2019新培優(yōu)同步人教B版數(shù)學(xué)選修21練習(xí)第3章空間向量與立體幾何3233

2019新培優(yōu)同步人教B版數(shù)學(xué)選修21練習(xí)：第3章空間向量與立體幾何3.2.332019新培優(yōu)同步人教B版數(shù)學(xué)選修21練習(xí)：第3章空間向量與立體幾何3.2.334/4艿PAGE4薇蚈蟻2019新培優(yōu)同步人教B版數(shù)學(xué)選修21練習(xí)：第3章空間向量與立體幾何3.2.333.2.3直線與平面的夾角

3.2.4二面角及其胸襟

課時(shí)過(guò)關(guān)·能力提升

1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為()

A

解析:設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則AD⊥平面BB1C1C,故∠AC1D就是AC1與平面BB1C1C所成的角.在

Rt△ADC1中,AD所以sin∠AC1D

答案:C

2.已知AB⊥平面α于B,BC為AC在α內(nèi)的射影,CD在α內(nèi),若∠ACD=60°,∠BCD=45°,則AC和

平面α所成的角為()

°解析:設(shè)

°°°

AC和平面α所成的角為θ,則cos60°=cos

θcos45°,故

cosθ

所以θ=45°.

答案:C

3.一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)面,那么這兩個(gè)二面角()

A.相等B.互補(bǔ)

C.關(guān)系無(wú)法確定D.相等或互補(bǔ)

答案:D

4.在邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B-AD-C

后,BC這時(shí)二面角的大小為°°°°解析:∠BDC就是二面角B-AD-C的平面角,易知△BCD為等邊三角形,則∠BDC=60°.答案:C★5.過(guò)正方形ABCD的極點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則面APB和面CDP所成二面角的度數(shù)是()

°°°°

解析:∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角.

答案:C6.已知直線l的方向向量v=(1,-1,-2),平面α的法向量u=(-2,-1,1),則l與α的夾角為.解析:cos<v,u>-∴sinθ為l與α的夾角).∴θ=30°.答案:30°7.等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi),若AC與α成30°角,則斜邊上的中線CM與平面α所成的角為.解析:作CD⊥α于D,連接DA,DB,DM,則∠CAD=30°,CD所以sin∠CMD故∠CMD=45°,即CM與平面α所成的角為45°.答案:45°

★8.若P是△ABC所在平面外一點(diǎn),且△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的正三角

形,PA那么二面角的大小為

解析:設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連接PD,AD,則PD⊥BC,AD⊥BC,所以∠PDA就是二面角P-BC-A的平面

角.易知∠PDA=90°.

答案:90°

9.在三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC與底面ABC垂

直,PA=PB=PC=3,AB=BC=求與平面所成角的大小

解析:本題可以建立合適坐標(biāo)系,利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角來(lái)求.

解:由題意PA=PB=PC,點(diǎn)P在△ABC內(nèi)的射影O為△ABC的外心,即點(diǎn)P在△ABC內(nèi)的射影O到點(diǎn)A,B,C的距離相等,又面PAC⊥面ABC,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),且∠ABC=90°,以O(shè)為原

點(diǎn)為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則

P(0,0

設(shè)n=(x,y,z)為面PBC的法向量,可求得n=

設(shè)AC與平面PBC所成的角為θ,

則sinθ=|cos<n所以θ=30°.

故AC與平面PBC所成角的大小為30°.

★10.如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在線段AB,AD上,AE=EB=AF

翻折成△A'EF,使平面A'EF⊥平面BEF,求二面角A'-FD-C的余弦值

.

沿直線

將△AEF

解析:本題可以建立合適的直角坐標(biāo)系

解法一取線段EF的中點(diǎn)H,連接A'H,

,利用平面的法向量來(lái)求

;也可作出二面角的平面角來(lái)求

.

由題意,知A'E=A'F及H是EF的中點(diǎn),

所以A'H⊥EF.

又因?yàn)槠矫鍭'EF⊥平面BEF,A'H?平面A'EF,

所以A'H⊥平面BEF.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

則A'(2,2,

故

設(shè)n=(x,y,z)為平面A'FD的一個(gè)法向量,

所以-

取z則n=(0,-2

又平面BEF的一個(gè)法向量m=(0,0,1),

故cos<n,m>

所以二面角A'-DF-C的余弦值為

解法二取線段EF的中點(diǎn)H,AF的中點(diǎn)G,連接A'G,A'H,GH.

由題意,知A'E=A'F及H是EF的中點(diǎn),

所以A'H⊥EF.

又因?yàn)槠矫鍭'EF⊥平面BEF,A'H?平面A'EF,

所以A'H⊥平面BEF.

又AF?平面BEF,

故A'H⊥AF.

又因?yàn)镚,H分別是AF,EF的中點(diǎn),

易知GH∥AB,