數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建?；靖拍钍泄_課一等獎省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎?wù)n件

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學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)建?！氛n程！

實際問題中數(shù)學(xué)奧妙不是明擺在那里等著你去處理，而是暗藏在深處等著你去發(fā)覺，終生受益和無窮樂趣是屬于你！1第一章數(shù)學(xué)模型基本概念

§1引言一、《數(shù)學(xué)建?！氛n程主要性

1、科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型越來越起到主要作用；

2、《數(shù)學(xué)建模》課程建設(shè)在全國各大專院校蓬勃開展；

3、數(shù)學(xué)建模教育有利于學(xué)生處理實際問題綜合能力提升；

4、我們身邊許多實際問題看起來與數(shù)學(xué)無關(guān)，但經(jīng)過分析都可用簡捷數(shù)學(xué)方法完美處理。2幾個簡單實際問題。

問題１已知甲桶中放有10000個藍色玻璃球，乙桶中放有10000個紅色玻璃球。任取甲桶中100個球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中100個球放入甲桶中，如此重復(fù)3次，問甲桶中紅球多還是乙桶中藍球多?

怎樣用數(shù)學(xué)方法處理問題1？3解：設(shè)甲桶中有x個紅球;

乙桶中有y個藍球因為對藍球來說，甲桶中藍球數(shù)加上乙桶中藍球數(shù)等于10000,所以

10000-x+y=10000x=y

故甲桶中紅球與乙桶中藍球一樣多。45解法一：

將兩天看作一天，一人兩天運動看作一天兩人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運動，因為兩人同時出發(fā)，同時抵達目標地，又沿同一路徑反向運動，所以必在中間某一時刻t兩人相遇，這說明某人在兩天中同一時刻經(jīng)過路途中同一地點。

怎樣用數(shù)學(xué)方法處理？6解法二：

以時間t為橫坐標，以沿上山路線從山下旅店到山頂旅程x為縱坐標，從山下到山頂總旅程為d；

7第一天行程可設(shè)為x=F(t)，則F(t)是單調(diào)增加連續(xù)函數(shù)，且F(8)=0,F(17)=d；第二天行程可設(shè)為x=G(t)，則G(t)是單調(diào)降低連續(xù)函數(shù)，且G(8)=d,G(17)=0.在t時刻:

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在坐標系中分別作曲線x=F(t)及x=G(t)，以下列圖：

則兩曲線必相交于點，即這個人兩天在同一時刻經(jīng)過同一地點。9

嚴格數(shù)學(xué)論正：

令H(t)=F(t)-G(t)

由F(t)、G(t)在區(qū)間[8,17]上連續(xù)，所以H(t)在區(qū)間[8,17]上連續(xù)，又H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d<0H(17)=F(17)-G(17)=d-0=d>0

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由介值定理知在區(qū)間[8,17]內(nèi)最少存在一點使即這人兩天在同一時刻經(jīng)過路途中同一地點。

這說明在早8點至晚5點之間存在某一時刻

使得旅程相等，

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問題３

在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但因為三根電線各處轉(zhuǎn)彎不一樣而有長短，所以三根電線長度均未知?，F(xiàn)工人師傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電線電阻。怎樣測量出這三根電線電阻？電阻是怎樣測量？12

「方法」不妨用a、b、c及a*、b*、c*分別表示三根電線底端和頂端，并用aa*、bb*、cc*分別表示三根電線,假設(shè)x,y,z分別是aa*,bb*,cc*電阻，這是三個未知數(shù)。電表不能直接測量出這三個未知數(shù)。然而我們能夠把a*和b*連接起來，在a和b處測量得電阻x+y為l；然后將b*和c*聯(lián)接起來，在b和c處測量得y+z為m，聯(lián)接c*和a*可測得x+z為n。

13這么得三元一次方程組

由三元一次線性方程組解出x,y,z即得三根電線電阻。1415§2數(shù)學(xué)模型基本概念

一、模型什么叫模型？模型就是對現(xiàn)實原型一個抽象或模仿。模型既反應(yīng)原型，又不等于原型，或者是原型一個近似。如地球儀這個模型，就是對地球這一原型本質(zhì)和特征一個近似和集中反應(yīng)；一個人塑像就是這個人一個模型。16模型含義非常廣泛，如自然科學(xué)和工程技術(shù)中一切概念、公式、定律、理論，社會科學(xué)中學(xué)說、原理、政策，甚至小說、美術(shù)、表格、語言等都是某種現(xiàn)實原型一個模型。如：牛頓第二定律就是“物體在力作用下，其運動規(guī)律”這個原型一個模型（數(shù)學(xué)模型）?！俺燥垺边@句話就是人往嘴里送東西抵達充饑動作抽象，如此等等都可看作是模型。17二、數(shù)學(xué)模型幾個簡單例子

１、萬有引力定律：18２、冷卻問題將溫度為T。=150℃物體放在溫度為24℃空氣中冷卻，經(jīng)10分鐘后，物體溫度降為T=100℃，問t=20分鐘時，物體溫度是多少？19解：設(shè)物體溫度T隨時間t改變規(guī)律為T=T(t)則由冷卻定律及條件可得：其中K>0為百分比常數(shù)，負號表示溫度是下降，這就是所要建立數(shù)學(xué)模型。20因為這個模型是一階線性微分方程，很輕易求出其特解為由T(10)=100,可定出K≈0.05當(dāng)t=20時21３、七橋問題

1).能否不重復(fù)一次走完七座橋？2).能否不重復(fù)一次走完七座橋又回到原地？22〔歐拉方法〕島A、B和陸地C、D無非都是橋聯(lián)結(jié)點，所以不妨把A、B、C、D看成4個點，把七橋看成聯(lián)結(jié)這些點七條線，如圖。

23這么當(dāng)然不改變問題實質(zhì)，于是一人能否不重復(fù)一次經(jīng)過七座橋問題等價于其網(wǎng)絡(luò)圖能否一筆畫成問題（這是思維飛躍），此網(wǎng)絡(luò)圖就是七橋問題數(shù)學(xué)模型。歐拉證實了七橋問題是無解，并給出了普通結(jié)論：

1)聯(lián)接奇數(shù)個橋陸地僅有一個或超出兩個以上，不能實現(xiàn)一筆畫。

2)聯(lián)接奇數(shù)個橋陸地僅有兩個時，則從二者任一陸地出發(fā)，能夠?qū)崿F(xiàn)一筆畫而停在另一個陸地。24

3)每個陸地都聯(lián)接有偶數(shù)個橋是，則從任一陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點。

說明：

(1)數(shù)學(xué)模型不一定都是數(shù)學(xué)表示式，如七橋問題數(shù)學(xué)模型是一個網(wǎng)絡(luò)圖。25

(2)歐拉處理七橋問題時，超出了過去處理問題所用數(shù)學(xué)方法范圍，充分發(fā)揮自己想象力，用了完全嶄新思想方法（可稱為幾何模擬方法），從而使問題處理得十分完美，結(jié)論明確而簡捷。因為他開創(chuàng)性工作，產(chǎn)生了“圖論”這門學(xué)科，歐拉是人們公認圖論創(chuàng)始人。

(3)圖論是一門非常有用學(xué)科，很多實際問題都可化為圖論問題決。26問題：

某倉庫要存放7種化學(xué)藥品，用

分別表示7種藥品;

已知不能存放在一起藥品為:

問最少應(yīng)把倉庫分成多少隔離區(qū)才能確保安全？

27解：先把各種藥品作為節(jié)點，節(jié)點集為

然后把不能存放在一起藥品用邊相連，這么就組成一個圖，以下列圖：28

為了決定分區(qū)，要對藥品進行分區(qū)編號，規(guī)則以下：1、各邊兩個節(jié)點不能編在同一區(qū)號；

2、為節(jié)約分區(qū)，以A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)…次序編號，且盡可能使用小區(qū)號。

A區(qū)：

B區(qū)：

C區(qū)：

對于n種藥品，一樣可依據(jù)上述規(guī)則，經(jīng)過計算機依次編區(qū)。

29４、最正確場址選擇問題

設(shè)有n個車間位于不一樣地點，現(xiàn)擬建一倉庫P，長久向各車間運輸原材料和產(chǎn)品，問P應(yīng)建在何處，才能使總運費在一定時期內(nèi)到達最?。?0問題變?yōu)閷で驪(x,y)，使C(x,y)到達最小，這便是此問題數(shù)學(xué)模型。

是否還有其它方法？

31

5、走路問題問題：人在恒速行走時，步長多大才最省勁？假設(shè)人體重為M，腿重為m，腿長為，速度為v，單位時間步數(shù)為n，步長為x，其中v＝nx。

人行走時所作功能夠認為由兩部分組成：即抬高人體重心所需勢能與兩腿運動所需動能之和。下面分別計算兩部分做功：

32(1)重心升高所需勢能將人行走簡化成如圖所表示:若記重心升高為δ，則

33

單位時間重心升高所需勢能W為

W＝n·Mgδ＝

(其中v=nx)

(2)腿運動所需動能

將人行走視為均勻直桿（腿）繞腰部轉(zhuǎn)動，

則在單位時間內(nèi)所需動能E為：

34其中轉(zhuǎn)動慣量

角速度

所以

于是，單位時間所作功P為

35因為作功少就省勁，所以問題就變成尋求步長x使單位時間內(nèi)作功P最小，若以M:m＝4:1L＝１米代入上式可得n≈5即每秒5步，這顯然太快了。

36對模型（＊）作以下修改：

假設(shè)腿重集中在腳上，這么腿運動所需動能即為腳作直線運動所需動能，

于是從而

求極值可得這是比較符合實際情況。

37

三、數(shù)學(xué)模型基本概念1、數(shù)學(xué)模型定義

數(shù)學(xué)模型就是指對于現(xiàn)實世界某一特定對象，為了某個特定目標，做出一些必要簡化和假設(shè)，利用適當(dāng)數(shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；它或者能解釋特定現(xiàn)象現(xiàn)實性態(tài)，或者能預(yù)測對象未來情況，或者能提供處理對象最優(yōu)決議或控制等。

382、建立數(shù)學(xué)模型方法和步驟

1）觀察

２）現(xiàn)實問題理想化

３）建立數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意以下幾點：

(1)分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具。

（2）抓住問題本質(zhì)，簡化變量之間關(guān)系。

(3)建立數(shù)學(xué)模型時要有嚴密數(shù)學(xué)推理。

(4)建模要有足夠精度。

39４）模型求解

５）模型分析、驗證

６）模型修改

以上步驟也可用下框圖表示：

現(xiàn)實問題

簡化假設(shè)

建立模型

模型求解驗證分析模型

合理

模型應(yīng)用

不合理

403、數(shù)學(xué)模型分類１）按變量性質(zhì)分