線性代數(shù)教案3課件

第三章矩陣§3.1矩陣的運算§3.2幾種特殊矩陣§3.3分塊矩陣§3.4逆矩陣§3.5初等矩陣13.1矩陣的運算一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣的乘法三、矩陣的乘法四、矩陣的轉置五、n階矩陣的行列式 在許多實際應用領域內,都會碰到表格型的數(shù)據(jù),我們從中抽象出矩陣概念。下面我們也從一些常用的表格操作中提煉出對矩陣的運算，給以嚴格的數(shù)學定義，并研究這些運算具有什么性質？2矩陣加法定義：設有兩個mn矩陣A=(aij)mn與B=(bij)mn,若矩陣C=(aij+bij)mn(A,B中對應元素相加),則稱矩陣C為矩陣A與B的和;記作C=A+B。注：只有行數(shù)、列數(shù)都分別相同的兩個矩陣才能相加。例如：某車間三個班組生產(chǎn)甲乙產(chǎn)品的上、下半年生產(chǎn)報表為：則年度報表為：22+2016+2015+1827+2625+2024+223矩陣相減矩陣相減：Amn-Bmn=Amn+(-Bmn)。

(對應元素相減)例：設矩陣：求A+B和A-B.解:5矩陣加法的性質矩陣的加法具有以下性質(1)交換律：A+B=B+A(2)結合律：(A+B)+C=A+(B+C)(3)： A+O=O+A=A(4)： A-A=A+(-A)=O 其中A,B,C和零矩陣O是具有相同行、列數(shù)的矩陣。6數(shù)與矩陣的乘法定義：設矩陣A=(aij)mn,k是數(shù)域F中的數(shù).用數(shù)k乘矩陣A中的每個元素所得到的矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的乘積,簡稱數(shù)乘;記作kA=(kaij)mn。例如：某車間四個班組生產(chǎn)同一產(chǎn)品,該產(chǎn)品的單價p=5,又知前三月的產(chǎn)量報表為：則可算出其前三月的產(chǎn)值報表：7矩陣數(shù)乘的性質矩陣數(shù)乘的性質： ①k(A+B)=kA+kB 數(shù)乘分配律 ②(k+l)A=kA+lA 數(shù)乘分配律 ③(kl)A=k(lA)=l(kA)

數(shù)乘結合律 ④1A=A 其中A,B均為mn矩陣,k,l均為數(shù)域F中的數(shù)。8矩陣的乘法定義：設矩陣A=(aij)ms,B=(bij)sn,矩陣A與B的乘積定義為mn矩陣C=(cij)mn;其中記為C=AB。注1：左矩陣列數(shù)與右矩陣行數(shù)相同時,AB才有意義。注2：AB是一個矩陣,其行數(shù)與A的行數(shù)相同,其列數(shù)與B的列數(shù)相同。注3：乘積矩陣C中位于第i行第j列的元素cij等于A中第i

行與B中第j列的對應元素乘積之和。10例題與講解例：設,求AB,BA.解：AB=2×2-16-32816BA=2×20000=O注1：矩陣乘法一般不滿足交換律,即ABBA。所以,矩陣乘法分“左乘”和“右乘”。注2：兩個非零矩陣之積可能是零矩陣。即AB=OA=O或B=O12例題與講解例：某公司所屬的兩個工廠A1,A2都生產(chǎn)三種產(chǎn)品B1,B2,B3在某年的第一季度,各廠的產(chǎn)量如矩陣A,各產(chǎn)品的單價與平均單位能耗情況如矩陣B。則工廠工廠總收入總能耗注：利用矩陣的乘法可使許多理論和應用問題的表達更為簡明和方便.14n階方陣定義：行數(shù)和列數(shù)都為n的矩陣,稱為n階矩陣,亦稱n階方陣。n階單位(矩)陣：主對角線上的元素都是1,其余元素都是0的n階方陣,稱為n階單位陣;記為En.或簡記為E(或I)即注：在矩陣乘法中單位陣的意義類似于在數(shù)的乘法中“1”的地位。15矩陣乘法的性質矩陣乘法的性質：(1)結合律(AB)C=A(BC);(2)左分配律A(B+C)=AB+AC;(3)右分配律(B+C)A=BA+CA;(4)對數(shù)域F中的任意數(shù)k,k(AB)=(kA)B=A(kB);(5)對任意的矩陣Amn,有

Em

Amn=Amn;AmnEn=Amn。定義：如果兩個矩陣A和B滿足AB=BA,則稱A與B是可交換的,亦稱A,B是可交換陣。顯然沒有交換律！一般：ABBA——必要的條件！16例題與講解例：設求所有與A可交換的矩陣.解:設與A可交換的矩陣為則由AX=XA可得方程組:解得:取則得其中a,b為任意常數(shù).17方陣的冪運算定義：設矩陣A是一個n階矩陣,對于自然數(shù)k,定義A的k次冪為Ak=AA…A。k對任意的自然數(shù)k,l,不難證明:注:(1)一般地,(2)如果不一定有例如,設但是18課堂練習1、判斷題：

（1）若A2=O，則A=O

（2）若A2=A，則A=O或A=E

（3）若A2=E，則A=E或A=-E

2、設A、B是同階方陣,則A2-B2=(A-B)(A+B)

成立的充要條件是

?！痢痢?0矩陣的轉置定義:將矩陣A的行列互換得到的矩陣,稱為矩陣A的轉置矩陣,簡稱轉置。記為A'或AT。即若m×n則n×m注意：AT中第i行第j列的元素aij'=A中第j行第i列的元素aij。例如：則21n階方陣的行列式定義：由n階方陣A的元素按原來的順序構成的行列式,稱為方陣A的行列式。記為|A|。n階矩陣的行列式具有下述性質:①|A|=|AT|;②|kA|=kn|A|;③|AB|=|A||B|。推廣|A1A2…As|=|A1||A2|…|As|.注：雖然ABBA,但|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|。又：行列式為零的方陣在運算時較特殊。23奇異陣定義：設A是n階方陣,若|A|0,則稱A為非奇異(方)陣;若|A|=0,則稱A為奇異(方)陣。例：設n階方陣A、B滿足A2+AB+B2=O,且B非奇異,證明A,A+B均是非奇異的。由B非奇異，知由此得即A，A+B均是非奇異的。證明：24§3.2幾種特殊矩陣一、對角矩陣二、數(shù)量矩陣三、三角矩陣四、對稱矩陣與反對稱矩陣 一些結構特殊的簡單矩陣卻有著很好的性質,在運算中起著較重要的作用。26對角矩陣定義：所有非主對角線元素全等于零的n階矩陣,稱為對角矩陣。n階對角矩陣常簡記為:例如是個三階對角矩陣.對角矩陣的性質：①同階對角矩陣的和、差、積仍為對角矩陣;②數(shù)k與對角矩陣的乘積仍為對角矩陣;③對角矩陣的轉置仍為對角矩陣且它們是可交換的.例如27數(shù)量矩陣定義：如果n階對角矩陣所有對角線上的元素都相等,則稱此矩陣為n階數(shù)量(矩)陣。簡記為數(shù)量陣性質(除滿足對角陣性質外)A=aEn(A為n階數(shù)量陣)對任一矩陣Bmn,都有(aEm)Bmn=aBmn;Bmn(aEn)=aBmn.即用數(shù)量矩陣左乘或右乘一個矩陣的結果,等于對該矩陣作一個數(shù)乘。28對稱矩陣定義：若n階矩陣A滿足AT=A,則稱矩陣A為對稱矩陣.注：在對稱矩陣A=(aij)nn中,必有aji=aij(i,j=1,2…n).對稱矩陣的性質:①如果A、B是同階對稱矩陣,則A+B為對稱矩陣.②數(shù)k與對稱矩陣的乘積仍為對稱矩陣.注：兩個同階對稱矩陣的乘積不一定為對稱矩陣.例如都是對稱矩陣,但不是對稱矩陣.30反對稱矩陣定義：若n階矩陣A滿足AT=-A,則稱矩陣A為反對稱陣.注：在對稱矩陣A=(aij)nn中,必有aji=-aij(i,j=1,2…n).所以反對稱矩陣的主對角線上的元素為零.例如,是一個三階反對稱矩陣.反對稱矩陣的性質:①兩個同階反對稱矩陣的和(或差)仍為反對稱矩陣.②數(shù)k與反對稱矩陣的乘積仍為反對稱矩陣.注：兩個同階反對稱矩陣的乘積不一定為反對稱矩陣思考：奇數(shù)階的反對稱矩陣其行列式為零.31例題與講解例：已知A是n階對稱矩陣,B是n階反對稱矩陣,證明AB+BA是反對稱矩陣。證明：故AB+BA是反對稱矩陣例：設,其中E為n階單位矩陣，B為n×1列矩陣,證明A為對稱矩陣。證明：故A為對稱矩陣。32§3.3分塊矩陣一、矩陣的分塊二、分塊矩陣的運算三、應用 在理論研究及一些實際問題中,經(jīng)常遇到階數(shù)很高或結構特殊的矩陣。為了便于分析計算,常常把所討論的矩陣看作是由一些小矩陣組成的。這些小矩陣就稱為子陣或子塊。原矩陣分塊后,就稱為分塊矩陣。33矩陣的分塊矩陣分塊的具體做法是：用若干條縱線和橫線將矩陣分成許多個小塊,每小塊稱矩陣的子塊;形式上,以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.注：原則上可以對矩陣進行任意分塊.但是,通常是根據(jù)所討論問題的實際背景和理論上的需要來分塊.一般盡可能使較多的子塊成為簡單的特殊矩陣。例如若令則原矩陣A分塊為:其中E2為二階單位陣,O是零矩陣.34矩陣按行(列)向量分塊在對矩陣進行理論分析時,經(jīng)常將他按行或列分塊：若令……則若令則35分塊矩陣的運算用分塊的矩陣作矩陣加(減)法時,必須使對應的子塊具有相同的行數(shù)和列數(shù).即兩個矩陣的分塊方式完全相同。數(shù)k與分塊矩陣相乘時,k應與每一子塊相乘。分塊矩陣作矩陣乘法時,應使左矩陣的列分法與右矩陣的行分法相同。分塊矩陣轉置時,首先把分塊矩陣的行列互換,然后將互換后的各子塊再轉置。36例題與講解例：設其中其中試求2A-B。解：37例題與講解例：設矩陣A,B分塊為試求AB。解：而所以38準對角陣和四分塊陣四分塊陣準對角陣39*分塊矩陣應用（1）例：證明r(AB)min{r(A),r(B)}。證:設把矩陣A和C按列分塊為：則C=AB可寫成：即{C1,…Cn}可由{A1,…,As}線性表示.則r(AB)=r(C)r(A).即{C1,…Cn}的極大無關組可由{A1,…,As}的極大無關組線性表示.綜上，r(AB)min{r(A),r(B)}。40*分塊矩陣應用（2）例:設矩陣A=(aij)mn,B=(bij)nt滿足AB=O且r(A)=r<n;試證明r(B)=n

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r。證:把矩陣B按列分塊,設其中則由AB=O可得考慮齊次線性方程組AX=O,其中從而B的列向量B1,B2,…,Bt都是方程組AX=O的解向量.又因為r(A)=r<n,方程組AX=O的任一基礎解系所含向量的個數(shù)為n

-

r,由此可得:41§3.4逆矩陣定義：對于n階方陣A,如果存在矩陣B使得AB=BA=E,則稱A為可逆矩陣,簡稱A可逆;同時稱矩陣B為A的逆矩陣,記為A-1,即A-1=B。注1.逆矩陣只對方陣而言，且B與A為同階方陣。注2.A、B互為逆矩陣。即若A-1=B,則B-1=A。注3.若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。(因為若B、C都是A的逆矩陣,則有AB=BA=E,AC=CA=E于是B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C。)例：單位矩陣En可逆.事實上,因為En

En=En,所以(En)-1=En。42伴隨矩陣定義：設Aij是n階方陣A的行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式,稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣。例：解：43伴隨矩陣的重要性質A*的重要性質：AA*

=A*A=|A|E。因為同理0…00…000…………注意到：44可逆的充分必要條件定理：n階方陣A可逆的充要條件是|A|0,且當A可逆時,證明則存在，使得必要性：已知A可逆，又因為充分性：已知，由關系式即A可逆，且45例題與講解例:判斷A是否可逆,若可逆,求逆.其中解：=5≠0,A可逆。且所以該方法計算量太大,公式僅具有理論意義。46判別A、B互為逆矩陣的方法推論：設A、B均為n階矩陣,且AB=E,則A、B都可逆,且A-1=B,B-1=A。證明:由AB=E可得所以根據(jù)充要條件,A可逆且B也可逆.在AB=E兩邊左乘得:在AB=E兩邊右乘得:注:經(jīng)常利用這個推論來判斷B是否為A的逆矩陣例：若A、B可逆,則證：(該結論可推廣到一般準對角矩陣。)47例題與講解例：已知n階方陣A滿足2A(A-E)=A3,證明E-A可逆,且(E-A)-1=A2

-A+E.證明：可逆，且由推論知：48可逆矩陣的性質性質1.若A可逆,則A-1,A*也可逆,且(A-1)-1=A,(A*)-1=A/|A|.因為A-1A=E,故A-1也可逆,(A-1)-1=A;又A*A=|A|E,故A*(A/|A|)=E.性質2.若A,B為同階可逆陣,則AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1.因為(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=E,所以(AB)-1=B-1A-1.推廣：性質3.若A可逆,則AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T.因為AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以(AT)-1=(A-1)T.性質4.若A可逆,則性質5.若A為n階可逆矩陣,則性質6.若A可逆且k0,則kA可逆,(kA)-1=k-1A-1.49準對角陣和四分塊陣的逆矩陣四分塊陣準對角陣50練習*51練習解答*52§3.5初等矩陣一、初等矩陣及其性質二、用初等變換求矩陣的逆 前面我們已經(jīng)看到了矩陣的初等變換在研究矩陣的秩以及解線性方程組時,所起的重要作用。 本節(jié)將進一步討論初等變換與初等矩陣乘法的關系以及用初等變換來求逆矩陣的實用方法。53初等矩陣的定義及類型定義：對單位矩陣E施行一次初等行變換(或初等列變換)所得到的矩陣,稱為初等矩陣。由于初等行(列)變換有對調、倍乘、倍加三大類型,它們分別作用于單位矩陣便可相應地得到三種類型的初等矩陣： E[i,j]、E[i(k)]、E[i,j(k)]。54相應于對調變換的初等陣對調E的i、j兩行(或i、j兩列),得到的矩陣。i行j行i列j列55相應于倍乘變換的初等陣用非零數(shù)k乘與E的第i行(列)所得到的矩陣.i行i列56相應于倍加變換的初等陣將E的第j行的k倍加到第i行所得到的矩陣。 (或將E的第i列的k倍加到第j列所得到的矩陣)j行×ki行i列×k57初等矩陣的性質1.初等矩陣的轉置仍為初等矩陣.即2.初等矩陣都是可逆矩陣,其逆矩陣仍為初等陣.58初等變換與初等矩陣的關系定理：設A是mn矩陣,則 ①對A施行一次初等行變換所得到的矩陣,等于用同種m階初等矩陣左乘A； ②對A施行一次初等列變換所得到的矩陣,等于用同種n階初等矩陣右乘A。證明思路：對三種行變換、三種列變換分別給予證明。對行變換進行證明時,先將初等陣按行分塊,再觀察左乘A的結果；對列變換進行證明時,先將初等陣按列分塊,再觀察右乘A的結果。注：該定理把初等變換與初等陣乘法緊密聯(lián)系在一起,是對矩陣進行理論分析的重要手段。(平行通道)59初等變換與初等陣關系詳解初等行變換與初等陣的左乘交換(ri),(rj)兩行k(ri)k(rj)+(ri)初等列變換與初等陣的右乘交換(ci),(cj)兩列k(ci)k(ci)+(cj)60等價標準形與初等陣定理：設矩陣A=(aij)mn的秩為r,則存在m階初等矩陣P1,P2,…,Ps和n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt,使得證明:因為矩陣Amn的秩為r,所以對A施行若干次初等變換,可以把A化為其等價標準形:若干次初等行變換若干次初等列變換r由初等變換與初等陣的關系可知,存在m階初等矩陣P1,P2,…,Ps和n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt,使得和n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt,使得61可逆矩陣與初等陣定理：n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可以表示成若干個初等矩陣的乘積。證明:(必要性)如果矩陣A可逆,則存在初等矩陣P1,P2,…,Ps和Q