第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用-7-習(xí)題課

平面點(diǎn)集和區(qū)域多元函數(shù)的極限多元函數(shù)連續(xù)的概念極限運(yùn)算多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容全微分的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式的不變性微分法在幾何上的應(yīng)用多元函數(shù)的極值全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念無條件極值條件極值1、多元函數(shù)概念鄰域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、連通、區(qū)域、聚點(diǎn)。DRn到R的

稱為D上的n元函數(shù).

通常記為u=f(x1,

x2,

…,

xn), (x1,

x2,

…,

xn)D或

u

=

f

(P),

P

D

Rn當(dāng)n

2時(shí)，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).定義域、圖形、多元復(fù)合函數(shù)設(shè)f

(P)的定義域?yàn)镈，P0是D的聚點(diǎn)，A為一常數(shù)，若

0,總

0,當(dāng)P

U

(P0

,

)

D時(shí)都有

|

f

(P)

A

|

則稱A為f

(P)當(dāng)PP0時(shí)的極限，記為lim

f

(P)

AP

P0對(duì)于二元函數(shù)z=f

(x,y),也記為lim

f

(

x,

y)

Ax

x0y

y0z=f

(x,y)2、多元函數(shù)的極限（1）定義中P

P0

的方式是任意的；二元函數(shù)的極限也叫二重極限

lim

f

(

x,

y);x

x0y

y0極限的存在性、歸結(jié)原理驗(yàn)證極限不存在。二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．極限的運(yùn)算設(shè)

P

P0

時(shí)，f

(

P

)

A,

f

(

P

)

B,則(1).

f

(

P

)

g(

P

)

A

B;

(2).

f

(

P

)

g(

P

)

A

B;(3).

f

(

P

)

g(

P

)

A B

(B

0).說明：3、多元函數(shù)的連續(xù)性(1)

定義

設(shè)n

元函數(shù)

f

(P)

的定義域?yàn)辄c(diǎn)集D,

P0是其聚點(diǎn)且P0

D

，如果lim

f

(

P

)

f

(

P0

)則稱nP

P0元函數(shù)f

(P)在點(diǎn)P0

處連續(xù).設(shè)P0

是函數(shù)f

(P)的定義域的聚點(diǎn)，如果f

(P)在點(diǎn)P0

處不連續(xù)，則稱P0

是函數(shù)f

(P)的間斷點(diǎn).往往是間斷線。(2)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)①最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．②介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．4、偏導(dǎo)數(shù)概念(1)定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)z=f(x,y)有偏增量

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)則稱函數(shù)在點(diǎn)P處對(duì)x可導(dǎo)。

x

z

f

(

x0x0

x如果lim

x

z

存在00記為z00f，，z00或f

x

(x0

,y0

).同理可定義函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，為yx00),處(

對(duì)y(,)

yx在fz

點(diǎn)00

yyx00)f,y(y),x(flimy000yyy

xxz記為00yyy

xxf，，z00y

yyxx或f

y

(x0

,y0

).偏導(dǎo)數(shù)，記作yx)x

xz

fy

y

yy

yz

,

f

,

z

,

f

(

x,

y)或f

(

x,

y)(2)高階偏導(dǎo)數(shù)

z

2

z

f

yy

(

x,

y),純偏導(dǎo)2y

y

y

z

2

zfxy

(

x,

y),

z

2

z

y

x

xy

f

yx

(

x,

y).混合偏導(dǎo)

2

zx

y

yx

z

函數(shù)z

f

(

x,

y)的二階偏導(dǎo)數(shù)為定義

二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).求高階偏導(dǎo)時(shí)，不要隨意改變求導(dǎo)順序。(3)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，關(guān)鍵分清變量、常量。①

z

f

(u,v)可微,u

(t

),v

(t

)可導(dǎo)全導(dǎo)數(shù)dz

z

du

z

dvdt

u

dt

v

dtz

f

(u,v)可微,u

(x,y),v

(x,y)偏導(dǎo)存在②z

z

u

z

vx

u

x

v

xz

z

u

z

vy

u

y

v

yuvzxyz

f

(u,v,w)可微，u

(x,y),v

(x,y),w

w(x,y)偏導(dǎo)存在。③xyx

u

x

v

x

w

xz

z

u

z

v

z

wuz

z

u

z

v

z

w

z

vy

u

y

v

y

w

y

wz

f

[

(

x,

y),

x,

y],zuvwxyz

f

u

f

v

f

w

,x

u

x

v

x

w

xz

f

u

f

v

f

w

.y

u

y

v

y

w

y④dy

Fx(4)隱函數(shù)的求導(dǎo)F

(

x,

y)

0dx

FyF

(

x,

y,

z)

0①z

Fxx

Fzz

Fyy

Fz②G(

x,

y,

u,v)

0F

(

x,

y,

u,v)

0③Fx

Fu

FvGx

Gu

GvFu

Fv

,Gu

GvFvGy

Gvy

J

(

y,v)v

1

(F

,G)

Fux

J

(u,

x)

Guu

1

(F

,G)

FyFu

Fv

.Gu

GvFyGu

Gyy

J

(u,

y)v

1

(F

,G)

Fu(5)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的偏導(dǎo)要按定義進(jìn)行計(jì)算。5、全微分(1)定義若z=f

(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量z可表為z

Ax

By

o(

)(x)2

(y)2

,而A,B與x,y無關(guān)，則稱其中

z=f

(x,y)在(x0,y0)可微，(2)全微分形式不變性記dz

Ax

By無論z是自變量u、v

的函數(shù)或中間變量u、v

的函數(shù),它的全微分形式是一樣的.dz

z

du

z

dvu

v(3)

多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)6、微分法在幾何上的應(yīng)用(1)

空間曲線的切線與法平面切線方程為x

x0

y

y0

z

z0

.

(t0

)

(t0

)

(t0

)法平面方程為(t0

)(

x

x0

)

(t0

)(

y

y0

)

(t0

)(z

z0

)

0.

: x

(t

),

y

(t

),

z

(t

).在點(diǎn)M0

(t0

)處切向量為sM

{(t0

),

(t0

),(t0

)}0①

:

y

(

x),z

(

x)在M

(x0

,y0

,z0

)處,切向量為,

y

y0

z

z01

(

x0

)

(

x0

)0

)(

y

y0

)

(

x0

)(z

z0

)

0.(法平面方程為切線方程為②sM

{1,(t0

),

(t0

)}0x

x0③,G(

x,

y,

z)

0

:

F

(

x,

y,

z)

0切線方程為,z

z0Fx

Fyy

y0Fz

FxGy

Gz

Gz

Gx

Gx

Gy0

0

0x

x0Fy

Fz法平面方程為0(z

z

)

0.0(

y

y

)

0(

x

x

)

G

Gy

0G

Gx

0G

Gz

0xF

FyxzF

FxzyFy

Fzy

0

x

0z

0M

0在M

(

x0

,

y0

,

z0

)處,

sxzy

G

Fy

FzG

GFx

Fy

,G

GF

F,

z

xG(2)曲面的切平面與法線

:

F

(

x,

y,

z)

0..Fx

(

x0

,

y0

,

z0

)

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

)

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)z

z0

x

x0

y

y0①在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處曲面的法向量為n

{Fx(

x0

,

y0

,

z0

),

Fy(

x0

,

y0

,

z0

),

Fz(

x0

,

y0

,

z0

)}切平面方程為Fx

(

x0

,

y0

,

z0

)(

x

x0

)

Fy

(

x0

,

y0

,

z0

)(

y

y0

)

Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)(z

z0

)

0法線方程為

:

z

f

(

x,

y)

z

z0

.x

x0

y

y0fx

(

x0

,

y0

)

f

y

(

x0

,

y0

)

1②曲面在M處的法向量n

{

fx(

x0

,

y0

,

z0

),

f

y(

x0

,

y0

,

z0

),1}切平面方程為fx

(

x0

,

y0

)(

x

x0

)

f

y

(

x0

,

y0

)(

y

y0

)

z

z0

,曲面在M處的法線方程為7、多元函數(shù)的極值設(shè)u

f

(M

)在U

(M0

)內(nèi)有定義，若M

U

(M0

)有f

(M

)

f

(M0

)則稱f

(M0)為f

(M)的一個(gè)極大值(或極小值).

M0稱為極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn)).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值是一個(gè)局部性的概念.(或f

(M

)

f

(M0

))定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)z

f

(

x,

y)

在點(diǎn)(

x0

,

y0

)

具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(

x0

,

y0

)

處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：f

x

(

x0

,y0

)

0，

f

y

(

x0

,

y0

)

0

.多元函數(shù)取得極值的條件注意定義

一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為多元函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)

極值點(diǎn)設(shè)y

f

(

x,

y)在U

((

x0

,

y0

))內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

又f

x(

x0

,

y0

)

0,

f

y(

x0

,

y0

)

0.

記定理2.yy

,(

00),

y0x0)fxx

xy

,(

00),則A

0,取極大值f

(x0

,y0

)A

,

取0

極小值f

x0

y0

)f

x0

y0

)不,(

是極值

B2

AC

0(x0,y0)是極值點(diǎn)

B2

AC

0,(充分條件)時(shí)可能有極值,也可能沒有極值，還需另作

．

AC

B2

0求函數(shù)z

f

(

x,

y)極值的一般步驟：第一步

解方程組

fx

(

x,

y)

0,求出實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn).f

y

(

x,

y)

0第二步

對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(

x0

,

y0

)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C

.第三步

定出AC

B2

的符號(hào)，再判定是否是極值.條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．日乘數(shù)法要找函數(shù)z

f

(

x,

y)在條件

(

x,

y)

0

下的可能極值點(diǎn)，解出x

,y,λ，其中x,y就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).y

xy

(,0.)

x(f,x()y,y0,)

xx(f,x()y,y0,)yx先構(gòu)造函數(shù):F

(

x,

y)

f

(

x,

y)

(

x,

y)其中λ為某一常數(shù)，可由日乘數(shù)法推廣到自變量多于兩個(gè)的情況:找函數(shù)u=f(x

,y

,z

,t)在條件

(

x,

y,

z,

t)

0

(

x,

y,

z,

t)

0下的極值。先構(gòu)造函數(shù)F

(

x,

y,

z,

t

)

f

(

x,

y,

z,

t

)

1

(

x,

y,

z,

t

)

2

(

x,

y,

z,

t

)其中1

,2

均為常數(shù)，可由偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出x,y,z,t

，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).

y2，求f

(x,y)例1

設(shè)函數(shù)

f

x

y,

y

x2

x

解x設(shè)u

x

y,v

y解得

x

uv,

y

1

v

1

vv2

1

v

uv

2f

(u,v)

f

x

y,

x

1

v

y

v

1

v

u21

v故x21

y1

yf

(

x,

y)

二、例題選講例2

求下列極限解

由于(1)

lim22

.xy2

yy0x0

x

yx22y2xy2

yx22

0

ylim22

0xy2

yy0x0

x故(2)

lim2

.6x3

y

yy0x0

x解取

y

kx3x

0時(shí)，y

026

2kx66limx3

y6

2

lim

y

k

x

1

kx0

xy0x0

xk上式的值隨k的不同而不同.故lim62

不存在.x3

y

yy0x0

x解(3)

limx0y0x令

x

cos

,

y

sin

,

(

0)則(x,y)

(0,0)等價(jià)于

0.

2

(sin

cos

)cos0

y2x2(

y

x)x

(sin

cos

)cos

2

,

y2x2x0y0故

lim

(

y

x)

x

0.例3設(shè)函數(shù)f(x,y)=|x-y|g(x,y)，其中g(shù)(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，試

g(x,y)滿足什么條件，(1).

fx

(0,0),f

y

(0,0)存在；解lim(2).

f

(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微(1)

由定義知f

(0

x,0)

f

(0,0)

lim

x

g(x,0)

g(0,0)x00x

xx00limlimx00x

xf

(0

x,0)

f

(0,0)

x

g(x,0)

g(0,0)x00要使fx

(0,0)存在故g(0,0)=0只需g(0,0)=-g(0,0)同理可得要使f

y

(0,0)存在需g(0,0)=0(2).

要使f

(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微z

[

fx

(0,0)x

f

y

(0,0)y]

0limx2

y2

0x2

y2據(jù)定義需x2

y2x

y

g(x,

y)

0即

limx2

y2

0f

(x,y)在(0,0)可微故需g(0,0)=0x在g(0,0)=0條件下，上式成立。例4

求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分xyx2

y2(1).設(shè)z

x2

y2

e解一、直接求導(dǎo)xzxyx2

y2

y2

)

(

xy)222

22

yx

y(

x2

y2

e

2

xe

x2xyx

yxyx2

y2ex2

y

x4

y4

2

x3

y

同理yzxyx2

y2exy2

y4

x4

2

xy3

二、利用多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2

2設(shè)u

x

y

,

v

xyu則z

ue

vz

z

u

z

vx

u

x

v

xz

z

u

z

vuvzxyy

u

y

v

yu

u

1v

ev

ue

v

uz

zv2v

ue

uvuu

2

x,

u

2

yx

yv

y,

v

xx

y三、微分的形式不變性xyxydz=

ex2

y2x2

y2d

x2

y2

x2

y2

dexyx2

y2xyxy

x2

y2

y2

e d

e

2

xdx

2

ydy

x2x2

y2xyx

y

e

dxx2

y4

x

y4

2

x3

y

22dyxy2xyx

y

e

4y

x4

2

xy3

2

2(2).設(shè)z

sin(x

y)exyxzyz解

cos(

x

y)exy

sin(

x

y)exy

y

[cos(

x

y)

y

sin(

x

y)]e

xy

[cos(

x

y)

x

sin(

x

y)]e

xydz

exy[cos(

x

y)

y

sin(

x

y)]dx

exy[cos(

x

y)

x

sin(

x

y)]dy1z(3).

設(shè)u

y

x

u解1y1

z

y1

x

z

1xuyu

211y

x

z

y

1

x

zyyz1

x

z

z

2z

y

y

yy

x

z

ln

x

1

1

x

z

ln

x

1

1z2dz=1

11

x

z

1

yz

ydx

11

yz

y

1

x

zdy

1z

yz

y

1

x

z

y

x

z

y

ln

dz1

x

12

解,

,

.3yy

y2

xyxz

2

z

2

z設(shè)

z

x f

(

xy,

),

(

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))求1132

xyz

x

(

f

x

f214

2)

x

f

x

f

,f22

x

)

1211112

xy2

2

z

1x4

(

f

x

f

)

x2

(

f

x

22123115

x

f

2

x

f

xf

,例5

2

z

2

zxy

yx21

22x2

x2[

f

y

f

(

y

)]21

11

12x2

4

x3

f

x4[

f

y

f

(

y

)]

2

xf

2214x(

x

f

x

f

)22114213

4

x

f

2

xf

x

yf

yf

.解(

f

,

具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，且

0,

求

du

.z

dx例6

設(shè)

u

f

(

x,

y,

z),

(

x2

,e

y

,

z)

0,

y

sin

x,du

f

f

dy

f dz

,dx

x

y

dx

z

dx顯然

dy

cos

x,dx對(duì)

(x2

,e

y

,z)

0

兩邊求x

的導(dǎo)數(shù),得求dz

,dx21dx

3

dx

2x

edy

dz

0

,y于是可得,1213

e

cos

x

),sin

x(2

x

dxdz.2sin

x13zfydx

xdu

f故

cos

xe

cos

x

)f

1

(2

x

例7.

設(shè)z

z(

x,

y)由x3

y3

z3

3xyz確定的函數(shù)求z

,zx

y一、直接法：原方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)解x

x3

x2

0

3z2

z

3

yz

3

xy

z整理得x

z2

xyz yz

x2同理有y

xyz2z

xz

y2二、利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)F

(x,y,z)

x3

y3

z3

3xyzFxF

3x2

3

yzyF

3

y2

3xzz

3z2

3xyz

Fxx

Fzz

Fy

xyz2

yz

x2zy

F

xyz2

xz

y2解例8

求函數(shù)z

(1

e

y)cos

x

ye

y的極值(1).

求駐點(diǎn)z

(1

e

y

)sin

x

z

e

y

cos

x

e

y