

平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用第六章課標要求1.通過物理中功等實例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.2.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.4.能用坐標表示平面向量的數(shù)量積,會表示兩個平面向量的夾角.5.能用坐標表示平面向量垂直的條件.6.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題,體會向量在解決數(shù)學和實際問題中的作用.備考指導平面向量數(shù)量積是平面向量中最重要的知識點,也是高考命題的熱點.復習時要熟練掌握平面向量數(shù)量積的線性運算和坐標運算,并會用數(shù)量積公式的變形式解決有關夾角、模、垂直等問題.注意運用轉(zhuǎn)化、化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.兩向量的夾角(1)定義:已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.(2)特例:①當θ=0時,向量a與b同向;②當

時,向量a與b垂直,記作a⊥b;③當θ=π時,向量a與b反向.2.向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為

0.溫馨提示1.兩向量的數(shù)量積,其結(jié)果是數(shù)量,而不是向量,它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積,其符號由夾角的余弦值來決定.2.兩個向量的數(shù)量積記作a·b,不能寫成a×b的形式.問題思考兩個非零向量a,b的夾角為銳角,是否一定有a·b>0?反過來呢?兩個非零向量a,b的夾角為銳角,一定有a·b>0;反之不一定,事實上:兩個非零向量a,b的夾角為銳角?a·b>0,且a,b不共線;兩個非零向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0,且a,b不共線.4.向量數(shù)量積的性質(zhì)設a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.

(2)a⊥b?a·b=0.(3)當a與b同向時,a·b=|a||b|;當a與b反向時,a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2或

(4)|a·b|≤|a||b|.5.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b=b·a(交換律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).溫馨提示1.在向量數(shù)量積的運算中,不能從a·b=0推出a=0或b=0.實際上由a·b=0可推出以下四個結(jié)論:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.2.對于向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,當且僅當a∥b時,等號成立.這是因為|a·b|=|a||b||cos

θ|,而|cos

θ|≤1.3.向量的數(shù)量積不滿足消去律,已知a,b,c均為非零向量,且a·c=b·c,得不到a=b.4.(a·b)·c≠a·(b·c),因為a·b,b·c是數(shù)量積,是實數(shù),不是向量,所以(a·b)·c與向量c共線,a·(b·c)與向量a共線,因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情況下不成立.6.平面向量數(shù)量積的坐標表示(1)兩向量的數(shù)量積的坐標表示已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負.(

)(2)若a·b=0,則必有a⊥b.(

)(3)若a·b=a·c(a≠0),則b=c.(

)(4)在△ABC中,若

,則△ABC為鈍角三角形.(

)××××A.30° B.45°

C.60° D.120°A3.(2021全國Ⅰ,理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,則λ=

.由已知得a-λb=(1-3λ,3-4λ).由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得4.已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=

.

5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是

.第二環(huán)節(jié)關鍵能力形成能力形成點1平面向量數(shù)量積的運算B方法二(坐標法):建立平面直角坐標系,如圖所示.解題心得1.求兩個向量的數(shù)量積有兩種方法:(1)當已知向量的模和夾角時,利用定義求解,即a·b=|a||b|cos

θ(其中θ是向量a與b的夾角).(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.2.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時,可利用向量的加減運算或數(shù)量積的運算律化簡.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補.D如圖,以C為原點,CB所在直線為x軸建立坐標系,則B(3,0).(3)已知兩個單位向量e1,e2的夾角為,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,則b1·b2=

.

-6能力形成點2平面向量的模及應用B(2)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是

,最大值是

.

4解題心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用

及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算;(2)幾何法,先利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范圍)的方法:(1)求函數(shù)最值法,把所求向量的模表示成某個變量的函數(shù)再求;(2)數(shù)形結(jié)合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點表示的圖形求解.B能力形成點3平面向量的垂直及應用例3

(1)已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中,與b垂直的是(

)A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-bDA解題心得a⊥b?a·b=0,既可以用來證明兩向量垂直,也可以由垂直進行有關計算.D能力形成點4平面向量數(shù)量積的應用命題角度1求平面向量的夾角A由(a-b)⊥(3a+2b),知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.設a與b的夾角為θ(θ∈[0,π]),則3|a|2-|a||b|cos

θ-2|b|2=0,120°命題角度2求參數(shù)的值或范圍

命題角度3在平面幾何中的應用例6

已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,設AC=m,BC=n.(1)若D為斜邊AB的中點,求證:(2)若E為CD的中點,連接AE并延長交BC于點F,求AF的長度(用m,n表示).(1)證明

以C為坐標原點,邊CB,CA所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則點A(0,m),B(n,0).∵D為AB的中點,命題角度4在物理中的應用例7

在風速為

的西風中,飛機以150km/h的航速向西北方向飛行,求沒有風時飛機的航速和航向.解

設ω=風速,va=有風時飛機的航行速度,vb=無風時飛機的航行速度,則vb+ω=va.顯然有vb,va,ω構(gòu)成三角形.解題心得1.求向量的夾角有兩種方法

2.已知向量的數(shù)量積、垂直、模長等條件求參數(shù)的值或取值范圍,利用公式建立方程(組)或不等式(組)求解即可.3.用向量法解決平面幾何問題的兩種方法(1)基底法:選取適當?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角),將題中涉及的向量用基底表示,利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算.(2)坐標法:建立平面直角坐標系,實現(xiàn)向量的坐標化,將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.4.利用向量法解決物理問題時,要認真分析物理現(xiàn)象,深刻把握物理量之間的向量關系,通過抽象、概括把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關的向量問題.B(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=

.

2∵a=(1,2),b=(4,2),∴c=ma+b=(m+4,2m+2).又c與a的夾角θ等于c與b的夾角α,∴cos

θ=cos

α,對點訓練5已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,D是邊BC的中點,BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于點F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.證明

如圖,以B為原點,BC所在直線為x軸,AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系.設點A(0,2),C(2,0),對點訓練6(2021福建泉州模擬)如圖所示,一個物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住,且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是F1,F2,且F1,F2與水平方向的夾角均為45°,|F1|=|F2|=

N,則物體的重力大小為

N.

8設F1,F2的合力為F,則F=F1+F2.由已知得F1,F