廣東省“六校聯(lián)盟”2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．4．已知集合，則（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，且，則（）A． B． C． D．6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．7．若的展開式中的系數(shù)之和為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．18．設(shè)，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件9．已知為非零向量，“”為“”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件10．已知集合，，且、都是全集（為實(shí)數(shù)集）的子集，則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．或C． D．11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則方程的最小實(shí)根的值為（）A． B． C． D．12．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____．14．動點(diǎn)到直線的距離和他到點(diǎn)距離相等，直線過且交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓必過_________.15．設(shè)，則除以的余數(shù)是______.16．已知多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動．學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組（每名學(xué)生只能參加一個讀書小組）學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查．各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969（1）從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（12分）在中，設(shè)、、分別為角、、的對邊，記的面積為，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的值．19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，求的通項(xiàng)公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；20．（12分）2019年是五四運(yùn)動100周年.五四運(yùn)動以來的100年，是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來之際，學(xué)校組織“五四運(yùn)動100周年”知識競賽，競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類題、4道B類題，參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率；（2）若甲同學(xué)答對每道A類題的概率都是，答對每道B類題的概率都是，且各題答對與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題，用X表示甲同學(xué)答對題目的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.22．（10分）已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，，證明：.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】

由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【題目詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.【題目詳解】解：，則復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，位于第二象限.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3、D【答案解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【題目詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因?yàn)?，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.4、C【答案解析】

由題意和交集的運(yùn)算直接求出.【題目詳解】∵集合，∴.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算時，常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.5、C【答案解析】

令，求出在的對稱軸，由三角函數(shù)的對稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【題目詳解】令，得，即對稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.6、C【答案解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號，所以考慮直接取的值代入比較即可.【題目詳解】，，或（舍）.，，.當(dāng)，時；當(dāng)，時；當(dāng)，時，，所以最小值為.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值，屬于基礎(chǔ)題.7、B【答案解析】

由，進(jìn)而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】由，則展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【答案解析】

解出兩個不等式的解集，根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【題目詳解】由，得，又由，得，因?yàn)榧希浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.9、B【答案解析】

由數(shù)量積的定義可得,為實(shí)數(shù),則由可得,根據(jù)共線的性質(zhì),可判斷；再根據(jù)判斷,由等價(jià)法即可判斷兩命題的關(guān)系.【題目詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以；若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【答案點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數(shù)量積的應(yīng)用.10、C【答案解析】

根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為，根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合，根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【題目詳解】由韋恩圖可知：陰影部分表示，，，.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.11、C【答案解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時的，通過計(jì)算即可得到答案.【題目詳解】當(dāng)時，，所以，故當(dāng)時，，所以，而，所以，又當(dāng)時，的極大值為1，所以當(dāng)時，的極大值為，設(shè)方程的最小實(shí)根為，，則，即，此時令，得，所以最小實(shí)根為411.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.12、B【答案解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【題目詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【答案點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先計(jì)算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【題目詳解】解：樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】

利用動點(diǎn)到直線的距離和他到點(diǎn)距離相等，,可知動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,從而可求曲線的方程,將,代入,利用韋達(dá)定理,可得,從而可知以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，，，可得，設(shè)直線的方程為，代入拋物線可得，，，，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).故答案為：（0,0）【答案點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時考查了方程的思想和韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.15、1【答案解析】

利用二項(xiàng)式定理得到，將89寫成1+88，然后再利用二項(xiàng)式定理展開即可.【題目詳解】，因展開式中后面10項(xiàng)均有88這個因式，所以除以的余數(shù)為1.故答案為：1【答案點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，涉及余數(shù)的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開分析，本題是一道基礎(chǔ)題.16、【答案解析】

令可得各項(xiàng)系數(shù)和為，得出,根據(jù)第一個因式展開式的常數(shù)項(xiàng)與第二個因式的展開式含一次項(xiàng)的積與第一個因式展開式含x的一次項(xiàng)與第二個因式常數(shù)項(xiàng)的積的和即為展開式中含項(xiàng)，可得解.【題目詳解】令，則得，解得，所以展開式中含項(xiàng)為：，故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)展開式的系數(shù)和，二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)，賦值法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析，【答案解析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)為，這兩人來自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，而甲、丙兩個小組學(xué)生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）由題設(shè)易得，問卷調(diào)查從四個小組中抽取的人數(shù)分別為4，3，2，3（人），從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學(xué)生來自同一個小組的概率為（2）由（1）知，在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中，來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2,因?yàn)樗噪S機(jī)變量的分布列為：012所求的期望為【答案點(diǎn)睛】此題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【答案解析】

（1）由三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得，結(jié)合范圍，可求，進(jìn)而可求的值．（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值，由正弦定理可求得的值．【題目詳解】解：（1）由，得，因?yàn)?，所以，可得：．?）中，，所以.所以：，由正弦定理，得，解得，【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，.（3）【答案解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（3）分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【題目詳解】（1）由題意可知,.當(dāng)時,,當(dāng)時,也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當(dāng)時,,①當(dāng)時,,所以,②當(dāng)時,,③當(dāng)時,,所以,④……當(dāng)時,n為偶數(shù)當(dāng)時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時,.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時,.解法二：猜測：當(dāng)n為奇數(shù)時,.猜測：當(dāng)n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：,命題成立；假設(shè)當(dāng)時,命題成立；當(dāng)n為奇數(shù)時,,當(dāng)時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當(dāng)n為奇數(shù)時同理,當(dāng)n為偶數(shù)時,命題仍成立.（3）由（2）可知.①當(dāng)n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時,的最大值是.②當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案點(diǎn)睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)