工科數(shù)學(xué)分析ii.第13章

y

2x,

z

x2

y2.顯函數(shù)2隱函數(shù)

F

:

X

Y

R,F

(

x,

y)

0如對于x

I

X

,

恒有唯一確定的y

J

Y

,它與x一起滿足F

(

x,

y)

0,

就稱F

(

x,y)

0確定了一個(gè)定義在I上,

值域含于J的隱函數(shù).本節(jié)內(nèi)容:隱函數(shù)存在的條件,隱函數(shù)的連續(xù)性,可微性.隱函數(shù)存在條件的直觀意義1.z

0z

F

(

x,

y)(

x0

,

y0

),

s.t.

F

(

x0

,

y0

)

0.2.

交線(Fx

(

P0

),

Fy

(

P0

))

(0,0)34一、隱函數(shù)定理定理1：（隱函數(shù)存在惟一性定理）若函數(shù)F

(x,y)滿足下列條件:函數(shù)F在以P0(x0

,y0

)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域D

R2

上連續(xù);F

(

x0

,

y0

)

0;在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)Fy

(x,y);Fy

(

x0

,

y0

)

0,5則在點(diǎn)P0的某鄰域U(P0

)

D內(nèi),方程F

(x,y)

0唯一確定了一個(gè)定義在某區(qū)間(x0

,x0

)內(nèi)的函數(shù)y

f

(

x),

使得f

(

x0

)

y0

,10x

(x0

,x0

)時(shí)(x,f

(x))U

(P0

)且F

(x,f

(x))

0;f

(x)在(x0

,x0

)內(nèi)連續(xù).206證明:由條件(iv),不妨設(shè)Fy

x0

,y0

0,1.

先證隱函數(shù)y

f

(

x)的存在性和唯一性由條件(iii

),

Fy

在D內(nèi)連續(xù),

由連續(xù)函數(shù)的局部保號性,

存在P0的某一閉的方鄰域x0

,x0

y0

,y0

D使得在其上每一點(diǎn)處都有Fy

(x,y)

0.

因此,對每個(gè)固定的x

x0

,x0

,F

x,y

作為y

的一元函數(shù),必定在7y0

,y0

上嚴(yán)格增且連續(xù).由F

(x0

,y0

)

0可知,（

初始條件(ii)）F

x0

,

y0

0,

F

x0

,

y0

0又由F

的連續(xù)性條件（i）,可知道函數(shù)F

x,

y0

,

x0

與

F

x,

y0

在x0

上也是連續(xù)的,由保號性,存在

0

,當(dāng)x

x0

,x0

時(shí),恒有F

x,

y0

0,

F

x,

y0

0.

,

x0

,

)

0,

)

0,因此,對

x

x0F

(

x,

y0F

(

x,

y0而F

(x,y)在y0

,y0

上嚴(yán)格增且連續(xù),由介值定理,存在唯一的y

(y0

,y0

),如圖:在矩形ABA'B'的邊AB上F取負(fù)值,在邊A'B'上F取正值.8使得F

(x,y)

0.由x

在x0

,x0一個(gè)定義域?yàn)閤09

中的任意性,確定了

,x0

,值域含于(

y0

,

y0

)的隱函數(shù)

y

f

(

x).若記:U

(P0

)

(x0

,x0

)(y0

,y0則

y

f

(

x)

滿足10的各項(xiàng)要求,即為所求.2.

再證y

f

(

x)的連續(xù)性

),對

x

x0

,

x0

,

y

f

(

x),

且易知y0

y

y0

.

0,且

miny0

y,y

y0

,10使得y0

y

y

y0

.從而F

(x,y

)

0,F

(x,y

)

0.由保號性，存在x

的某鄰域(x

,x

)

x0

,x0

,

使得x屬于該鄰域時(shí),F

(

x,

y

)

0,

F

(

x,

y

)

0.因此存在唯一的y,使得F(x,y)

0,|

y

y

|

,由

y

的唯一性,

y

f

(

x).即證得：

0,

0，當(dāng)|

x

x

|

時(shí),f

(

x)

f

(

x)

.進(jìn)而

y

f

(

x)

在(

x0

,

x0

)上連續(xù).11注:1.定理中的條件僅僅是充分的.例如:

y3

x3

0,

在點(diǎn)(0,0)不滿足(iv),但一樣能確定惟一的連續(xù)函數(shù)y

x.但條件不完全滿足時(shí),定理結(jié)果可能失效.雙紐線F(x,y)

(x2

y2

)2

x2

y212在點(diǎn)(0,0)不滿足(iv),點(diǎn)(0,0)的無論多小的鄰域內(nèi),隱函數(shù)都不惟一.例如:2.證明中,條件(iii)和(iv)只是用來保證存在U

(P0

),使得F在U

(P0

)內(nèi)關(guān)于變量y是嚴(yán)格單調(diào)的.故條件(iii

)和(iv)可以換成較弱的條件:“F在U

(P0

)內(nèi)關(guān)于變量y是嚴(yán)格單調(diào)的”采用條件(iii

)和(iv),便于實(shí)際中檢驗(yàn).3.定理中,如條件(iii

),(iv)改為Fx

(

x,

y)連續(xù),

Fx

(

x0

,

y0

)

0,結(jié)論變成存在惟一的連續(xù)函數(shù)x

g(y).13定理2：（隱函數(shù)可微性定理）若函數(shù)F

(x,y)滿足定理1中的4個(gè)條件，再加上

Fx

(x,y)在D內(nèi)存在且連續(xù),則由方程F

(x,y)

,x0

)內(nèi)Fy

(

x,

y)140所確定的隱函數(shù)y

f

(x)在(x0有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且f

'(

x)

Fx

(

x,

y)15證明:設(shè)

x,

x

x

(

x0

,

x0

),

則y

f

(

x),

y

y

f

(

x

x)(

y0

,

y0

).F

(

x,

y)

0,

F

(

x

x,

y

y)

0.由Fx

和Fy的連續(xù)性及二元函數(shù)的中值定理知:0

F

(

x

x,

y

y)

F

(

x,

y)

Fx

(

x

x,

y

y)x

Fy(

x

x,

y

y)y其中0

1.由于右端是連續(xù)函數(shù)Fx

(

x,

y),

Fy

(

x,

y)和f

(

x)的復(fù)合函數(shù),

而且Fy

(

x,y)在U

(

P0

)內(nèi)不等于零,

所以Fy

(

x,

y)f

'(

x)

lim

y

Fx

(

x,

y)x0

x且f

'(x)在(x0

,x0

)內(nèi)連續(xù).y

Fx

(

x

x,

y

y)x Fy

(

x

x,

y

y)16因而若方程F(x,y)

0

存在連續(xù)可微隱函數(shù),則對F

(x,y)

0

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),可得Fx

(

x,

y)

Fy

(

x,

y)

y'

0如Fy

(x,y)

0,也可得17f

'(

x)

Fx

(

x,

y)Fy

(

x,

y)隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),在假定F存在相應(yīng)階數(shù)的連續(xù)高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),可用同樣的方法求得.18定理3：(二元隱函數(shù)的惟一存在與連續(xù)可微性定理)若函數(shù)F

(x,y,z)滿足下列條件:函數(shù)F在以P0

(x0

,y0

,z0

)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域D

R3

上連續(xù);F

(

x0

,

y0

,

z0

)

0;在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)Fx

,Fy

,Fz

;Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

0,則在點(diǎn)P0的某鄰域U(P0

)

D內(nèi),方程F

(x,y,z)

02唯一確定了一個(gè)定義在U((x0

,y0

))

R

內(nèi)的連續(xù)函數(shù)z

f

(

x,

y),

使得1020f

(x0

,y0

)

z0

,(x,y)U

((x0

,y0

))時(shí)(x,y,f

(x,y))U

(P0

)且F

(x,y,f

(x,y))

0;z

f

(x,y)在U

((x0

,y0

))內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),而且z

Fx

,

z

Fy

.x

Fz

y

Fz1920例１

驗(yàn)證方程x2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某鄰解令F

(

x,

y)

x2

y2

1則

F

(

x,

y)連續(xù)，F(xiàn)(0,1)

0,

FxF

(0,1)

0,

Fy

(0,1)

2

0,

2x,Fy

2

y,依定理

2

知方程x2

y2

1

0在點(diǎn)(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)可導(dǎo)

的隱函數(shù)

y

f

(

x).域內(nèi)能唯一確定一個(gè)可導(dǎo)的隱函數(shù)

y

f

(

x)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在x

=0

的值.函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為dy

Fxdx

Fyy

x

,

0,dx

x0dyy2dx2d

2

y

y

xy

y2y

x

x

y

1

,y3

1.21x0dx2d

2

yx例

2

已知lnx2

y2

arctan

y

，求dxdy

.解

令

F

(

x,

y)

ln則x2

y2

arctan

y

,xx2

y2x

y

,xF

(

x,

y)

x2

y2y

x

,yF

(

x,y)

dy

Fxdx

Fy

x

y

.y

x22對比復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)2例

3

設(shè)x2

y2

zx

2

z

4z

0，求

2

.則

z2

4z,解

令

F

(

x,

y,

z)

x2

y2Fx

2x,

Fz

2z

4,,zz

Fx

xx

F

2

zx

2

zx2(2

z)2(2

z)

x

zx

2

z(2

z)

x

(2

z)2

(2

z)2

x2

.(2

z)323例

4

設(shè)z

f

(

x

y

z,

xyz)，求x

y

zz

x

y，

，

.思路：xz把z

看成x,

y

的函數(shù)對

求偏導(dǎo)數(shù)得x

，x把x

看成z,

y

的函數(shù)對y

求偏導(dǎo)數(shù)得y

，yz24把y

看成x,z

的函數(shù)對z

求偏導(dǎo)數(shù)得.解令u

x

y

z,

v

xyz,則

z

f

(u,v),把z看成x,y的函數(shù)對x求偏導(dǎo)數(shù)得ux

xz

f

(1

z

)vx

f

(

yz

xy

z

),整理得zx,fu

yzfv1

fu

xyfv把x

看成z,y

的函數(shù)對y

求偏導(dǎo)數(shù)得yuv25y0

f

(x

1)

f

(

xz

yz

x

),整理得x

fu

xzfv

,fu

yzfvy把y

看成x,z

的函數(shù)對z

求偏導(dǎo)數(shù)得zuvz1

f

(y

1)

f

(

xy

xz

y

),整理得zy

1

fu

xyfv

.fu

xzfv26F

(

x,

y,

u,v)

0

u

f

(

x,

y),v

g(

x,

y).G(

x,

y,

u,v)

0唯一存在,連續(xù),可微的條件?分析:設(shè)F

,G,u,v可微,對方程組分別對x,y求偏導(dǎo)二、隱函數(shù)組u

x

v

xG

x

G

u

G

v

0Fx

Fuux

Fvvx

0

G

uu

yFy

Fuuy

Fvvy

0v

y

G

v

0Gy

027(F

,G)(u,

v)Gu

GvvuF

F定理4：（隱函數(shù)組定理）若F

(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在以P0(x0

,y0

,u0

,v0)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域V

R4內(nèi)連續(xù);F

(

x0

,

y0

,

u0

,

v0

)

0,G(

x0

,

y0

,

u0

,

v0

)

0.

028(iv)(iii)在V內(nèi)F

,G具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);(F

,G)(u,

v)0P29則在點(diǎn)P0的某鄰域U

(P0

)

V內(nèi),方程組

唯一確定了一個(gè)定義在U((x0

,y0

))

R

內(nèi)2的兩個(gè)隱函數(shù)u

f

(

x,

y),v

g(

x,

y)，使得10u0

f

(x0

,y0

),v0

g(x0

,y0

),

且當(dāng)(x,y)U

((x0

,y0

))時(shí),(x,y,f

(x,y),g(x,y))U

(P0

),F

(

x,

y,

f

(

x,

y),

g(

x,

y))

0;G(

x,

y,

f

(

x,

y),

g(

x,

y))

0;u

f

(x,y),v

g(x,y)在U

((x0

,y0))內(nèi)連續(xù),2030u

f

(x,y),v

g(x,y)在U

((x0

,y0

))內(nèi)有一階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

且Fx

FvGvu

1

(

F

,

G

)

Gxx

J

(

x,

v)v

1

(F

,G)

Gux

J

(u,

x)

Fu

FvGu

GvFu

Fv

(F

,G)(u,

v)30Gu

GvFu

FxGx

(

x,

v)(F

,G)Fy

FvGv，.31FvGu

Gvu

1

(F

,G)

Gyy

J

(

y,

v)

FuFvGu

GvFu

FyGyv

1

(F

,G)

Guy

J

(u,

y)

FuGF

G

G

0,uu

xvxu

v

F

F

0,u

xvxvxx把u,v看成x,y

的函數(shù)，恒等式F[

x,

y,

u(

x,

y),v(

x,

y)]

0

0時(shí)，得：32FvGu

Gv當(dāng)J

FuG[

x,

y,

u(

x,

y),v(

x,

y)]

0兩邊對x求導(dǎo)（應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）得：證明

x

J

(u,

x)v

1

(F

,G)v

.

vuxuGu

Gx

Gu

GvuvxFv

Fu

Fvx

J

(

x,

v)u

1

(F

,G)

FxG

G

G

GF

FF

F.33u

1

(F

,G)

FyFyGu

Gy

v

1

(F

,G)y

J

(u,

y)

Fu

y

J

(

y,

v)F

FvFu

FvGu

GvuuG

GvFvGy

Gv同理可得：例5

設(shè)

xu

yv

0，

yu

xv

1，求

x

，

y

，

x