2013考研數(shù)學(xué)高分導(dǎo)學(xué)班講義

2013考研數(shù)學(xué)高分導(dǎo)學(xué)班講線性代數(shù)部分—矩陣理

a1n

a2n，稱為矩陣mn，記為A(a

ij

am

amn13A

a2n

b2n

,B

m

mn

m

mna11

a12

ABa21

a22

a2nb2n。

m m

mnkA

ka2n。

m mnA

a2n

b1s b2s ,B

，

m

mn c1s

n

nsABC

c2s

cm

cms其中cijai1b1jainbnj（i1,2,mj1,2,nABOAOBOABABBAf(x)axnaxafA)

AnaA

1

a11x1a12x2a1nxna21a

a22

a2nxn

am1x1am2x2amnxna11x1a12x2a1nxna21a

a22

a2n

am1x1am2x2amnxn

a1n

b1 A

a2nXx2bb2，則（1（2）

am

amn

xn

bmAX

及AX對方程組x1x2

【例題1 方程組

3【例題2 方程組xx

對方程組

x1x2【例題1 方程組x

【例題2 方程組

x1x2【例題3 方程組

axa0axb11ax1bxb a0b0axba0b0axb線性方程組的類似問題：方程組AXb的解AnBBAAXb兩邊左乘BBAXBb，于是XBb；AnBBAE方程組AXb是否有解及解的情況；AmnmAXb（一）1AnnBBAEABBA121nA（事實上不存在可逆矩陣的矩陣大量存在2nA可逆（即逆矩陣存在AnA可逆的充分必要條件是|A|0第二步矩陣的三種初等行變換第三步三種初等矩陣Eij—單位矩陣的ij行對調(diào)或者ij性質(zhì)：1）|

|10 2）E1

E2E3）EijAA的ijAEijA的ijEi(c)(c0)—單位矩陣的i行乘以c或單位矩陣的i列乘以c。性質(zhì)：1）|E(c)|c0； 2）E1(c)E(1)； i3）Ei(cAA的i行乘以非零常數(shù)c所得到的矩陣，AEi(cA的i列乘以非零常數(shù)c所Eij(kjk倍加到i行或者單位矩陣的ikj性質(zhì)：1）|

(k)|10 2）E1(k)

(k)3）AEij(kAjk倍加到iEij(kAA的i列的kj列1AnA【問題2】設(shè)A為n階不可逆矩陣，A能夠經(jīng)過有限次初等行變換化為 O O3A

Or階不可逆矩陣，A能夠經(jīng)過有限次初等變換化為 r O定理（初等變換法求逆陣）AnA可以經(jīng)過有限次初等行變換化為初等矩（二）矩陣的秩（記住：在方程組中矩陣的秩本質(zhì)上就是約束條件1A為mnAr階非零子式，但所有的r1階子式（如果有）都rArA)r。A為mnrAmin{mn}An階矩陣，若|A|0，則rA)nA為滿秩矩陣。矩陣可逆、滿秩及非奇異rA)0AOrA)1AOrA)2Aa1 設(shè)a2r()0,O

anr(A)r(AT)r(ATA)r(AAT)ABrAB)rA)r(BrAB)min{rAr(B)}，等價于rAB)rAr(AB)AmnBnsABOrAr(B)nAmnPmQnrA)r(PA)rAQ)r(PAQ1】設(shè)ATTrA)22AnA3AmnBnmnmABEr(B)m4AnA23A2EOr(EAr(2EA)n

二、定積分的定義—設(shè)f(x)為[a,b]上的有界函數(shù)，若 f()x存在，稱f(x)在[a,0bfx在[abb極限與區(qū)間的劃分及i的取法無關(guān)0n

f(x)dx

b f(x)dx f()b 0若一個函數(shù)可積，則bf(x)dxlimba

f[ai(baa

x

定理1

f(xC[ab]，令(x

f

，則(x)

fx)的一個原函數(shù)，即(x)

f(x)d(x)f(t)dt

f[(x)](xd

2(x)f(t)dt

f

(x)](xf[(x)](x11

1fx連續(xù)，且(x)x(xtf(t)dt，求(x02fxF(x)xtf(x2t2dtF(x02（牛頓—萊布尼茲公式）f(xC[ab]Fxfxbb

f(x)dxF(bF(a、換元積分法—設(shè)

f(xC[ab]，令x(t)，其中(t)(t)0a()a,()ba

bf(x)dxf[(t)](t)dt2、分部積分法—設(shè)u,v在[a,b]上連續(xù)可導(dǎo)

budvuvbbvdu1b

af(xg(x)]dxaf(x)dxag(x)dx cbakf(x)dxkcb

f(x)dxbb

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dxbadxbabbf(x0(axb，則b

f(x)dx0bbb推論1f(xg(x)(axb，bbb

af(x)dxag(x)dxbbbb

af(x)dxa|f(x|dx(abfx在[abm

f(xM，則m(ba

f(x)dxM(bab（7（積分中值定理）f(xC[ab]，則存在[ab]b

f(x)dx

f()(ba 1）設(shè)f(xC[aa，則af(x)dx0f(xf(x)]dx 2）設(shè)f(xC[aa，且f(x)

f(x)

af(x)dx

f(x)dxa3）設(shè)f(xC[aa，且f(x)f(x，則af(x)dx0aT設(shè)fx)以T為周期，則Ta

f(x)dx

f(x)dxaxf0

x f(xC[0,1，則2f(sinx)dx2f(cosx)dx，特別地0

n 2sinxdx2cosxdxIn，且In In2,I0

I11 00sinxdx22sinxdx2In00 22cosxdxn為偶0cosxdx 設(shè)f(x)C[0,1]，則

2 sin

21

dx22114114

第一 極限與連fxf(x)

f(xfxf(x)f(xfx1

fxD，若存在T0xDxTDf(xT)

f(x)fx【例題2】函

x1x2Dx1x2f(x1f(x2fxD上為單調(diào)增M0xD，有|f(x|MfxD2數(shù)列極限N)—若對任意的0N0nN|anA| 成立，稱數(shù)列{a}A為極限，記為limaA fxxa（—若對任意的00

0|xa|

|f(x)A|Afxxa時的極限，記為

f(xAfxx時的極限（X）—若對任意的0X0，當|x|X時|f(x)A|Afxx時的極限，記為

f(xA

f(x)AAfxxaf(a0)A

f(x)BBfxf(a0)B，注意limf(xf(a0f(a0k形如axb(a0xa 若對limex1limex10limex1

又 又 f(x)1212

f(00)1f(00)1，故limf(x3無窮小的層次—設(shè)00

lim

0為o(若lim

k0與O(，特別地，若lim

1，稱為等價無窮小，記為~

f(xA的充分必要條件是f(xA，其中01）~2）若~~3）若~~，則~若~~且

A，則lim

Ax02）1cosx~1x223）(1x)a1~ax

3】計算極限

ex2cos。4】計算極限

tanxsinx

1sin1etanxex

。【例題6】計算極限

xx4函數(shù)在一點處連續(xù)的定義—設(shè)fx)xa

f(x)

f(a

f(xafxxaf(a0)

f(a0)

f(afx在[abfx在[abfx在(abf(a0)

f(a),f(b0)

f(bfx在[ab

fxxaf(a0),f(a0)xafxf(a0)f(a0xafxf

0)

f(a0xafxfxxaf(a0),f(a0)xafx8f(x)ln|x|x2ex19f(x)

x1e1

ln(1x2【例題10】求函數(shù)f(x) 的間斷點及類型tan（一）1（唯一性定理）2（保號性定理）（1）若limf(x)A0(0，則存在0，當0|xa|f(x)0(0（2）設(shè)f(x0(0且limf(xA，則A0(0（二）1情形一：設(shè){an}ManM，則limann情形二：設(shè){an}ManM，則limann定理2（定理數(shù)列型：設(shè)anbncn，且limanlimcnA，則limbnA11

n2n2n2

n2n2

函數(shù)型：設(shè)f(xg(x)h(x，且limf(xlimh(xA，則limg(xA1、limsinx1 （1） （2）x0ln(1x)x2lim11xe

尤其sinxx（x0 ：{(11n單調(diào)增加收斂于en1（最大值最小值定理）f(xC[ab]fx在[ab上取到最小值和最大值。2（有界性定理）設(shè)f(xC[ab]，則fx)在[ab上有界。3（零點定理）f(xC[abf(af(b)0，則存在abf()0（1）f(xC[ab]，對任意的[mM]，存在[ab]，使得f()，即位于最小

f(xC[ab

f(a)

f(bf(a)

f(b，則對任意的[f(a),f(b存在[ab]f()f(xC[ab]f(，基本確定使用零點定理或介值定理，一般開區(qū)間用零1f(xC[0,1f(0)0,f(1)1，證明：存在c0,1f(c)1c2f(xC[ab]p0q0，存在[ab]pf(aqf(b)pqf(【例題3】設(shè)f(xC[ab]k1kn1，存在[ab]f()k1f(x1)knf(xn

xi[a,b]ki0(i1,2,n)

第二 一元函數(shù)微分學(xué)基本理1、導(dǎo)數(shù)—設(shè)y

f(xD上的函數(shù)，x0Dy

f(x0xf(x0，若極限limy存在，稱yf(xxx處可導(dǎo)為yf(xxx處的導(dǎo)數(shù)，記為f(xx0 dy dxx（1）x0同時包括x0與x0若limyy

f(xx

f

limyx0

x0y

f(xxx0f(x0y

f(xxx0f(x0f(x0y

f(xxx0f

)

y

f(x0h)f(x0)

f(x)f(x0。0 x0

x

xy

f(xxx0y

f(xxx0、可微—設(shè)y

f(x)為定義于D上的函數(shù)，x0Dy

f(x0xf(x0，若yAxo(x，稱y

f(xxx0dyAxdyAdxA

f(x0fxdf(x)f(x)dx（一）

a

1 (x)(x)x)1、(C)0 2、

)

，特別 122a3、(ax)axlna，特別地(ex)ex。4、a

x)

xln

，特別地(lnx)1x5（1）(sinx)cosx （2）(cosx)sinx（3）(tanx)sec2x （4）(cotx)csc2x（5）(sec （6）(csc（7）(sinx)(n)sinxn （8）(cosx)(n)cos(xn 1x1x6（1）(arcsinx) （2）(arccos1x1x（3）(arctanx)

1x

（4）(arccotx)

。1x（二）1、(uv)uv 2、(uv)uvuv3、(ku)ku 4、(u)uvuv v5、(uv)(n)C0u(n)vC1u(n1)vCnuv(n) （三）y

f(u)u(x)y

f[(xdydydu

f(u)(x)

f[(x)](x) duy

f(xf(x)0xyy

f(xdx(y)1

f

d2

(y)

d[(y)]

[df[

[df[

]/

f。

dy/

f3fxxa處連續(xù)，若

f(x)A，則f(a)0（一）sin2

xax

f(a)【例題1】設(shè)y xln(tan22xsecx)，求y2yxsinxy（二）x

d2y

f(x由y(t確定，其中,dxdx2xln(1 d21】設(shè)yarctantdxdx2（三）1】設(shè)exy3xy2xdy（四）1

0,sinf(x)1ln(),

f(x)2（五）

0f(0存在，求ab1f(x)exsinxf(nx2f(x)

x23x

f(nx一、預(yù)備知

第三講中值定理及應(yīng)1y

f(x)(xDx0D。若存在0，當0|xx0|時f(xf(x0xx0fx的極大點；若存在0，當0|xx0|時，f(x)f(x0xx0fxf(a)0，即

f(xf(a)0，由極限的保號性，存在0，當0|xa|x

f(xf(a)0xxaaf(x)

f(a)xaaf(x)

f(axafxf(a)0，即

f(xf(a)0，由極限的保號性，存在0，當0|xa|x

f(xf(a)0xxaaf(x)

f(axaaf(x)

f(axafx1fxxaf(a)0f(a2fxxaf(a)0。（1）（2）（3）f(a)f(b，則存在(abf()02（Lagrange中值定理）fx（1）f(xC[ab（2）fx在(ab則存在(abf()

f(b)f。bf(b)f(a)f(b)f(a)

f()(ba，其中(abf[a(ba)](ba，其中01ababf(x