2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準

2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，請依據本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應的分數.第一試一、選擇題〔此題總分值42分，每題7分〕1.設，那么〔〕A.24.B.25.C..D..【答】A.由，得，故.所以.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，那么BC＝〔〕A..B..C..D..【答】C.延長CA至D，使AD＝AB，那么，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因為，所以.3．用表示不大于的最大整數，那么方程的解的個數為〔〕A.1.B.2.C.3.D.4.【答】C.由方程得，而，所以，即，解得，從而只可能取值.當時，，解得；當時，，沒有符合條件的解；當時，，沒有符合條件的解；2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第1頁〔共8頁〕當時，，解得；2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第1頁〔共8頁〕當時，，解得.因此，原方程共有3個解.4．設正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為〔〕A..B..C..D..【答】B.不妨設正方形的面積為1.容易知道，以五個點A、B、C、D、O為頂點所構成的三角形都是等腰直角三角形，它們可以分為兩類：〔1〕等腰直角三角形的直角頂點為正方形ABCD的四個頂點之一，這樣的三角形有4個，它們的面積都為；〔2〕等腰直角三角形的直角頂點為正方形ABCD的中心O，這樣的三角形也有4個，它們的面積都為.所以以五個點A、B、C、D、O為頂點可以構成4＋4＝8個三角形，從中任意取出兩個，共有28種取法.要使取出的兩個三角形的面積相等，那么只能都取自第〔1〕類或都取自第〔2〕類，不同的取法有12種.因此，所求的概率為.5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內作半圓，自點A作半圓的切線AE，那么CBE＝〔〕A..B..C..D..【答】D.設BC的中點為O，連接OE、CE.因為AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四點共圓，故∠BAE＝∠COE.又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.又CE⊥BE，所以，故CBE＝.6．設是大于1909的正整數，使得為完全平方數的的個數是〔〕A.3.B.4.C.5.D.6.【答】B.設，那么，它為完全平方數，不妨設為〔其中為正整數〕，那么.驗證易知，只有當時，上式才可能成立.對應的值分別為50，20，10，2.2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第2頁〔共8頁〕因此，使得為完全平方數的共有4個，分別為1959，1989，1999，2024.2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第2頁〔共8頁〕二、填空題〔此題總分值28分，每題7分〕1．是實數，假設是關于的一元二次方程的兩個非負實根，那么的最小值是____________.【答】.因為是關于的一元二次方程的兩個非負實根，所以解得.，當時，取得最小值.2．設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC于點E，作DF//AC交BC于點F，△ADE、△DBF的面積分別為和，那么四邊形DECF的面積為______.【答】.設△ABC的面積為,那么因為△ADE∽△ABC，所以.又因為△BDF∽△BAC，所以.兩式相加得，即，解得.所以四邊形DECF的面積為.3．如果實數滿足條件，，那么______.【答】.因為，所以.由可得，從而，解得.從而，因此，即，整理得，解得〔另一根舍去〕.2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第3頁〔共8頁〕把代入計算可得，所以.2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第3頁〔共8頁〕4．是正整數，且滿足是整數，那么這樣的有序數對共有_____對.【答】7.設〔為正整數〕，那么，故為有理數.令，其中均為正整數且.從而，所以，故，所以.同理可得〔其中為正整數〕，那么.又，所以，所以.〔1〕時，有，即，易求得或〔3,6〕或〔6,3〕.〔2〕時，同理可求得.〔3〕時，同理可求得或〔1,2〕.〔4〕時，同理可求得.因此，這樣的有序數對共有7對，分別為〔240,240〕，〔135,540〕，〔540,135〕，〔60,60〕，〔60,15〕，〔15,60〕，〔15,15〕.第二試〔A〕一．〔此題總分值20分〕二次函數的圖象與軸的交點分別為A、B，與軸的交點為C.設△ABC的外接圓的圓心為點P.〔1〕證明：⊙P與軸的另一個交點為定點.〔2〕如果AB恰好為⊙P的直徑且，求和的值.解〔1〕易求得點的坐標為，設，，那么，.設⊙P與軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OA×OB＝OC×OD，那么.2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第4頁〔共8頁〕因為，所以點在軸的負半軸上，從而點D在軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1).…………………10分2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第4頁〔共8頁〕〔2〕因為AB⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，那么C、D關于點O對稱，所以點的坐標為，即.…………………15分又，所以，解得.…………………20分二．〔此題總分值25分〕設CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是△ADC、△BDC的內心，AC＝3，BC＝4，求.解作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.…………………5分因為E為直角三角形ACD的內切圓的半徑，所以＝.…………………10分連接D、D，那么D、D分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.…………………15分同理，可求得，.…………………20分所以＝.…………………25分三．〔此題總分值25分〕為正數，滿足如下兩個條件：①②2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第5頁〔共8頁〕證明：以為三邊長可構成一個直角三角形.2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第5頁〔共8頁〕證法1將①②兩式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構成一個直角三角形.……………25分證法2結合①式，由②式可得，變形，得③………10分又由①式得，即，代入③式，得，即.…………………15分，…………20分所以或或.結合①式可得或或.因此，以為三邊長可構成一個直角三角形.……………25分第二試〔B〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔A〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF∥AB.2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第6頁〔共8頁〕解因為BN是∠ABC的平分線，所以.2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第6頁〔共8頁〕又因為CH⊥AB，所以，因此.…………………10分又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四點共圓.…………………15分又，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上.…………………20分同理可證，點E在CH的中垂線上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.…………………25分三．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第三題相同. 第二試〔C〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔A〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔B〕卷第二題相同.三．〔此題總分值25分〕為正數，滿足如下兩個條件：①②是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角.解法1將①②兩式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第7頁〔共8頁〕所以或或，即或或.2024年全國初中數學聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標準第7頁〔共8頁〕因此，以為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.……………25分解法2結合①式，由②